Математика 2/Предавања П2/П3

Ова страница садржи материјале са предавања за групе П2 и П3 код професорки Татјане Лутовац и Марије Рашајски.

Неодређени интеграл

Дефиниција 1.1

Примитивна функција дате функције $f$ на датом интервалу $I$ је свака функција $F(x)$ за коју важи $(\forall x \in I) F'(x) = f(x)$.

Теорема 1.1

1. Ако је $F$ примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$ тада је и функција $F(x) + c$ такође примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$.
   Доказ: $(\forall x \in I) (F(x) + c)' = F'(x) = f(x)$
2. Ако су $F_1(x)$ и $F_2(x)$ примитивне функције функције $f$ на интервалу $I$, тада постоји константа $C \in \mathbb{R}$ тако да $(\forall x \in I) F_1(x) = F_2(x) + C$
   Доказ: $F_1(x)$, $F_2(x)$ су примитивне функције функције $f$ на интервалу $I$. Посматрајмо $F_1(x) - F_2(x)$ на интервалу $I$:

   $(\forall x \in I) (F_1(x) - F_2(x))' = f(x) - f(x) = 0 \implies (\exists c \in \mathbb{R}) (\forall x \in I) F_1(x) - F_2(x) = c$

Дефиниција 1.2

Скуп свих примитивних функција функције $f$ на интервалу $I$ зове се неодређени интеграл функције $f$ на интервалу $I$: $\{F(x) + c | c \in \mathbb{R}\}$ (где је $F(x)$ једна примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$).

Теорема 1.2

Ако функције $f(x)$ и $g(x)$ имају примитивну функцију на интервалу $I$ тада на том интервалу важи следеће:

1. $d\left(\int f(x) dx\right) = f(x) \cdot dx$
2. $\left(\int f(x) dx\right)' = f(x)$
3. $\int dF(x) = F(x) + c$, $c \in \mathbb{R}$
4. Линеарност интеграла: $\int (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \int \alpha f(x) dx + \int \beta g(x) dx$

Доказ

1. $d\left(\int f(x) dx\right) = d(F(x) + c) = d(F(x)) = F'(x) \cdot dx = f(x) \cdot dx$
2. $\frac{d\left(\int f(x) dx\right)}{dx} = \left(\int f(x) dx\right)' = f(x)$
3. $\int dF(x) = \int F'(x) dx = \int f(x) dx = F(x) + c$, $c \in \mathbb{R}$

Таблица неодређених интеграла

1. $\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$, $\alpha \neq -1$
2. $\int \frac{1}{x} dx = ln|x| + C$, $x \neq 0$
3. $\int \alpha^x dx = \frac{\alpha^x}{ln a} + C$, $a > 0, a \neq 1$
4. $\int e^x dx = e^x + C$
5. $\int \frac{dx}{1 + x^2} = arctg x + C = -arcctg x + C_1$
6. $\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = arcsin x + C = -arccos x + C_1$ ($|x| < 1$)
7. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm 1}} = ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm 1}\right| + C = \left\{ \begin{array}{ll} arsh x + C & za + \\ arch x + C & za - i x > 1 \end{array} \right.$
8. $\int \frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2} ln\left|\frac{1 + x}{1 - x}\right| + C = \left\{ \begin{array}{ll} arth x + C & za \left|x\right| < 1 \\ arcth x + C & za \left|x\right| > 1 \end{array} \right.$
9. $\int sinx dx = -cos x + C$
10. $\int cos x dx = sin x + C$
11. $\int \frac{dx}{cos^2 x} = tg x + C$
12. $\int \frac{dx}{sin^2 x} = -ctg x + C$
13. $\int sh x dx = ch x + C$
14. $\int ch x dx = sh x + C$
15. $\int \frac{dx}{ch^2 x} = th x + C$
16. $\int \frac{dx}{sh^2 x} = -cth x + C$

Метод смене променљиве

Теорема 1.3

Нека је функција $f$ непрекидна функција на интервалу $I$ и нека је $\int f(x) dx = F(x) + C$, $C \in \mathbb{R}$. Нека је функција $\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I$ и нека су $\varphi$ и $\varphi'(x)$ непрекидне и $\left(\forall x \in (\alpha, \beta)\right) \varphi'(x) \neq 0$. Тада важи:

