Вероватноћа и статистика/К2 2022

Други колоквијум 2022. године одржан је 5. маја. Поставка рока није јавно доступна.

1. задатак

Поставка

Нека је дата функција густине случајне променљиве $X$ са $f_X(x) = \begin{cases} -e^{-x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$. Наћи функцију расподеле случајне променљиве $Y = X^2$.

Решење

Прво је потребно одредити функцију расподеле $X$: $F_X(x) = \int_{-\infty}^x f(x) dx$. За $x > 0$ добијамо $F_X(x) = \int_0^x -e^{-x} = e^{-x}|_0^x = e^{-x} - 1$, тако да је функција расподеле: $F_X(x) = \begin{cases} e^{-x} - 1, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$.

Из тога добијамо функцију расподеле $Y$ као $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(X \leq \sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y})$, односно: $F_{Y}(y) = \begin{cases} e^{-\sqrt{y} } - 1, & y > 0 \\ 0, & y \leq 0 \end{cases}$

2. задатак

Поставка

1. Навести три особине математичког очекивања по избору.
2. Нека је функција расподеле случајне променљливе $X$ дата са $F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \frac{x^2}{4}, & 0 < x < 2 \\ 1, & x \geq 2 \end{cases}$. Наћи $E(2X-3)$.

Решење

Особине математичког очекивања могу се наћи у оквиру теореме 4.2 на страници са сажетом теоријом.

Да бисмо пронашли $E(2X-3)$ потребна нам је вредност $EX$. За непрекидно $X$ важи $EX = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$, за шта нам је потребна густина расподеле $X$. Даље добијамо:

• $f(x) = F'(x) = \begin{cases} 0, & x \notin (0, 2) \\ \frac{x}{2}, & x \in (0, 2) \end{cases}$
• $EX = \frac{1}{2} \int_0^2 x^2 dx = \frac{1}{6} x^3 |_0^2 = \frac{8 - 0}{6} = \frac{8}{6}$
• $EX(2X-3) = 2EX - 3 = \frac{16 - 18}{6} = -\frac{1}{3}$

3. задатак

Поставка

Нека је $X$ случајна променљива са Пуасоновом расподелом са параметром $\lambda = 2$, а $Y$ случајна променљива са нормалном расподелом са очекивањем $2$ и варијансом $9$. Ако су $U=X+Y$ и $V=X-Y$, одредити $\rho (U, V)$.

Решење

Ако рачунамо да су $X$ и $Y$ независне, добијамо следеће:

• $X \sim Poiss(2)$, $EX = 2$, $VarX = 2$
• $Y \sim \mathcal{N}(2, 9)$, $EY = 2$, $VarY = 9$
• $U = X + Y$, $EU = EX + EY = 4$, $VarU = VarX + VarY = 11$
• $V = X - Y$, $EV = EX - EY = 0$, $VarV = VarX + (-1)^2 VarY = 11$
• $VarX = E(X^2) - (EX)^2 \implies E(X^2) = VarX + (EX)^2 = 6$
• $E(Y^2) = 13$
• $Cov(U, V) = E(U, V) - EU \cdot EV =$$E((X - Y)(X + Y)) =$$E(X^2 - Y^2) =$$E(X^2) - E(Y^2) =$$6 - 13 = -7$
• $\rho(U, V) = \frac{Cov(U, V)}{\sqrt{VarU} \sqrt{VarV} } = -\frac{7}{11}$

4. задатак

Поставка

$X_1, \ldots, X_n$ су независне случајне променљиве са истом расподелом, очекивањем $m$ и варијансом $s^2$.

1. Наћи $E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)$ и $Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)$.
2. Коришћењем неједнакости Чебишева наћи најмање $n$, тако да $P\left(\left|\frac{X_1+ \ldots+ X_n - n}{n}\right| \geq 0.5 \right) \leq 0.1$.

Решење

1. $E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = m$$;\quad$$Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = \frac{s^2}{n}$
   
2. $n\geq \frac{s^2}{0.025}$; $n_{\text{min}} = 14$, за $s$ које је било дато у задатку, али није сачувано.

5. задатак

Поставка

Коцкица се баца 540 пута. Која је вероватноћа да ће шестица пасти између 100 и 120 пута? Навести дефиницију теореме која је коришћена.

Решење

Број шестица је у овом случају случајна променљива $X \sim Bin\left(540, \frac{1}{6}\right)$. Како је $\frac{540}{6} = 90 > 5$, можемо искористити апроксимацију биномне расподеле нормалном (која се изводи из централне граничне теореме) за $\frac{X - 90}{\sqrt{\frac{5}{6} 90}} = \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } \sim \mathcal{N}(0, 1)$. Даље добијамо: $P\left(\frac{100 - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{120 - 90}{5 \sqrt{3} }\right) =$$P\left(\frac{2}{\sqrt{3} } < Z < \frac{6}{\sqrt{3} }\right) =$$\Phi\left(\frac{6}{\sqrt{3} }\right) - \Phi\left(\frac{2}{\sqrt{3} }\right) =$$0.999730 - 0.8749 = 0.12483$