Математика 1/К2 2018

Овај рок није решен. Помозите SI Wiki тако што ћете га решити.

Теорија

1. задатак

Навести дефиниције следећих појмова:

1. Реални низ $(a_n)$ је конвергентан
2. Реални низ $(a_n)$ има граничну вредност $+\infty$
3. Тачка нагомилавања реалног низа $(a_n)$

2. задатак

1. Навести пример реалног низа $(a_n)$ који има граничну вредност $-\infty$.
2. Навести пример реалног низа $(a_n)$ који је неодређено дивергентан.
3. Навести пример скупа $S \subseteq \mathbb{R}$ који нема минимални елемент и чији је инфимум једнак броју 5.

3. задатак

Одредити, ако постоји, граничну вредност низа $(b_n)$ чији је општи члан дат са:

$b_n = \frac{1}{\sqrt{n^2 + n + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n + 2}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n + 3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 101n}}$

4. задатак

Нека је функција $f: D \to \mathbb{R}$ дефинисана на домену $D$ који није ограничен одоздо. Дефинисати следеће појмове:

1. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$
2. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

5. задатак

Допунити исказе следећих теорема:

1. Ако је функција $f$ _____ таква да $f(a) \cdot f(b) < 0$, тада _____.
2. Нека је дата функција $f: D \to \mathbb{R}$ која је дефинисана у некој околини тачке $a \in \overline{\mathbb{R}}$, осим можда у тачки $a$. Тада је $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ($L \in \overline{\mathbb{R}}$) ако и само ако за сваки низ $(x_n)$ _____.

6. задатак

Да ли једначина: $x^4 \sin(x\pi) - x^3 + 3x - \sqrt{2} = 0$ има бар једно реално решење? Образложити одговор.