Сигнали и системи/Теорија - Историја измена

KockaAdmiralac: Ispravke

2021-02-20T18:00:15Z

Ispravke

TopOfKeks у 16:59, 19. фебруар 2021.

2021-02-19T16:59:08Z

← Старија измена		Верзија на датум 19. фебруар 2021. у 18:59
Ред 190:		Ред 190:
	**** <math>-\frac{1}{jt} x(t) + \pi \delta(t) x(0) \xrightarrow{\mathcal{F}} \int_{-\infty}^{\omega} X(j\lambda) d\lambda</math>		**** <math>-\frac{1}{jt} x(t) + \pi \delta(t) x(0) \xrightarrow{\mathcal{F}} \int_{-\infty}^{\omega} X(j\lambda) d\lambda</math>
	** конволуција сигнала: <math> x(t)*h(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} X(j\omega)Y(j\omega) </math>		** конволуција сигнала: <math> x(t)*h(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} X(j\omega)Y(j\omega) </math>
	** ~~прозвод~~ сингала: <math> x(t)y(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{2\pi}X(j\omega)Y(j\omega) </math>		** производ сингала: <math> x(t)y(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{2\pi}X(j\omega) * Y(j\omega) </math>
	** симетричност сигнала:		** симетричност сигнала:
	*** <math>x^{}(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x^{}(j\omega)</math>		*** <math>x^{}(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x^{}(j\omega)</math>

TopOfKeks: /* Фуријеови редови */ мале исправке

2021-02-05T00:46:41Z

Фуријеови редови: мале исправке

KockaAdmiralac: Zed transformacija

2020-12-28T00:00:16Z

Zed transformacija

@@ Ред 245: / Ред 245: @@
 *# <math>x(0) = \lim_{s \to \infty} sX(s)</math>
 *# <math>x(\infty) = \lim_{s \to 0} sX(s)</math>, само ако су сви полови <math>X(s)</math> у левој полуравни
 [[Категорија:Сигнали и системи]]

KockaAdmiralac: +Laplasova transformacija

2020-12-23T19:03:34Z

+Laplasova transformacija

@@ Ред 204: / Ред 204: @@
 * Сваки пол у нашој фреквенцијској карактеристици обара нагиб амплитудске карактеристике за <math>-20\frac{dB}{dec}</math>, а на фазну карактеристику утиче тако што јој мења нагиб за <math>-\frac{\pi}{2}</math>. Свака нула ради обрнуто.
-=== Лапласова трансформација ===
+== Лапласова трансформација ==
 [[Категорија:Сигнали и системи]]

