Математика 2/Предавања П2/П3

Ова страница садржи материјале са предавања за групе П2 и П3 код професорки Татјане Лутовац и Марије Рашајски.

Неодређени интеграл

Пропратни материјал: Датотека:M2 Neodređeni integrali P3.pdf

Дефиниција 1: Примитивна функција дате функције $f$ на датом интервалу $I$ је свака функција $F(x)$ за коју важи $(\forall x \in I) F'(x) = f(x)$.

Теорема 1:

1. Ако је $F$ примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$ тада је и функција $F(x) + c$ такође примитивна функција функције $F$ на интервалу $I$.
   Доказ: $(\forall x \in I) (F(x) + c)' = F'(x) = f(x)$
2. Ако су $F_1(x)$ и $F_2(x)$ примитивне функције фунцкије $f$ на интервалу $I$, тада постоји константа $C \in \mathbb{R}$ тако да $(\forall x \in I) F_1(x) = F_2(x) + C$
   Доказ: $F_1(x)$, $F_2(x)$ су примитивне функције функције $f$ на интервалу $I$. Посматрајмо $F_1(x) - F_2(x)$ на интервалу $I$:

   $(\forall x \in I) (F_1(x) - F_2(x))' = f(x) - f(x) = 0 \implies (\exists c \in \mathbb{R}) (\forall x \in I) F_1(x) - F_2(x) = c$

Дефиниција 2: Скуп свих примитивних функција функције $f$ на интервалу $I$ зове се неодређени интеграл функције $f$ на интервалу $I$: $\{F(x) + c | c \in \mathbb{R}\}$ (где је $F(x)$ једна примитивна функције функције $f$ на интервалу $I$)

Теорема 2: Ако функције $f(x)$ и $g(x)$ имају примитивну функцију на интервалу $I$ тада на том интервалу важи следеће:

1. $d\left(\int f(x) dx\right) = f(x) \cdot dx$
2. $\left(\int f(x) dx\right)' = f(x)$
3. $\int dF(x) = F(x) + c$, $c \in \mathbb{R}$
4. Линеарност интеграла: $\int (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \int \alpha f(x) dx + \int \beta g(x) dx$

Доказ:

1. $d\left(\int f(x) dx\right) = d(f(x) + c) = d(f(x)) = F'(x) \cdot dx = f(x) \cdot dx$
2. $\frac{d\left(\int f(x) dx\right)}{dx} = \left(\int f(x) dx\right)' = f(x)$
3. $\int dF(x) = \int F'(x) dx = \int f(x) dx = F(x) + c$, $c \in \mathbb{R}$

Основни методи интеграције

Таблица неодређених интеграла

1. $\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$, $\alpha \neq -1$
2. $\int \frac{1}{x} dx = ln|x| + C$, $x \neq 0$
3. $\int \alpha^x dx = \frac{\alpha^x}{ln a} + C$, $a > 0, a \neq 1$
4. $\int e^x dx = e^x + C$
5. $\int \frac{dx}{1 + x^2} = arctg x + C = -arcctg x + C_1$
6. $\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = arcsin x + C = -arccos x + C_1$ ($|x| < 1$)
7. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm 1}} = ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm 1}\right| + C = \left\{ \begin{array}{ll} arsh x + C & za + \\ arch x + C & za - i x > 1 \end{array} \right.$
8. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
9. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
10. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
11. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
12. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
13. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
14. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
15. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
16. Рашчлањивање није успело (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }

Метод смене променљиве

Теорема 3: Нека је функција $f$ непрекидна функција на интервалу $I$ и нека је $\int f(x) dx = F(x) + C$, $C \in \mathbb{R}$. Нека је функција $\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I$ и нека су $\varphi$ и $\varphi'(x)$ непрекидне и $\left(\forall x \in (\alpha, \beta)\right) \varphi'(x) \neq 0$. Тада важи:

$\int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = F(\varphi(t)) + c$ ($x = \varphi(t)$, $t \in (\alpha, \beta)$, $\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I$)

Метод парцијалне интеграције

Теорема 4: Ако су $u(x)$ и $v(x)$ диференцијабилне на $I$ и ако на $I$ постоје примитивне функције функција $u'(x)v(x)$ и $u(x)v'(x)$ тада на $I$ важи:

$\int u(x)dv(x) = u(x) \cdot v(x) - \int v(x) dv(x) + C$

Свођење квадратног тринома на канонски облик

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left(x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) = \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(\frac{x}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right)$