Програмирање 2/К1 2019

Prvi kolokvijum 2019. godine održan je 18. marta. Zadaci i rešenja su dostupni sa stranice predmeta.

Pitanja

Pitanje 1

Na nekom računaru, realni brojevi se predstavljaju na širini od 11 bita u formatu seeeeemmmmm, gde je s predznak broja, eeeee su 5 bitova za eksponent u kodu sa viškom 15 i mmmmm su 5 bitova normalizovane mantise sa skrivenim bitom (1≤M<2). Sva zaokruživanja se obavljaju prema pravilima ANSI/IEEE standarda za realne brojeve. Neka se u lokaciju A učita broj čija je vrednost 11.5₁₀, a u lokaciju B broj čija je vrednost najveća moguća tako da prilikom sabiranja brojeva A i B ne dođe do greške veće od 1 prilikom zaokruživanja. Kolika je vrednost zbira A i B na datom računaru?

Postavka

Ovo je malo teži zadatak. Traži se najveći broj B tako da kad se sabere sa A greška u zaokruživanju ne bude veća od 1.

Ovaj zadatak ćemo rešiti tako što predstavimo A, i povećavamo eksponent od normalizovanog dok ne dođemo do eksponenata dovoljno velikih da se mora desiti zaokruživanje. Onda računame pojedinačno grešku za svako zaokruživanje i biramo onu koja je manja od 1, a ima najveći eksponent. Onda osmislimo broj B tako što mantisu postavimo na sve jedinice (najveći broj) i damo taj eksponent koji smo našli.

• w = 11, k = 5, v = 15, p = 5
• IEEE mantisa

Broj A

A = 11.5₁₀ = 1011.1₂ = 1.01110 * 2³

Tražimo najveći eksponent

Tražimo najveći eksponent na koji možemo da postavimo A, a da greška u zaokruživanju ne bude veća od 1.

A = 1.01110 * 2³

A = 0.10111 0 * 2⁴ - Nema greške

A = 0.01011 10 * 2⁵ - Zaokružujemo tako što dodamo 1 na krajnju cifru mantise (Pravilo 3b)

A_z5 = 0.011000 * 2⁵. Greška = A_z5 - A = (0.0110000 - 0.0101110)*2⁵ = 0.0000010 * 2⁵ = 0.1

Greška je manja od 1, znači možemo još.

A = 0.00101 110 * 2⁶.

Zaokružuje se pravilom 2.

A_z6 = 0.00110 * 2⁶

Greška = A_z6 - A = 0.00000010 * 2⁶ = 0.1

Idemo dalje.

A = 0.00010 1110 * 2⁷

A_z = 0.00011 * 2⁷ (Pravilo 2)

Greška = A_z7 - A = (0.00011 0000 - 0.00010 1110) * 2⁷ = 0.1

Idemo dalje...

A = 0.00001 01110 * 2⁸

A_z8 = 0.00001 (Pravilo 1).

Greška = A_z8 - A = (0.00001 00000 - 0.00001 01110) * 2⁸ = 100.1 = 8.5₁₀

Sa 8 smo ga preterali, tako da je 7 najveći eksponent koji možemo da uzmemo.

Pravimo broj B

Najveća mantisa je 11111, tako da broj B = 1.11111 * 2⁷ = 1111 1100 = 252₁₀.

Odatle A + B = 11.5 + 252 = 263.5 što je najbliže 264 (A). (Imajte u vidu da je A sabrano sa povećanim eksponentom sa greškom 0.1² tj 0.5 tako da je pravi zbir 12 + 252 = 264 tačno na računaru)

Pitanje 2

Na jednom računaru, realni brojevi se predstavljaju na širini od 11 bita u formatu seeeemmmmmm, gde je s bit predviđen za kodiranje predznaka broja, eeee su 4 bita za eksponent u kodu sa viškom 8, a mmmmmm su biti normalizovane matise sa skrivenim bitom (0.5≤M<1). Celi brojevi na ovom računaru se predstavljaju u drugom komplementu na širini od 7 bita. Vrednost realnog broja na lokaciji X je 32.5₁₀. Predstava celog broja na lokaciji Y je 122₈. Koji je sadržaj realne promenljive Z nakon što se na ovom računaru obavi operacija Z = X + Y? Sva zaokruživanja se obavljaju prema pravilima ANSI/IEEE standarda za realne brojeve.

Postavka

• w = 11, k = 4, v = 8, p = 6
• VAX mantisa

Broj Y

Y = 122₈ = 001 010 010 = 0101 0010.

Komplementiramo, Y = -10 1110 (-46).

Normalizujemo mantisu da bude u formatu 0.1mmmmmm.

Y = -011110 = -0.1011100 * 2⁶. Nema zaokruživanja.

Broj X

X = 32.5 = 10 0000.1

Normalizujemo:

X = 10 0000.1 = 0.1000001 * 2⁶

Sabiranje

Z = X + Y = 0.1000001 * 2⁶ - 0.1011100 * 2⁶ = -(0.1011100 * 2⁶ - 0.1000001 * 2⁶) = -0.0011011 * 2⁶.

Normalizujemo.

Z = -0.1101100 * 2⁴

Mantisa = 101100

Eksponent E = 4. e = E + v = 4 + 8 = 12 = 1100₂.

Znak je negativan.

Sastavljamo 1 1100 101100 = 0111 0010 1100 = 72C₁₆ (A).