KockaAdmiralac: Još ispravki

2020-12-17T15:16:41Z

Još ispravki

KockaAdmiralac: Ispravke

2020-12-16T23:01:23Z

Ispravke

KockaAdmiralac: Valjda je ovo sve za K2

2020-12-16T10:06:06Z

Valjda je ovo sve za K2

← Старија измена		Верзија на датум 16. децембар 2020. у 12:06
Ред 121:		Ред 121:
	; Линеарност = хомогеност + адитивност:		; Линеарност = хомогеност + адитивност:
	* За систем кажемо да је хомоген ако за <math>k</math> пута већу побуду генерише <math>k</math> пута већи одзив за било коју побуду и за било које <math>k</math>.		* За систем кажемо да је хомоген ако за <math>k</math> пута већу побуду генерише <math>k</math> пута већи одзив за било коју побуду и за било које <math>k</math>.
	* Адитивност: <math>x_1(t) \to y_1(t) \~~and~~ x_2(t) \to y_2(t) \implies x_3(t) = x_1(t) + x_2(t) \to y_3(t) = y_1(t) + y_2(t)</math>		* Адитивност: <math>x_1(t) \to y_1(t) \land x_2(t) \to y_2(t) \implies x_3(t) = x_1(t) + x_2(t) \to y_3(t) = y_1(t) + y_2(t)</math>
	* Суперпозиција: <math>x_1(t) \to y_1(t) \~~and~~ x_2(t) \to y_2(t) \implies x_3(t) = ax_1(t) + bx_2(t) \to y_3(t) = ay_1(t) + by_2(t)</math>		* Суперпозиција: <math>x_1(t) \to y_1(t) \land x_2(t) \to y_2(t) \implies x_3(t) = ax_1(t) + bx_2(t) \to y_3(t) = ay_1(t) + by_2(t)</math>
	; Стационарност (временска непроменљивост): За континуални (дискретни) систем кажемо да је стационаран ако из претпоставке да је за побуду <math>x(t)</math> (<math>x[n]</math>) он дао одзив <math>y(t)</math> (<math>y[n]</math>) следи чињеница да ће за побуду <math>x(t - t_0)</math> (<math>x[n - n_0]</math>) одзив система бити <math>y(t - t_0)</math> (<math>y[n - n_0]</math>) за свако <math>t_0</math> (<math>n_0</math>) и за свако <math>x(t)</math> (<math>x[n]</math>).		; Стационарност (временска непроменљивост): За континуални (дискретни) систем кажемо да је стационаран ако из претпоставке да је за побуду <math>x(t)</math> (<math>x[n]</math>) он дао одзив <math>y(t)</math> (<math>y[n]</math>) следи чињеница да ће за побуду <math>x(t - t_0)</math> (<math>x[n - n_0]</math>) одзив система бити <math>y(t - t_0)</math> (<math>y[n - n_0]</math>) за свако <math>t_0</math> (<math>n_0</math>) и за свако <math>x(t)</math> (<math>x[n]</math>).
	; BIBO стабилност: <math>(\exists B_1) (\forall t) \|x(t)\| \leq B_1 \implies (\exists B_2) (\forall t) \|y(t)\| \leq B_2</math>		; BIBO стабилност: <math>(\exists B_1) (\forall t) \|x(t)\| \leq B_1 \implies (\exists B_2) (\forall t) \|y(t)\| \leq B_2</math>
Ред 170:		Ред 170:
	** померање у времену:		** померање у времену:
	*** <math>x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} e^{-j\omega t_0} = x_1(j\omega)</math>		*** <math>x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} e^{-j\omega t_0} = x_1(j\omega)</math>
	*** <math>\|x_1(j\omega)\| = \|x(j\omega)\|</math>		*** <math>\left\|x_1(j\omega)\right\| = \left\|x(j\omega)\right\|</math>
	*** <math>arg x_1(j\omega) - arg x(j\omega) - \omega t_0</math> (линеарно померање фазе)		*** <math>arg x_1(j\omega) - arg x(j\omega) - \omega t_0</math> (линеарно померање фазе)
	** померање у фреквенцијском домену: <math>e^{j\omega_0 t} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(j(\omega - \omega_0))</math>		** померање у фреквенцијском домену: <math>e^{j\omega_0 t} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(j(\omega - \omega_0))</math>
	** амплитудска модулација:		** амплитудска модулација: <math>y(t) = \left[x(t) + B\right] \cos(\omega_C t + \Phi)</math>, <math>B</math> — ''bias'', <math>\omega_C</math> — учестаност носиоца (''carry'')
			** скалирање по времену и учестаности: <math>x(at) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{\|a\|} x(j\frac{\omega}{a})</math>
			** диференцирање и интеграљење:
			*** у временском домену:
			**** <math>\frac{dx(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{F}} j\omega X(j\omega)</math>
			**** <math>\int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{j\omega} X(j\omega) + \pi \delta(\omega) x(j0)</math>
			*** у фреквенцијском домену:
			**** <math>-jtx(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{dX(j\omega)}{d\omega}</math>
			**** <math>-\frac{1}{jt} x(t) + \pi \delta(t) x(0) \xrightarrow{\mathcal{F}} \int_{-\infty}^{\omega} X(j\lambda) d\lambda</math>
			** симетричност сигнала:
			*** <math>x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(j\omega)</math>
			*** За реалне сигнале: <math>x(t) = x(t) \implies X(j\omega) = X(-j\omega)</math>
			*** <math>\left\|x(j\omega)\right\| = \left\|x(-j\omega)\right\| \implies</math> паран сигнал
			*** <math>arg X(j\omega) = -arg X(-j\omega) \implies</math> непаран сигнал
			*** <math>Ev \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Re \{x(j\omega)\}</math>
			*** <math>Od \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Im \{x(j\omega)\}</math>
			* Парсевалова теорема: <math>E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(t)\right\|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(j\omega)\right\|^2 d\omega</math>
			* Шенонова теорема о одабирању: Ако не желимо да дође до преклапања, <math>\omega_0 - \omega_g</math> треба да буде већа од <math>\omega_g</math> (<math>\omega_0 > 2\omega_g</math>)

