Математика 2/Предавања П2/П3 — разлика између измена

Верзија на датум 27. фебруар 2020. у 15:06

Ова страница садржи материјале са предавања за групе П2 и П3 код професорки Татјане Лутовац и Марије Рашајски.

Неодређени интеграл

Пропратни материјал: Датотека:M2 Neodređeni integrali P3.pdf

Дефиниција 1: Примитивна функција дате функције $f$ на датом интервалу $I$ је свака функција $F(x)$ за коју важи $(\forall x \in I) F'(x) = f(x)$ .

Теорема 1:

Ако је $F$ примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$ тада је и функција $F(x) + c$ такође примитивна функција функције $F$ на интервалу $I$ .
Доказ: $(\forall x \in I) (F(x) + c)' = F'(x) = f(x)$
Ако су $F_1(x)$ и $F_2(x)$ примитивне функције фунцкије $f$ на интервалу $I$ , тада постоји константа $C \in \mathbb{R}$ тако да $(\forall x \in I) F_1(x) = F_2(x) + C$
Доказ: $F_1(x)$ , $F_2(x)$ су примитивне функције функције $f$ на интервалу $I$ . Посматрајмо $F_1(x) - F_2(x)$ на интервалу $I$ :
$(\forall x \in I) (F_1(x) - F_2(x))' = f(x) - f(x) = 0 \implies (\exists c \in \mathbb{R}) (\forall x \in I) F_1(x) - F_2(x) = c$

Дефиниција 2: Скуп свих примитивних функција функције $f$ на интервалу $I$ зове се неодређени интеграл функције $f$ на интервалу $I$ : $\{F(x) + c | c \in \mathbb{R}\}$ (где је $F(x)$ једна примитивна функције функције $f$ на интервалу $I$ )

Теорема 2: Ако функције $f(x)$ и $g(x)$ имају примитивну функцију на интервалу $I$ тада на том интервалу важи следеће:

$d\left(\int f(x) dx\right) = f(x) \cdot dx$
$\left(\int f(x) dx\right)' = f(x)$
$\int dF(x) = F(x) + c$ , $c \in \mathbb{R}$
Линеарност интеграла: $\int (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \int \alpha f(x) dx + \int \beta g(x) dx$

Доказ:

$d\left(\int f(x) dx\right) = d(f(x) + c) = d(f(x)) = F'(x) \cdot dx = f(x) \cdot dx$
$\frac{d\left(\int f(x) dx\right)}{dx} = \left(\int f(x) dx\right)' = f(x)$
$\int dF(x) = \int F'(x) dx = \int f(x) dx = F(x) + c$ , $c \in \mathbb{R}$

Основни методи интеграције

Таблица неодређених интеграла

$\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$ , $\alpha \neq -1$
$\int \frac{1}{x} dx = ln|x| + C$ , $x \neq 0$
$\int \alpha^x dx = \frac{\alpha^x}{ln a} + C$ , $a > 0, a \neq 1$
$\int e^x dx = e^x + C$
$\int \frac{dx}{1 + x^2} = arctg x + C = -arcctg x + C_1$
$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = arcsin x + C = -arccos x + C_1$ ( $|x| < 1$ )
${\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm 1}} = ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm 1}\right| + C = \left\{ \begin{array}{ll} arsh x + C & za + \\ arch x + C & za - i x > 1 \end{array} \right. }$
Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }

Теорема о линеарности интеграла

Метод смене променљиве

Теорема 3: Нека је функција $f$ непрекидна функција на интервалу $I$ и нека је $\int f(x) dx = F(x) + C$ , $C \in \mathbb{R}$ . Нека је функција $\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I$ и нека су $\varphi$ и $\varphi'(x)$ непрекидне и $\left(\forall x \in (\alpha, \beta)\right) \varphi'(x) \neq 0$ . Тада важи:

\int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = F(\varphi(t)) + c

(

x = \varphi(t)

,

t \in (\alpha, \beta)

,

\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I

)

Метод парцијалне интеграције

Теорема 4: Ако су $u(x)$ и $v(x)$ диференцијабилне на $I$ и ако на $I$ постоје примитивне функције функција $u'(x)v(x)$ и $u(x)v'(x)$ тада на $I$ важи:

\int u(x)dv(x) = u(x) \cdot v(x) - \int v(x) dv(x) + C

Метод рекурентних формула

Свођење квадратног тринома на канонски облик

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left(x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) = \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(\frac{x}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right)$

Метод неодређених коефицијената

Интеграција рационалних функција

Рационална функција је функција облика $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ где су $P_n(x)$ и $Q_m(x)$ полиноми реда $n$ и $m$ . Права рационална функција је рационална функција где је $n < m$ . Како би се применио метод интеграције рационалних функција, рационална функција се мора свести на праву. Након тога, полином $Q_m(x)$ се мора раставити на реалне факторе и са сваки се мора одредити збир елементарних рационалних функција (парцијалних разломака). Подинтегрална функција једнака је збиру свих парцијалних разломака, одакле се добију неодређени коефицијенти.