$\int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = F(\varphi(t)) + c$ ($x = \varphi(t)$, $t \in (\alpha, \beta)$, $\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I$)

Метод парцијалне интеграције

Теорема 1.4

Ако су $u(x)$ и $v(x)$ диференцијабилне на $I$ и ако на $I$ постоје примитивне функције функција $u'(x)v(x)$ и $u(x)v'(x)$ тада на $I$ важи:

$\int u(x)dv(x) = u(x) \cdot v(x) - \int v(x) dv(x) + C$

Свођење квадратног тринома на канонски облик

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left(x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) =$ $= \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(\frac{x}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right)$

Интеграција рационалних функција

Дефиниција 1.3

Рационална функција је функција облика $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ где су $P_n(x)$ и $Q_m(x)$ полиноми реда $n$ и $m$. Права рационална функција је рационална функција где је $n < m$. Како би се применио метод интеграције рационалних функција, рационална функција се мора свести на праву. Након тога, полином $Q_m(x)$ се мора раставити на реалне факторе и са сваки се мора одредити збир елементарних рационалних функција (парцијалних разломака). Подинтегрална функција једнака је збиру свих парцијалних разломака, одакле се добију неодређени коефицијенти.

Реални фактор	Збир парцијалних разломака
$(x - a)^k$, $a \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{N}$	$\frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + ... + \frac{A_k}{(x - a)^k}$
$(x^2 + px + q)^k$, $p - 4q < 0$, $k \in \mathbb{N}$	$\frac{A_1x + B_1}{x^2 + px + q} + \frac{A_2x + B_2}{(x^2 + px + q)^2} + ... + \frac{A_kx + B_k}{(x^2 + px + q)^k}$

Интеграција неких ирационалних функција

1. $\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x) \sqrt{ax^2 + bx + c} + \lambda \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}$
2. • $\sqrt{a^2 - x^2}$ - смена: $x = asin(t)$
   • $\sqrt{x^2 - a^2}$ - смена: $x = \frac{a}{cos(t)}$
   • $\sqrt{x^2 + a^2}$ - смена: $x = atg(t)$
3. $\int R\left(x, \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{\frac{p_1}{q_1}}, ..., \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{\frac{p_k}{q_k}}\right)dx$, смена: $\frac{ax + b}{cx + d} = t^{NZS(q_1, q_2, ..., q_k)}$

Интеграција тригонометријских функција

1. Ако подинтегрална функција зависи од $sin(x)$ и/или $cos(x)$ и заменом $sin(x)$ за $-sin(x)$ и $cos(x)$ за $-cos(x)$ се добије иста функција, смена која се примењује је $t = tg(x)$.
2. Ако подинтегрална функција зависи од $sin(x)$ и/или $cos(x)$ и заменом $cos(x)$ за $-cos(x)$ се добије негација исте функција, смена која се примењује је $t = sin(x)$.
3. Ако подинтегрална функција зависи од $sin(x)$ и/или $cos(x)$ и заменом $sin(x)$ за $-sin(x)$ се добије негација исте функција, смена која се примењује је $t = cos(x)$.
4. У супротном може се применити смена $t = tg\frac{x}{2}$ која може довести до компликованих рационалних функција.

Риманов одређени интеграл

Дефиниција 2.1

Подела сегмента $[a, b]$ је коначан скуп тачака $\{x_0, x_1, ..., x_n\}$ где $a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = b$ (ознака $P$). На сваком $[x_{i-1}, x_i]$, $i = 1...n$ бирамо прозвољну тачку $t_i$ и називамо их истакнутим тачкама.

Сума $\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i - 1})$ зове се интегрална (Риманова) сума функције $f$ на сегменту $[a, b]$, за изабрану поделу $P$ са изабраним истакнутим тачкама $t_1, t_2, ..., t_n$ (ознака $S(f, a, b, P, t)$).

Дефиниција 2.2

Норма поделе $P$ (ознака $||P||$) је $max(x_i - x_{i - 1})$, где $1 \leq i \leq n$.

$||P|| \to 0 \implies n \to +\infty$, али не важи и $n \to +\infty \implies ||P|| \to 0$.