			=== Бодеова анализа система ===
			* Фреквенцијски одзив LTI система: <math>H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}</math>
			* <math>H(j\omega) = K \frac{\frac{j\omega}{b} + 1}{\frac{j\omega}{a} + 1}</math>, <math>a</math> — пол, <math>b</math> — нула
			* Сваки пол у нашој фреквенцијској карактеристици обара нагиб амплитудске карактеристике за <math>-20\frac{dB}{dec}</math>, а на фазну карактеристику утиче тако што јој мења нагиб за <math>-\frac{\pi}{2}</math>. Свака нула ради обрнуто.

			=== Лапласова трансформација ===

	[[Категорија:Сигнали и системи]]		[[Категорија:Сигнали и системи]]

KockaAdmiralac: Još nešto

2020-12-16T00:27:29Z

Još nešto

← Старија измена		Верзија на датум 16. децембар 2020. у 02:27
Ред 159:		Ред 159:

	=== Фуријеова трансформација ===		=== Фуријеова трансформација ===
			* Синтетичка релација: <math>x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} x(j\omega) e^{j\omega t} d\omega</math>
			* Аналитичка реалција: <math>x(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt</math>
			* Честе трансформације:
			** <math>\delta(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 1</math>
			** <math>e^{-at} u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{a + j\omega}</math>
			* Хајзенбергов принцип неодређености: Трајање сигнала у временском и фреквенцијском домену је обрнуто реципрочно.
			* Ликови сличног облика сигнала у временском односно фреквенцијском домену ће такође бити веома слични.
			* Особине Фуријеове трансформације:
			** линеарност: <math>ax_1(t) + bx_2(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} ax_1(j\omega) + bx_2(j\omega)</math>
			** померање у времену:
			*** <math>x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} e^{-j\omega t_0} = x_1(j\omega)</math>
			*** <math>\|x_1(j\omega)\| = \|x(j\omega)\|</math>
			*** <math>arg x_1(j\omega) - arg x(j\omega) - \omega t_0</math> (линеарно померање фазе)
			** померање у фреквенцијском домену: <math>e^{j\omega_0 t} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(j(\omega - \omega_0))</math>
			** амплитудска модулација:

			[[Категорија:Сигнали и системи]]

KockaAdmiralac: +skoro cela teorija

2020-12-08T00:01:06Z

+skoro cela teorija

Нова страница

{{tocright}}

== Сигнали ==
=== Подела ===
# Прва подела
## Континуални (CT): <math>x(t): \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>
## Дискретни (DT): <math>x[n]: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}</math>
# Друга подела
## Детерминистички
## Недетерминистички

=== Основни сигнали ===
==== CT ====
# Јединични одскочни сигнал: <math>u(t) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & t > 0 \\
0 & t < 0 \\
u(0) & t = 0
\end{array}
\right.</math>
# Дираков импулс:
## <math>(\forall t \neq 0) \delta(t) = 0</math>
## <math>\delta(0)</math> није дефинисано
## <math>\varepsilon > 0, \int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} \delta(t) dt = 1</math>
# Веза између <math>u(t)</math> и <math>\delta(t)</math>: <math>\frac{du(t)}{dt} = \delta(t)</math>
# Особина селективности Дираковог импулса: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \delta(t - t_0) dt = x(t_0)</math>

==== Експоненцијални CT сигнали ====
* Облик: <math>e^{At}</math>
* <math>\sin(x) = \frac{e^{j\alpha} - e^{-j\alpha}}{2j}</math>
* <math>\cos(x) = \frac{e^{j\alpha} + e^{-j\alpha}}{2}</math>
* <math>A = \lambda</math>:
** <math>\lambda > 0</math>: сигнал дивергира
** <math>\lambda < 0</math>: сигнал конвергира
* <math>A = j\omega</math>
** <math>x(t) = e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j \sin(\omega t)</math>
** Периодичност са периодом <math>T</math>: <math>(\exists T > 0) (\forall t) x(t) = x(t + T)</math>
** Кружна учестаност: <math>\omega = \frac{2\pi}{T}</math>
** Фреквенција: <math>f = \frac{1}{T}</math>
** Збир два периодична сигнала периода <math>T_1</math> и <math>T_2</math>:
*** Периода збирног сигнала: <math>T = mT_1 = nT_2</math>
*** Услов периодичности: <math>\frac{T_1}{T_2} = \frac{n}{m} \in \mathbb{Q}</math>
* <math>A = r + j\omega</math>
** <math>x(t) = e^{rt} (\cos(\omega t) + j\sin(\omega t))</math>
** <math>r</math> — пригушење