Реални фактор	Збир парцијалних разломака
$(x - a)^k$ , $a \in \mathbb{R}$ , $k \in \mathbb{N}$	$\frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + ... + \frac{A_k}{(x - a)^k}$
$(x^2 + px + q)^k$ , $p - 4q < 0$ , $k \in \mathbb{N}$	$\frac{A_1x + B_1}{x^2 + px + q} + \frac{A_2x + B_2}{(x^2 + px + q)^2} + ... + \frac{A_kx + B_k}{(x^2 + px + q)^k}$

Интеграција неких ирационалних функција

$\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x) \sqrt{ax^2 + bx + c} + \lambda \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}$
- $\sqrt{a^2 - x^2}$ - смена: $x = asin(t)$
- $\sqrt{x^2 - a^2}$ - смена: $x = \frac{a}{cos(t)}$
- $\sqrt{x^2 + a^2}$ - смена: $x = atg(t)$
$\int R\left(x, \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{\frac{p_1}{q_1}}, ..., \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{\frac{p_k}{q_k}}\right)dx$ , смена: $\frac{ax + b}{cx + d} = t^{NZS(q_1, q_2, ..., q_k)}$

Интеграција тригонометријских функција

Ако подинтегрална функција зависи од $sin(x)$ и/или $cos(x)$ и заменом $sin(x)$ за $-sin(x)$ и $cos(x)$ за $-cos(x)$ се добије иста функција, смена која се примењује је $t = tg(x)$ .
Ако подинтегрална функција зависи од $sin(x)$ и/или $cos(x)$ и заменом $cos(x)$ за $-cos(x)$ се добије негација исте функција, смена која се примењује је $t = sin(x)$ .
Ако подинтегрална функција зависи од $sin(x)$ и/или $cos(x)$ и заменом $sin(x)$ за $-sin(x)$ се добије негација исте функција, смена која се примењује је $t = cos(x)$ .
У супротном може се применити смена $t = tg\frac{x}{2}$ која може довести до компликованих рационалних функција.

Риманов одређени интеграл

Пропратни материјал: Датотека:M2 Određeni integral P3.pdf

Дефиниција 1: Подела сегмента $[a, b]$ је коначан скуп тачака $\{x_0, x_1, ..., x_n\}$ где $a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = b$ (ознака $P$ ). На сваком $[x_{i-1}, x_i]$ , $i = 1...n$ бирамо прозвољну тачку $t_i$ и називамо их истакнутим тачкама.

Сума $\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i - 1})$ зове се интегрална (Риманова) сума функције $f$ на сегменту $[a, b]$ , за изабрану поделу $P$ са изабраним истакнутим тачкама $t_1, t_2, ..., t_n$ (ознака $S(f, a, b, P, t)$ ).

Дефиниција 2: Норма поделе $P$ (ознака $||P||$ ) је $max(x_i - x_{i - 1})$ , где $1 \leq i \leq n$ .

$||P|| \to 0 \implies n \to +\infty$ , али не важи и $n \to +\infty \implies ||P|| \to 0$ .

Дефиниција 3: Ако постоји реалан број $I$ тако да $\lim_{||P|| \to 0} \left(\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1})\right) = I$ за сваку поделу $P$ на сегменту $[a, b]$ тада се тај број зове Риманов (одређени) интеграл функције $f$ на сегменту $[a, b]$ (ознака $\int_a^b f(x) dx$ ).

Дефиниција 4: Функција $f$ је интеграбилна на сегменту $[a, b]$ ако постоји $I \in \mathbb{R}$ тако да $\lim_{||P|| \to 0} \left(\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1})\right) = I$ . Последице:

$\int_a^a f(x) dx = 0$
$a < b$ , $\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx$

Потребни и довољни услови за интеграбилност

Теорема 1:

Ако је функција $f$ интеграбилна на одсечку $[a, b]$ тада је $f$ ограничена на $[a, b]$ .
Ако је $f$ непрекидна на $[a, b]$ тада је $f$ интеграбилна на $[a, b]$ .
Ако је $f$ дефинисана и ограничена на $[a, b]$ и ако на одсечку $[a, b]$ има коначно много тачака прекида, тада је $f$ интеграбилна на $[a, b]$ .
Ако је $f$ монотона на одсечку $[a, b]$ тада је $f$ интеграбилна на $[a, b]$ .