Дефиниција 2.3

Ако постоји реалан број $I$ тако да $\lim_{||P|| \to 0} \left(\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1})\right) = I$ за сваку поделу $P$ на сегменту $[a, b]$ тада се тај број зове Риманов (одређени) интеграл функције $f$ на сегменту $[a, b]$ (ознака $\int_a^b f(x) dx$).

Дефиниција 2.4

Функција $f$ је интеграбилна на сегменту $[a, b]$ ако постоји $I \in \mathbb{R}$ тако да $\lim_{||P|| \to 0} \left(\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1})\right) = I$. Последице:

1. $\int_a^a f(x) dx = 0$
2. $a < b$, $\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx$

Потребни и довољни услови за интеграбилност

Теорема 2.1

1. Ако је функција $f$ интеграбилна на одсечку $[a, b]$ тада је $f$ ограничена на $[a, b]$.
2. Ако је $f$ непрекидна на $[a, b]$ тада је $f$ интеграбилна на $[a, b]$.
3. Ако је $f$ дефинисана и ограничена на $[a, b]$ и ако на одсечку $[a, b]$ има коначно много тачака прекида, тада је $f$ интеграбилна на $[a, b]$.
4. Ако је $f$ монотона на одсечку $[a, b]$ тада је $f$ интеграбилна на $[a, b]$.

Својства Римановог одређеног интеграла

Теорема 2.2

Нека су функције $f$ и $g$ интеграбилне на $[a, b]$. Тада важи:

1. Линеарност интеграла: $\int_a^b \left(\alpha f(x) + \beta g(x)\right) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$
2. Адитивност интеграла: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$, $c \in [a, b]$
3. Модуларна неједнакост: Функција $|f(x)|$ је интеграбилна на $[a, b]$ и важи $\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$
4. Функција $f(x) \cdot g(x)$ је интеграбилна на $[a, b]$.
5. Функција $f(x)$ је интеграбилна на $[\alpha, \beta] \subseteq [a, b]$.
6. Ако је $(\forall x \in [a, b]) f(x) = f_1(x)$ осим у коначно много тачака, тада је функција интеграбилна на $[a, b]$ и важи $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f_1(x) dx$.
7. • $(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0 \implies \int_a^b f(x) dx \geq 0$
   • $(\forall x \in [a, b]) f(x) > 0 \implies \int_a^b f(x) dx > 0$
8. Монотоност интеграла:
   • $(\forall x \in [a, b]) f(x) \leq g(x) \implies \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx$
   • $(\forall x \in [a, b]) f(x) < g(x) \implies \int_a^b f(x) dx < \int_a^b g(x) dx$

Веза између Римановог одређеног интеграла и неодређеног интеграла

Теорема 2.3

Ако је $f$ непрекидна функција на интервалу $I$ и ако је $F$ било која примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$, тада за сваки сегмент $[a, b] \subset I$ важи:

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

Методи интеграције одређеног интеграла

Теорема 2.4

(Парцијална интеграција) Ако су функције $u(x)$, $v(x)$, $u'(x)$ и $v'(x)$ непрекидне на $[a, b]$ тада је

$\int_a^b u(x) dv(x) = (u(x) v(x)) |_a^b - \int_a^b v(x) du(x)$

Теорема 2.5

(Смена променљиве код одређеног интеграла)

1. Смена $x = \varphi(t)$: $\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) dt$ ако важи следеће:
   • функција $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ је непрекидна,
   • $a = \varphi(\alpha)$, $b = \varphi(\beta)$,
   • функције $\varphi: [\alpha, \beta] \to [a, b]$ и $\varphi'$ су непрекидне на $[\alpha, \beta]$
   • функција $f(\varphi(t))$ је дефинисана за све вредности $t \in [\alpha, \beta]$.
2. Смена : ако важи следеће:
   • функција $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ је непрекидна,
   • $g(a) = \alpha$, $g(b) = \beta$,
   • функција $g$ је строго монотона на $[a, b]$
   • инверзна функција $g^{-1}$ има непрекидан извод на $[\alpha, \beta]$.