==== DT ====
# Јединични одскочни сигнал: <math>u[n] = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & n \geq 0 \\
0 & n < 0
\end{array}
\right.</math>
# Јединични дискретни импулс: <math>\delta[n] = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & n = 0 \\
0 & n \neq 0
\end{array}
\right.</math>

==== Експоненцијални DT сигнали ====
* Облик: <math>x[n] = a^n</math>
* <math>a \in \mathbb{R}</math>
** <math>a > 0</math>: сигнал је дивергентан
** <math>a \in (0, 1)</math>: сигнал је конвергентан
** <math>a \in (-1, 0)</math>: сигнал је алтернирајуће конвергентан
** <math>a < -1</math>: сигнал је алтернирајуће дивергентан
* <math>a = e^{j\Omega}</math>
** <math>x[n] = \cos(\Omega n) + j\sin(\Omega n)</math> '''(нису нужно периодични)'''
** Услов периодичности: <math>(\exists k \in \mathbb{N}) \frac{2k\pi}{\Omega} \in \mathbb{N}</math>
** Разлика од CT експоненцијалних сигнала: <math>\omega_1 \neq \omega_2 \implies e^{j\omega_1 t} \neq e^{j\omega_2 t}</math> али <math>\Omega_1 \neq \Omega_2 \implies e^{j\Omega_1 n} \neq e^{j\Omega_2 n}</math> само ако <math>\Omega_1 - \Omega_2 = 2\pi n</math>

=== Трансформације временске променљиве ===
* Померање у времену: <math>y(t) = x(t - t_0)</math>
* Рефлексија (инверзија времена): <math>y(t) = x(-t)</math>
* Скалирање времена: <math>y(t) = x(at), a \in \mathbb{R}</math>
** Код ово изазива децимацију (скупљање) или интерполацију (ширење).
** Типови интерполације (за <math>y[n] = x[an], a > 0</math>):
*** Линеарна
*** Најближи сусед
*** Квадратна
*** Сплајн

=== Симетричност сигнала ===
* Парни сигнал: <math>(\forall t) x(t) = x(-t)</math>
* Непарни сигнал: <math>(\forall t) x(t) = -x(-t)</math>
* Парни део сигнала: <math>Ev \{x(t)\} = \frac{x(t) + x(-t)}{2}</math>
* Непарни део сигнала: <math>Od \{x(t)\} = \frac{x(t) - x(-t)}{2}</math>

=== Конволуција сигнала ===
* <math>x(t) * y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) y(t - \tau)</math>
* Комутативност: <math>x(t) * y(t) = y(t) * x(t)</math>
* Асоцијативност: <math>(x(t) * y(t)) * z(t) = x(t) * (y(t) * z(t))</math>
* Дистрибутивност конволуције према сабирању: <math>(x(t) + y(t)) * z(t) = x(t) * z(t) + y(t) * z(t)</math>

== Системи ==
=== Подела ===
# Прва подела
## Биолошки
## Друштвени
## Механички
##* трансдјусери (претварају једну физичку величину у другу)
##* филтри (избацују непожељне особине из сигнала)
##* анализатори (извлаче информације из сигнала)
##* генератори (стварају сигнале)
##* компензатори (поправљају особине других система)
##* комуникациони медијуми (преносе сигнале)
# Друга подела
## Континуални (CT)
## Дискретни (DT)
# Трећа подела
## SISO (''Single Input Single Output'')
## MISO (''Multiple Input Single Output'')
## SIMO (''Single Input Multiple Output'')
## MIMO (''Multiple Input Multiple Output'')
# Системи са негативном повратном спрегом (смањују улазни сигнал при повећању излазног сигнала)

