Вероватноћа и статистика/К2 2022 — разлика између измена
(Нова страница: === 1. задатак === ==== Поставка ==== Нека је дата функција густине случајне променљиве <math>X</math> са <m…) |
(→Решење) |
||
(Није приказано 5 међуизмена другог корисника) | |||
Ред 1: | Ред 1: | ||
{{tocright}} | |||
'''Други колоквијум 2022. године''' одржан је 5. маја. Поставка рока није јавно доступна. | |||
==== | == 1. задатак == | ||
<math> | === Поставка === | ||
Нека је дата функција густине случајне променљиве <math>X</math> са <math>f_X(x) = \begin{cases} | |||
-e^{-x}, & x > 0 \\ | |||
0, & x \leq 0 | |||
\end{cases}</math>. Наћи функцију расподеле случајне променљиве <math>Y = X^2</math>. | |||
=== | === Решење === | ||
Прво је потребно одредити функцију расподеле <math>X</math>: <math>F_X(x) = \int_{-\infty}^x f(x) dx</math>. За <math>x > 0</math> добијамо <math>F_X(x) = \int_0^x -e^{-x} = e^{-x}|_0^x = e^{-x} - 1</math>, тако да је функција расподеле: <math>F_X(x) = \begin{cases} | |||
e^{-x} - 1, & x > 0 \\ | |||
0, & x \leq 0 | |||
\end{cases}</math>. | |||
==== | Из тога добијамо функцију расподеле <math>Y</math> као <math>F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(X \leq \sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y})</math>, односно: <math>F_{Y}(y) = \begin{cases} | ||
<math>-\ | e^{-\sqrt{y} } - 1, & y > 0 \\ | ||
0, & y \leq 0 | |||
\end{cases}</math> | |||
=== 3. | == 2. задатак == | ||
==== Поставка | === Поставка === | ||
# Навести три особине математичког очекивања по избору. | |||
# Нека је функција расподеле случајне променљливе <math>X</math> дата са <math>F(x) = \begin{cases} | |||
0, & x \leq 0 \\ | |||
\frac{x^2}{4}, & 0 < x < 2 \\ | |||
1, & x \geq 2 | |||
\end{cases}</math>. Наћи <math>E(2X-3)</math>. | |||
=== Решење === | |||
Особине математичког очекивања могу се наћи у оквиру [[Вероватноћа и статистика/Теорија#Математичко очекивање|теореме 4.2 на страници са сажетом теоријом]]. | |||
Да бисмо пронашли <math>E(2X-3)</math> потребна нам је вредност <math>EX</math>. За непрекидно <math>X</math> важи <math>EX = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx</math>, за шта нам је потребна густина расподеле <math>X</math>. Даље добијамо: | |||
* <math>f(x) = F'(x) = \begin{cases} | |||
0, & x \notin (0, 2) \\ | |||
\frac{x}{2}, & x \in (0, 2) | |||
\end{cases}</math> | |||
* <math>EX = \frac{1}{2} \int_0^2 x^2 dx = \frac{1}{6} x^3 |_0^2 = \frac{8 - 0}{6} = \frac{8}{6}</math> | |||
* <math>EX(2X-3) = 2EX - 3 = \frac{16 - 18}{6} = -\frac{1}{3}</math> | |||
== 3. задатак == | |||
=== Поставка === | |||
Нека је <math>X</math> случајна променљива са Пуасоновом расподелом са параметром <math>\lambda = 2</math>, а <math>Y</math> случајна променљива са нормалном расподелом са очекивањем <math>2</math> и варијансом <math>9</math>. Ако су <math>U=X+Y</math> и <math>V=X-Y</math>, одредити <math>\rho (U, V)</math>. | Нека је <math>X</math> случајна променљива са Пуасоновом расподелом са параметром <math>\lambda = 2</math>, а <math>Y</math> случајна променљива са нормалном расподелом са очекивањем <math>2</math> и варијансом <math>9</math>. Ако су <math>U=X+Y</math> и <math>V=X-Y</math>, одредити <math>\rho (U, V)</math>. | ||
==== | === Решење === | ||
<math>-\frac{7}{11}</math> | Ако рачунамо да су <math>X</math> и <math>Y</math> независне, добијамо следеће: | ||
* <math>X \sim Poiss(2)</math>, <math>EX = 2</math>, <math>VarX = 2</math> | |||
* <math>Y \sim \mathcal{N}(2, 9)</math>, <math>EY = 2</math>, <math>VarY = 9</math> | |||
* <math>U = X + Y</math>, <math>EU = EX + EY = 4</math>, <math>VarU = VarX + VarY = 11</math> | |||
* <math>V = X - Y</math>, <math>EV = EX - EY = 0</math>, <math>VarV = VarX + (-1)^2 VarY = 11</math> | |||
* <math>VarX = E(X^2) - (EX)^2 \implies E(X^2) = VarX + (EX)^2 = 6</math> | |||
* <math>E(Y^2) = 13</math> | |||
* <math>Cov(U, V) = E(U, V) - EU \cdot EV =</math><math> E((X - Y)(X + Y)) =</math><math> E(X^2 - Y^2) =</math><math> E(X^2) - E(Y^2) =</math><math> 6 - 13 = -7</math> | |||
* <math>\rho(U, V) = \frac{Cov(U, V)}{\sqrt{VarU} \sqrt{VarV} } = -\frac{7}{11}</math> | |||