Својства Римановог одређеног интеграла

Теорема 1: Нека су функције $f$ и $g$ интеграбилне на $[a, b]$ . Тада важи:

Линеарност интеграла: $\int_a^b \left(\alpha f(x) + \beta g(x)\right) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$
Адитивност интеграла: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$ , $c \in [a, b]$
Модуларна неједнакост: Функција $|f(x)|$ је интеграбилна на $[a, b]$ и важи $\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$
Функција $f(x) \cdot g(x)$ је интеграбилна на $[a, b]$ .
Функција $f(x)$ је интеграбилна на $[\alpha, \beta] \subseteq [a, b]$ .
Ако је $(\forall x \in [a, b]) f(x) = f_1(x)$ осим у коначно много тачака, тада је функција интеграбилна на $[a, b]$ и важи $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f_1(x) dx$ .
- $(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0 \implies \int_a^b f(x) dx \geq 0$
- $(\forall x \in [a, b]) f(x) > 0 \implies \int_a^b f(x) dx > 0$
Монотоност интеграла:
- $(\forall x \in [a, b]) f(x) \leq g(x) \implies \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx$
- $(\forall x \in [a, b]) f(x) < g(x) \implies \int_a^b f(x) dx < \int_a^b g(x) dx$

Веза између Римановог одређеног интеграла и неодређеног интеграла

Теорема 1: Ако је $f$ непрекидна функција на интервалу $I$ и ако је $F$ било која примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$ , тада за сваки сегмент $[a, b] \subset I$ важи:

\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Методи интеграције одређеног интеграла

Теорема 1: (Парцијална интеграција) Ако су функције $u(x)$ , $v(x)$ , $u'(x)$ и $v'(x)$ непрекидне на $[a, b]$ тада је

\int_a^b u(x) dv(x) = (u(x) v(x)) |_a^b - \int_a^b v(x) du(x)

Теорема 2: (Смена променљиве код одређеног интеграла)

Смена $x = \varphi(t)$ : $\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) dt$ $\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) dt$ ако важи следеће:
- функција $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ је непрекидна,
- $a = \varphi(\alpha)$ , $b = \varphi(\beta)$ ,
- функције $\varphi: [\alpha, \beta] \to [a, b]$ и $\varphi'$ су непрекидне на $[\alpha, \beta]$
- функција $f(\varphi(t))$ је дефинисана за све вредности $t \in [\alpha, \beta]$ .
Смена : ако важи следеће:
- функција $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ је непрекидна,
- $g(a) = \alpha$ , $g(b) = \beta$ ,
- функција $g$ је строго монотона на $[a, b]$
- инверзна функција $g^{-1}$ има непрекидан извод на $[\alpha, \beta]$ .

Теорема 3: Ако је $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ непрекидна и периодична функција са периодом $T$ , тада важи:

\int_0^T f(x) dx = \int_a^{a+T} f(x) dx

, (

a \in \mathbb{R}

)

Теорема 4: Ако је $f$ непрекидна функција на $[-a, a]$ , тада важи:

{\displaystyle \int_{-a}^a f(x) dx = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & ako je f neparna funkcija \\ 2 \int_0^a f(x) dx, & ako je f parna funkcija \end{array} \right.}

Теорема 5: Ако је $f$ непрекидна на $[a, b]$ и $(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0$ тада је површина фигуре која је ограничена кривом $y = f(x)$ , правима $x = a$ , $x = b$ , и $x$ -осом једнака $\int_a^b f(x) dx$ .