=== Особине система ===
; Поседовање меморије: За континуални (дискретни) систем кажемо да нема меморију ако одзив у тренутку <math>t</math> (<math>n</math>) зависи искључиво од побуде у истом тренутку <math>x(t)</math> (<math>x[n]</math>).
; Каузалност (последичност): За континуални (дискретни) систем кажемо да је каузалан ако одзиву у тренутку <math>t</math> (<math>n</math>) зависи искључиво од побудног сигнала за аргумент <math>\tau \leq t</math> (<math>m \leq n</math>)
; Линеарност = хомогеност + адитивност:
* За систем кажемо да је хомоген ако за <math>k</math> пута већу побуду генерише <math>k</math> пута већи одзив за било коју побуду и за било које <math>k</math>.
* Адитивност: <math>x_1(t) \to y_1(t) \and x_2(t) \to y_2(t) \implies x_3(t) = x_1(t) + x_2(t) \to y_3(t) = y_1(t) + y_2(t)</math>
* Суперпозиција: <math>x_1(t) \to y_1(t) \and x_2(t) \to y_2(t) \implies x_3(t) = ax_1(t) + bx_2(t) \to y_3(t) = ay_1(t) + by_2(t)</math>
; Стационарност (временска непроменљивост): За континуални (дискретни) систем кажемо да је стационаран ако из претпоставке да је за побуду <math>x(t)</math> (<math>x[n]</math>) он дао одзив <math>y(t)</math> (<math>y[n]</math>) следи чињеница да ће за побуду <math>x(t - t_0)</math> (<math>x[n - n_0]</math>) одзив система бити <math>y(t - t_0)</math> (<math>y[n - n_0]</math>) за свако <math>t_0</math> (<math>n_0</math>) и за свако <math>x(t)</math> (<math>x[n]</math>).
; BIBO стабилност: <math>(\exists B_1) (\forall t) |x(t)| \leq B_1 \implies (\exists B_2) (\forall t) |y(t)| \leq B_2</math>

=== LTI системи ===
* Системи који су линеарни и временски непроменљиви.
* Импулсни одзив <math>\delta(t)</math> је одзив LTI система када му се као побуда да Дираков импулс.
* <math>y(t) = x(t) * \delta(t)</math>
* Има меморију <math>\implies h(t) = k\delta(t)</math>
* Каузалан је <math>\implies (\forall t < 0) h(t) = 0</math>
* Потребан и довољан услов да CT (DT) LTI систем буде BIBO стабилан јесте да његов импулсни одзив буде апсолутно интеграбилан (сумабилан).
* Редна (каскадна) веза LTI система: <math>h_e(t) = h_1(t) * h_2(t)</math>
* Паралелна веза LTI система: <math>h_e(t) = h_1(t) + h_2(t)</math>
* Симулациони блок дијаграм:
** Компоненте: интегратор (<math>y(t) = \int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau</math>, само код CT), кашњење (<math>y[n] = x[n-1]</math>, само код DT), множач (<math>y(t) = ax(t)</math>), сабирач (<math>y(t) = \sum_{k = 1}^{n} x_k(t)</math>)
** Директна метода прављења симулационог блок дијаграма: Интегралимо једначину онолико пута колики је ред диференцијалне једначине, раставимо на појединачне интеграле, те сигнале провучемо кроз интеграторе онолико пута колико су интеграљени, сваки провучемо кроз множач који их множи са коефицијентом испред интеграла и на крају све провучемо кроз сабирач и доведемо на излаз.
** Каноничка метода: Не раздвајају се интеграли, већ се прво оформе сигнали унутар њих па се затим провуку кроз интеграторе и на крају кроз сабирач.

== Фуријеови редови ==
=== Увод ===
* Сопствене функције (''eigen functions'') су функције које у конволуцији са другим функцијама враћају саме себе помножене са неком вредношћу (која се назива сопствена вредност - ''eigen value'').
* Фуријеова хипотеза: Сваки сигнал <math>x(t)</math> који је периодичан са кружном учестаношћу <math>\omega_0</math> може да се напише помоћу тригонометријског реда (Фуријеовог реда): <math>\sum_{-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}</math>
* Коефицијенти Фуријеовог реда: <math>a_k = \frac{1}{T} \int_T x(t) e^{-jk\omega_0 t}</math>
** За реалне сигнале важи <math>a_k = a_{-k}^{*}</math>
* Форме Фуријеовог реда за реалне сигнале:
** <math>x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}</math>
** <math>x(t) = a_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty} a_k \cos(k\omega_0 t + \theta_k)</math>
** <math>a_k = B_k + jC_k</math>, <math>x(t) = a_0 + 2 \sum_{k = 1}^{+\infty} B_k \cos (k\omega_0 t) - C_k \sin(k\omega_0 t)</math>
* Кажемо да Фуријеов ред конвергира ако је задовољен услов да <math>\lim_{L \to \infty} E_L = 0</math>. Сигнал <math>x(t)</math> треба да задовољи један од три услова да би његов ред конвергирао:
*# <math>x(t)</math> је непрекидна функција времена: <math>\lim_{a \to 0^+} x(t - a) = x(t) = \lim_{a \to 0^+} x(t + a)</math>
*# <math>\int_T |x(t)|^2 dt < \infty</math>
*# <math>\int_T |x(t)| dt < \infty</math> и испуњени су Дирихлеови услови:
*## Број минимума и максимума дуж периоде мора бити коначан
*## Број прекида дуж једне периоде мора бити коначан
* Гибсов ефекат указује на феномен који се појављује када периодичну функцију са прекидом апроксимирамо Фуријеовим редом. Тада ће у околини тачке прекида са повећавањем броја сабирака у апроксимацији максимум грешке апроксимације имати константну вредност (око 0.18 пута вредности функције у околини тачке прекида).

=== Фуријеова трансформација ===

← Старија измена		Верзија на датум 20. фебруар 2021. у 20:00
Ред 75:		Ред 75:
	* Рефлексија (инверзија времена): <math>y(t) = x(-t)</math>		* Рефлексија (инверзија времена): <math>y(t) = x(-t)</math>
	* Скалирање времена: <math>y(t) = x(at), a \in \mathbb{R}</math>		* Скалирање времена: <math>y(t) = x(at), a \in \mathbb{R}</math>
	** Код ово изазива децимацију (скупљање) или интерполацију (ширење).		** Код DT сигнала ово изазива децимацију (скупљање) или интерполацију (ширење).
	** Типови интерполације (за <math>y[n] = x[an], a > 0</math>):		** Типови интерполације (за <math>y[n] = x[an], a > 0</math>):
	*** Линеарна		*** Линеарна
Ред 174:		Ред 174:
	* Фуријеова трансформација периодичних сигнала: <math>x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k \delta(\omega - k\omega_0)</math>		* Фуријеова трансформација периодичних сигнала: <math>x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k \delta(\omega - k\omega_0)</math>
	* Особине Фуријеове трансформације:		* Особине Фуријеове трансформације:
	** линеарност: <math>ax_1(t) + bx_2(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} ~~ax_1~~(j\omega) + ~~bx_2~~(j\omega)</math>		** линеарност: <math>ax_1(t) + bx_2(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} aX_1(j\omega) + bX_2(j\omega)</math>
	** померање у времену:		** померање у времену:
	*** <math>x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} e^{-j\omega t_0} x(j\omega) = x_1(j\omega)</math>		*** <math>x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} e^{-j\omega t_0} x(j\omega) = x_1(j\omega)</math>
	*** <math>\left\|~~x_1~~(j\omega)\right\| = \left\|x(j\omega)\right\|</math>		*** <math>\left\|X_1(j\omega)\right\| = \left\|X(j\omega)\right\|</math>
	*** <math>arg ~~x_1~~(j\omega) = arg x(j\omega) - \omega t_0</math> (линеарно померање фазе)		*** <math>arg X_1(j\omega) = arg X(j\omega) - \omega t_0</math> (линеарно померање фазе)
	** померање у фреквенцијском домену: <math>e^{j\omega_0 t} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(j(\omega - \omega_0))</math>		** померање у фреквенцијском домену: <math>e^{j\omega_0 t} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} X(j(\omega - \omega_0))</math>
	** амплитудска модулација: <math>y(t) = \left[x(t) + B\right] \cos(\omega_C t + \Phi)</math>, <math>B</math> — ''bias'', <math>\omega_C</math> — учестаност носиоца (''carrier frequency'')		** амплитудска модулација: <math>y(t) = \left[x(t) + B\right] \cos(\omega_C t + \Phi)</math>, <math>B</math> — ''bias'', <math>\omega_C</math> — учестаност носиоца (''carrier frequency'')
	** скалирање по времену и учестаности: <math>x(at) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{\|a\|} x\left(j\frac{\omega}{a}\right)</math>		** скалирање по времену и учестаности: <math>x(at) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{\|a\|} X\left(j\frac{\omega}{a}\right)</math>
	** диференцирање и интеграљење:		** диференцирање и интеграљење:
	*** у временском домену:		*** у временском домену:
	**** <math>\frac{dx(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{F}} j\omega X(j\omega)</math>		**** <math>\frac{dx(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{F}} j\omega X(j\omega)</math>
	**** <math>\int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{j\omega} X(j\omega) + \pi \delta(\omega) x(j0)</math>		**** <math>\int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{j\omega} X(j\omega) + \pi \delta(\omega) X(j0)</math>
	*** у фреквенцијском домену:		*** у фреквенцијском домену:
	**** <math>-jtx(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{dX(j\omega)}{d\omega}</math>		**** <math>-jtx(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{dX(j\omega)}{d\omega}</math>
	**** <math>-\frac{1}{jt} x(t) + \pi \delta(t) x(0) \xrightarrow{\mathcal{F}} \int_{-\infty}^{\omega} X(j\lambda) d\lambda</math>		**** <math>-\frac{1}{jt} x(t) + \pi \delta(t) x(0) \xrightarrow{\mathcal{F}} \int_{-\infty}^{\omega} X(j\lambda) d\lambda</math>
	** конволуција сигнала: <math> x(t)*h(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} X(j\omega)Y(j\omega) </math>		** конволуција сигнала: <math>x(t)*h(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} X(j\omega)Y(j\omega)</math>
	** производ сингала: <math> x(t)y(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{2\pi}X(j\omega) * Y(j\omega) </math>		** производ сингала: <math>x(t)y(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{2\pi}X(j\omega) * Y(j\omega)</math>
	** симетричност сигнала:		** симетричност сигнала:
	*** <math>x^{}(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x^{}(j\omega)</math>		*** <math>x^{}(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} X^{}(j\omega)</math>
	*** За реалне сигнале: <math>x(t) = x^{}(t) \implies X(j\omega) = X^{}(-j\omega)</math>		*** За реалне сигнале: <math>x(t) = x^{}(t) \implies X(j\omega) = X^{}(-j\omega)</math>
	*** <math>\left\|x(j\omega)\right\| = \left\|x(-j\omega)\right\| \implies</math> амплитудски спектар реалног сигнала је парна функција		*** <math>\left\|X(j\omega)\right\| = \left\|X(-j\omega)\right\| \implies</math> амплитудски спектар реалног сигнала је парна функција
	*** <math>arg X(j\omega) = -arg X(-j\omega) \implies</math> фазни спектар реалног сигнала је непарна функција		*** <math>arg X(j\omega) = -arg X(-j\omega) \implies</math> фазни спектар реалног сигнала је непарна функција
	*** <math>Ev \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Re \{x(j\omega)\}</math>		*** <math>Ev \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Re \{X(j\omega)\}</math>
	*** <math>Odd \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Im \{x(j\omega)\}</math>		*** <math>Odd \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Im \{X(j\omega)\}</math>
	* Парсевалова теорема: <math>E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(t)\right\|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(j\omega)\right\|^2 d\omega</math>		* Парсевалова теорема: <math>E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(t)\right\|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|X(j\omega)\right\|^2 d\omega</math>
	** за периодичне сигнале: <math>P_x = \frac{1}{T} \int_T \left\|x(t)\right\|^2 dt = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \left\|a_k\right\|^2</math>		** за периодичне сигнале: <math>P_x = \frac{1}{T} \int_T \left\|x(t)\right\|^2 dt = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \left\|a_k\right\|^2</math>
	* Шенонова теорема о одабирању: Ако не желимо да дође до преклапања, <math>\omega_0 - \omega_g</math> треба да буде већа од <math>\omega_g</math> (<math>\omega_0 > 2\omega_g</math>)		* Шенонова теорема о одабирању: Ако не желимо да дође до преклапања, <math>\omega_0 - \omega_g</math> треба да буде већа од <math>\omega_g</math> (<math>\omega_0 > 2\omega_g</math>)
Ред 215:		Ред 215:
	* За <math>X(s) = \frac{A^m(s)}{B^n(s)}</math>, вредности <math>s</math> за које је <math>A(s) = 0</math> називају се нуле система, а вредности <math>s</math> за које је <math>B(s) = 0</math> полови.		* За <math>X(s) = \frac{A^m(s)}{B^n(s)}</math>, вредности <math>s</math> за које је <math>A(s) = 0</math> називају се нуле система, а вредности <math>s</math> за које је <math>B(s) = 0</math> полови.
	* Битне трансформације:		* Битне трансформације:
			** <math>\delta(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} 1</math>, ROC: <math>\forall s</math>
			** <math>u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{s}</math>, ROC: <math>Re \{ s \} > 0</math>
			** <math>e^{-at} u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{s + a}</math>, ROC: <math>Re \{ s \} > -a</math>
	** <math>\sin(\omega_0 t) u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}</math>, ROC: <math>Re \{ s \} > 0</math>		** <math>\sin(\omega_0 t) u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}</math>, ROC: <math>Re \{ s \} > 0</math>
	** <math>\cos(\omega_0 t) u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{s}{s^2 + \omega_0^2}</math>, ROC: <math>Re \{ s \} > 0</math>		** <math>\cos(\omega_0 t) u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{s}{s^2 + \omega_0^2}</math>, ROC: <math>Re \{ s \} > 0</math>
Ред 222:		Ред 225:
	** линеарност: исто као код Фуријеове трансформације		** линеарност: исто као код Фуријеове трансформације
	** померање у времену: <math>x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{L}} e^{-st_0} X(s)</math>		** померање у времену: <math>x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{L}} e^{-st_0} X(s)</math>
	** модулација: <math>X(s - s_0) \xrightarrow{\mathcal{L}} e^{-s_0t} x(t)</math>		** модулација: <math>X(s - s_0) \xrightarrow{\mathcal{L}} e^{s_0t} x(t)</math>
	** скалирање: <math>x(at) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{\left\|a\right\|} X\left(\frac{s}{a}\right)</math>		** скалирање: <math>x(at) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{\left\|a\right\|} X\left(\frac{s}{a}\right)</math>
	** диференцирање:		** диференцирање:
	*** <math>\frac{dx(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{L}} sX(s)</math>		*** <math>\frac{dx(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{L}} sX(s)</math>
	*** <math>\frac{dX(s)}{ds} \xrightarrow{\mathcal{L}} -tx(t)</math>		*** <math>\frac{dX(s)}{ds} \xrightarrow{\mathcal{L}} -tx(t)</math>
	** интеграљење: <math>\int_{-\infty}^t x(\~~Tau~~) d\~~Tau~~ \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{s} X(s)</math>		** интеграљење: <math>\int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{s} X(s)</math>
	** конволуција: исто као код Фуријеове трансформације		** конволуција: исто као код Фуријеове трансформације