== 4. задатак == | |||
=== Поставка === | |||
<math>X_1, \ldots, X_n</math> су независне случајне променљиве са истом расподелом, очекивањем <math>m</math> и варијансом <math>s^2</math>. | <math>X_1, \ldots, X_n</math> су независне случајне променљиве са истом расподелом, очекивањем <math>m</math> и варијансом <math>s^2</math>. | ||
# Наћи <math>E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)</math> и <math>Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)</math>. | # Наћи <math>E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)</math> и <math>Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)</math>. | ||
# Коришћењем неједнакости Чебишева наћи најмање <math>n</math>, тако да <math>P\left(\left|\frac{X_1+ \ldots+ X_n - n}{n}\right| \geq 0.5 \right) \leq 0.1</math>. | # Коришћењем неједнакости Чебишева наћи најмање <math>n</math>, тако да <math>P\left(\left|\frac{X_1+ \ldots+ X_n - n}{n}\right| \geq 0.5 \right) \leq 0.1</math>. | ||
=== Решење === | |||
# <math>E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = m</math><math>;\quad</math><math>Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = \frac{s^2}{n}</math> <br> | |||
2. <math>n_{\text{min}} = 14</math> | # <math>n\geq \frac{s^2}{0.025}</math>; <math>n_{\text{min}} = 14</math>, за <math>s</math> које је било дато у задатку, али није сачувано. | ||
== 5. задатак == | |||
=== Поставка === | |||
Коцкица се баца 540 пута. Која је вероватноћа да ће шестица пасти између 100 и 120 пута? Навести дефиницију теореме која је коришћена. | |||
=== | === Решење === | ||
= | Број шестица је у овом случају случајна променљива <math>X \sim Bin\left(540, \frac{1}{6}\right)</math>. Како је <math>\frac{540}{6} = 90 > 5</math>, можемо искористити апроксимацију биномне расподеле нормалном (која се изводи из централне граничне теореме) за <math>\frac{X - 90}{\sqrt{\frac{5}{6} 90}} = \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } \sim \mathcal{N}(0, 1)</math>. Даље добијамо: <math>P\left(\frac{100 - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{120 - 90}{5 \sqrt{3} }\right) =</math><math>P\left(\frac{2}{\sqrt{3} } < Z < \frac{6}{\sqrt{3} }\right) =</math><math>\Phi\left(\frac{6}{\sqrt{3} }\right) - \Phi\left(\frac{2}{\sqrt{3} }\right) =</math><math>0.999730 - 0.8749 = 0.12483</math> | ||
[[Категорија:Рокови]] | |||
[[Категорија:Вероватноћа и статистика]] |
Тренутна верзија на датум 12. септембар 2023. у 15:01
Други колоквијум 2022. године одржан је 5. маја. Поставка рока није јавно доступна.
1. задатак
Поставка
Нека је дата функција густине случајне променљиве са . Наћи функцију расподеле случајне променљиве .
Решење
Прво је потребно одредити функцију расподеле : . За добијамо , тако да је функција расподеле: .
Из тога добијамо функцију расподеле као , односно:
2. задатак
Поставка
- Навести три особине математичког очекивања по избору.
- Нека је функција расподеле случајне променљливе дата са . Наћи .
Решење
Особине математичког очекивања могу се наћи у оквиру теореме 4.2 на страници са сажетом теоријом.
Да бисмо пронашли потребна нам је вредност . За непрекидно важи , за шта нам је потребна густина расподеле . Даље добијамо:
3. задатак
Поставка
Нека је случајна променљива са Пуасоновом расподелом са параметром , а случајна променљива са нормалном расподелом са очекивањем и варијансом . Ако су и , одредити .
Решење
Ако рачунамо да су и независне, добијамо следеће:
- , ,
- , ,
- , ,
- , ,
4. задатак
Поставка
су независне случајне променљиве са истом расподелом, очекивањем и варијансом .
- Наћи и .
- Коришћењем неједнакости Чебишева наћи најмање , тако да .
Решење
-
- ; , за које је било дато у задатку, али није сачувано.
5. задатак
Поставка
Коцкица се баца 540 пута. Која је вероватноћа да ће шестица пасти између 100 и 120 пута? Навести дефиницију теореме која је коришћена.
Решење
Број шестица је у овом случају случајна променљива . Како је , можемо искористити апроксимацију биномне расподеле нормалном (која се изводи из централне граничне теореме) за . Даље добијамо: