Вероватноћа и статистика/Август 2021

Испит у августовском испитном року 2021. године трајао је 90 минута. Поставка рока није доступна са странице предмета.

1. задатак

Поставка

Дате су променљиве $X$ и $Y$, $Y = 2X + 1$. Ако $X \sim Unif[0, 2]$, наћи $\rho(X, Y)$.

Решење

• $X \sim Unif[0, 2]$
  • $EX = 1$
  • $VarX = \frac{1}{3}$
  • $E(X^2) = VarX + (EX)^2 = \frac{4}{3}$
• $Y = 2X + 1$
  • $EY = 2EX + 1 = 3$
  • $VarY = Var(2X + 1) = Var2X = 4VarX = \frac{4}{3}$
• $Cov(X, Y) = E(XY) - EX \cdot EY = E(2X^2 + X) - 3 = 2E(X^2) + EX - 3 = \frac{2}{3}$
• $\rho(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{VarX} \sqrt{VarY} } = \frac{\frac{2}{3} }{\sqrt{\frac{4}{9} } } = 1$

2. задатак

Поставка

1. Како гласи Чебишевљева неједнакост, извести је.
2. Уколико ради 10000 сијалица, одредити горњу границу за $P(|X - EX| < 200)$.

Решење

Чебишевљева неједнакост и њено извођење могу се пронаћи на страници са сажетом теоријом.

3. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Поставка

За

-1	0	1	2
$\frac{p}{3}$	$\frac{p}{3}$	$1-p$	$\frac{p}{3}$

оценити $p$ са

1. Методом момента, узорак 1, 1, 0, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 2, 2, 2
2. Методом максималне веродостојности

4. задатак

Поставка

Имамо 213 места на авиону, шанса да путник не дође на резервисано место је 0.0995. Колико максимално резервација можемо направити тако да шанса да свако има место буде већа од 0.9?

Решење

Број путника има $X \sim Bin(213, 0.9005)$ расподелу. Како је $213 \cdot 0.9005 > 5$, добијамо $\frac{X - 213 \cdot 0.9005}{\sqrt{213 \cdot 0.9005 \cdot 0.0995} } \sim \mathcal{N}(0, 1)$.

Даље добијамо:

• $P(X \leq n) = P\left(Z \leq \frac{n - 191.8065}{4.3686}\right) = \Phi\left(\frac{n - 191.8065}{4.3686}\right) > 0.9$
• $\frac{n - 191.8065}{4.3686} > 1.28$
• $n > 1.28 \cdot 4.3686 + 191.8065 \approx 197.4$

Добијамо да је потребно 198 људи.

5. задатак

Овај задатак није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Поставка

Одредити област одбацивања за $\mathcal{N}(\mu, 80^2)$, узорак је величине 100. Одредити и вероватноћу грешке другог реда уколико је $\mu = 210$.