Теорема 2.6

Ако је $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ непрекидна и периодична функција са периодом $T$, тада важи:

$\int_0^T f(x) dx = \int_a^{a+T} f(x) dx$, ($a \in \mathbb{R}$)

Теорема 2.7

Ако је $f$ непрекидна функција на $[-a, a]$, тада важи:

$\int_{-a}^a f(x) dx = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & ako je f neparna funkcija \\ 2 \int_0^a f(x) dx, & ako je f parna funkcija \end{array} \right.$

Теорема 2.8

Ако је $f$ непрекидна на $[a, b]$ и $(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0$ тада је површина фигуре која је ограничена кривом $y = f(x)$, правима $x = a$, $x = b$, и $x$-осом једнака $\int_a^b f(x) dx$.

Несвојствени интеграли

Несвојствени интеграли су интеграли чији интервал интеграције није коначан или подинтегрална функција није ограничена на интервалу.

Дефиниција 2.5

(Бесконачан интервал)

1. Нека је $f$ дефинисана на $[0, +\infty)$ и нека је интеграбилна на сваком коначном сегменту $[a, \beta] \subset [a, +\infty)$.

   $\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{\beta \to +\infty} (\int_a^{\beta} f(x) dx)$

2. Нека је $f$ дефинисана на $(-\infty, b)$ и нека је интеграбилна на сваком коначном сегменту $[\alpha, b] \subset (-\infty, b]$.

   $\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{\alpha \to -\infty} (\int_{\alpha}^b f(x) dx)$

3. Нека је $f$ дефинисана на $\mathbb{R}$ и нека је интеграбилна на сваком коначном сегменту $[\alpha, \beta] \subset \mathbb{R}$.

   $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{+\infty} f(x) dx = \lim_{\alpha \to -\infty} (\int_{\alpha}^c f(x) dx) + \lim_{\beta \to +\infty} (\int_c^{\beta} f(x) dx)$

   ($c \in \mathbb{R}$)

Дефиниција 2.6

(Неограничена подинтегрална функција)

1. Нека је $f$ дефинисана на $[a, b)$ и нека није 0 у левој околини тачке $b$.

   $\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to b^{-}} \int_a^c f(x) dx$

2. Нека је $f$ дефинисана на $(a, b]$ и нека није 0 у десној околини тачке $a$.

   $\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to a^{+}} \int_c^b f(x) dx$

3. Нека је $f$ дефинисана на $(a, b)$ и нека није 0 у левој околини тачке $b$ и десној околини тачке $a$.

   $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \lim_{d \to a^{+}} (\int_d^c f(x) dx) + \lim_{e \to b^{-}} (\int_c^e f(x) dx)$

   ($c \in \mathbb{R}$)

Функције више променљивих

Дефиниција 3.1

Пресликавање $f: D \to \mathbb{R}$ где је $D \subseteq \mathbb{R}^n$ зове се реална функција са $n$ независних променљивих чији је домен $D$.

Гранична вредност и непрекидност

Дефиниција 3.2

Растојање између тачака $X$ и $Y$ где су $X, Y \in \mathbb{R}^n$ тако да $X = (x_1, x_2, ..., x_n)$ и $Y = (y_1, y_2, ..., y_n)$ једнако је $d(X, Y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + ... + (x_n - y_n)^2}$

Дефиниција 3.3

Нека је дата тачка $M_0(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ и нека је дато $\delta > 0$ ($\delta \in \mathbb{R}$). $\delta$-околина тачке $M_0$ је тада скуп $\{M = (x, y) \in \mathbb{R}^2|d(M_0, M) < \delta\}$.

Дефиниција 3.4

Нека је $f$ дефинисана у некој околини тачке $M_0(x_0, y_0)$ ($K[x_0, r)$ за $r > 0$).

1. $\lim_{x \to x_0, y \to y_0} f(x, y) = a \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > \varepsilon)(\forall M(x, y) \in Dom(f))(0 < d(M_0, M) < \delta \implies f(M) \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon))$ ($a \in \mathbb{R}$)
2. $\lim_{X \to M_0} f(X) = +\infty \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall M(x, y) \in D_f)(0 < d(M_0, M) < \delta \implies f(M) \in (\varepsilon, +\infty))$
3. $\lim_{X \to M_0} f(X) = -\infty \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall M(x, y) \in D_f)(0 < d(M_0, M) < \delta \implies f(M) \in (-\infty, \varepsilon))$

Дефиниција 3.5

Нека је $f(x, y)$ дефинисана у некој околини тачке $M_0(x_0, y_0)$. Ако је $\lim_{X \to M_0} f(X) = f(M_0)$ каже се да је $f$ непрекидна у $M_0$.