Несвојствени интеграли

@@ Ред 101: / Ред 101: @@
 '''Дефиниција 2:''' Норма поделе <math>P</math> (ознака <math>||P||</math>) је <math>max(x_i - x_{i - 1})</math>, где <math>1 \leq i \leq n</math>.
-<math>||P|| \to 0 \implies n \to +\inf</math>, али не важи и <math>n \to +\inf \implies ||P|| \to 0</math>.
+<math>||P|| \to 0 \implies n \to +\infty</math>, али не важи и <math>n \to +\infty \implies ||P|| \to 0</math>.
 '''Дефиниција 3:''' Ако постоји реалан број <math>I</math> тако да <math>\lim_{||P|| \to 0} \left(\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1})\right) = I</math> за сваку поделу <math>P</math> на сегменту <math>[a, b]</math> тада се тај број зове Риманов (одређени) интеграл функције <math>f</math> на сегменту <math>[a, b]</math> (ознака <math>\int_a^b f(x) dx</math>).
@@ Ред 116: / Ред 116: @@
 # Ако је <math>f</math> монотона на одсечку <math>[a, b]</math> тада је <math>f</math> интеграбилна на <math>[a, b]</math>.
-=== Својства одређеног интеграла ===
+=== Својства Римановог одређеног интеграла ===
+'''Теорема 1''': Нека су функције <math>f</math> и <math>g</math> интеграбилне на <math>[a, b]</math>. Тада важи:
+# Линеарност интеграла: <math>\int_a^b \left(\alpha f(x) + \beta g(x)\right) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx </math>
+# Адитивност интеграла: <math>\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_b^c f(x) dx</math>, <math>c \in [a, b]</math>
+# Модуларна неједнакост: Функција <math>|f(x)|</math> је интеграбилна на <math>[a, b]</math> и важи <math>\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx</math>
+# Функција <math>f(x) \cdot g(x)</math> је интеграбилна на <math>[a, b]</math>.
+# Функција <math>f(x)</math> је интеграбилна на <math>[\alpha, \beta] \subseteq [a, b]</math>.
+# Ако је <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) = f_1(x)</math> осим у коначно много тачака, тада је функција  интеграбилна на <math>[a, b]</math> и важи <math>\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f_1(x) dx</math>.
+#
+#* <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0 \implies \int_a^b f(x) dx \geq 0</math>
+#* <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) > 0 \implies \int_a^b f(x) dx > 0</math>
+# Монотоност интеграла:
+#* <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) \leq g(x) \implies \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx</math>
+#* <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) < g(x) \implies \int_a^b f(x) dx < \int_a^b g(x) dx</math>
-'''Теорема 3.1''': <math>\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x)dx </math>
+=== Веза између Римановог одређеног интеграла и неодређеног интеграла ===
+'''Теорема 1:''' Ако је <math>f</math> непрекидна функција на интервалу <math>I</math> и ако је <math>F</math> било која примитивна функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>, тада за сваки сегмент <math>[a, b] \subset I</math> важи:
+: <math>\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</math>
+=== Методи интеграције одређеног интеграла ===
+'''Теорема 1:''' (Парцијална интеграција) Ако су функције <math>u(x)</math>, <math>v(x)</math>, <math>u'(x)</math> и <math>v'(x)</math> непрекидне на <math>[a, b]</math> тада је
+: <math>\int_a^b u(x) dv(x) = (u(x) v(x)) |_a^b - \int_a^b v(x) du(x)</math>
+'''Теорема 2:''' (Смена променљиве код одређеног интеграла)
+# '''Смена <math>x = \varphi(t)</math>:''' <math>\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) dt</math> ако важи следеће:
+#* функција <math>f: [a, b] \to \mathbb{R}</math> је непрекидна,
+#* <math>a = \varphi(\alpha)</math>, <math>b = \varphi(\beta)</math>,
+#* функције <math>\varphi: [\alpha, \beta] \to [a, b]</math> и <math>\varphi'</math> су непрекидне на <math>[\alpha, \beta]</math>
+#* функција <math>f(\varphi(t))</math> је дефинисана за све вредности <math>t \in [\alpha, \beta]</math>.
+# '''Смена :'''  ако важи следеће:
+#* функција <math>f: [a, b] \to \mathbb{R}</math> је непрекидна,
+#* <math>g(a) = \alpha</math>, <math>g(b) = \beta</math>,
+#* функција <math>g</math> је строго монотона на <math>[a, b]</math>
+#* инверзна функција <math>g^{-1}</math> има непрекидан извод на <math>[\alpha, \beta]</math>.
+'''Теорема 3:''' Ако је <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> непрекидна и периодична функција са периодом <math>T</math>, тада важи:
+: <math>\int_0^T f(x) dx = \int_a^{a+T} f(x) dx</math>, (<math>a \in \mathbb{R}</math>)
+'''Теорема 4:''' Ако је <math>f</math> непрекидна функција на <math>[-a, a]</math>, тада важи:
+: <math>\int_{-a}^a f(x) dx = \left\{
+\begin{array}{ll}
+, & ako je f neparna funkcija \\
+\int_0^a f(x) dx, & ako je f parna funkcija
+\end{array}
+\right.</math>
+'''Теорема 5:''' Ако је <math>f</math> непрекидна на <math>[a, b]</math> и <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0</math> тада је површина фигуре која је ограничена кривом <math>y = f(x)</math>, правима <math>x = a</math>, <math>x = b</math>, и <math>x</math>-осом једнака <math>\int_a^b f(x) dx</math>.
+== Несвојствени интеграли ==

Математика 2/Предавања П2/П3 — разлика између измена

Верзија на датум 27. фебруар 2020. у 15:06

Садржај