Дефиниција 3.6

Ако је $f$ непрекидна у свакој тачки неке области $S \subseteq D_f$ кажемо да је непрекидна у области $S$.

Парцијални изводи

Дефиниција 3.7

Нека је $f(x, y)$ дефинисана на некој области $S \subseteq D_f \subseteq \mathbb{R}^2$. Нека тачке $M_0(x_0, y_0)$, $(x_0 + \Delta x, y_0)$, $(x_0, y_0 + \Delta y)$ и $(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$ припадају $S$. Разлика $f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$ зове се (парцијални) прираштај функције $f$ по променљивој $x$ у тачки $(x_0, y_0)$. Разлика $f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$ зове се (парцијални) прираштај функције $f$ по променљивој $y$ у тачки $(x_0, y_0)$. Разлика $f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$ зове се потпуни прираштај.

Дефиниција 3.8

Ако постоји $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$ он се зове први парцијални извод по променљивој $x$ функције $f$. Ако постоји $\lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}$ он се зове први парцијални извод по променљивој $y$ функције $f$. Ознака: $f'_x(x, y)$ или $\frac{\partial f}{\partial x}|_{M_0(x_0, y_0)}$.

Дефиниција 3.9

$f$ је диференцијабилна у $M_0$ ако и само ако се $f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0, y_0)$ може представити у облику $\Delta f = A \Delta x + B \Delta y + h(\Delta x, \Delta y)$ где су $A$ и $B$ бројеви тако да $\lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0} \frac{h(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = 0$ и $A$ и $B$ зависе само од координата $x_0$ и $y_0$, и где се $A \Delta x + B \Delta y$ назива тоталним диференцијалом у $M_0$ (ознака $df$).

Теорема 3.1

Ако је $f(x, y)$ диференцијабилна у $M_0(x_0, y_0)$ онда је $f(x, y)$ непрекидна у $M_0$, из чега следи да постоје парцијални изводи $f(x, y)$ у $M_0$.

Теорема 3.2

Ако $f(x, y)$ има парцијалне изводе у некој околнни $M_0$ и ако су ти парцијални изводи непрекидни у $M_0$ тада је $f(x, y)$ диференцијабилна у $M_0$ и важи:

$df = \frac{\partial f}{\partial x}|_{M_0} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}|_{M_0} \Delta y = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

Парцијални изводи вишег реда

$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$

Мешовити парцијални изводи: $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$

Виши диференцијали: $d^2 f = d(df) = d\left(\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy\right) = d\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) dx + \frac{\partial f}{\partial x} d(dx) +$

$+ d\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) dy + \frac{\partial f}{\partial y} d(dy) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} dy\right) dx + \left(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} dx + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} dy\right) dy =$

$= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} dx dy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} dy^2$

Теорема 3.3

Ако су $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ и $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ непрекидне функције у области $S$ тада су оне у тој области једнаке.

Локалне екстремне вредности

Дефиниција 3.10

$M_0(x_0, y_0)$ је локални максимум (односно минимум) функције $f(x, y)$ ако и само ако постоји околина $K[M_0, \delta)$ ($\delta > 0$) тако да важи $(\forall M \in K[M_0, S)) f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)) \leq 0$ (односно $\geq 0$).

Теорема 3.4

Ако $f$ у $M_0$ има локалну екстремну вредност тада у $M_0$ важи да $\frac{\partial f}{\partial x}|_{M_0} = 0$ и $\frac{\partial f}{\partial y}|_{M_0} = 0$.

Теорема 3.5

Нека је $M_0$ стационарна тачка $f(x, y)$. Уводимо ознаке $A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $B = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$, $C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ и $\Delta(M_0) = (A \cdot C - B^2)|_{M_0}$.

1. Ако је $\Delta(M_0) > 0$, онда $f$ има локални екстремум у $M_0$ и то:
   • минимум ако $A > 0$
   • максимум ако $A < 0$
2. Ако је $\Delta(M_0) < 0$, онда немамо локални екстремум у $M_0$.
3. Ако је $\Delta(M_0) = 0$ онда морамо вршити додатна испитивања како бисмо одредили да ли има локалног екстремума у тој тачки.