Ред 263:		Ред 266:
	** линеарност: исто као код Фуријеове трансформације		** линеарност: исто као код Фуријеове трансформације
	** померање у времену: <math>x[n - n_0] \xrightarrow{\mathcal{Z}} z^{-n_0} X(z)</math>		** померање у времену: <math>x[n - n_0] \xrightarrow{\mathcal{Z}} z^{-n_0} X(z)</math>
	** модулација: <math>z_0^n x[n] \xrightarrow{\mathcal{Z}} X(\frac{z}{z_0})</math>, ROC: <math>R' = \left\|z_0\right\| R</math>		** модулација: <math>z_0^n x[n] \xrightarrow{\mathcal{Z}} X\left(\frac{z}{z_0}\right)</math>, ROC: <math>R' = \left\|z_0\right\| R</math>
	** инверзија у времену: <math>x[-n] \xrightarrow{\mathcal{Z}} X(z^{-1})</math>, ROC: <math>R' = \frac{1}{R}</math>		** инверзија у времену: <math>x[-n] \xrightarrow{\mathcal{Z}} X(z^{-1})</math>, ROC: <math>R' = \frac{1}{R}</math>
	** конволуција: исто као код Лапласове трансформације		** конволуција: исто као код Лапласове трансформације

← Старија измена		Верзија на датум 5. фебруар 2021. у 02:46
Ред 168:		Ред 168:
	** <math>e^{-at} u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{a + j\omega}</math>		** <math>e^{-at} u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{a + j\omega}</math>
	** <math>e^{-at} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(a + j\omega)</math>		** <math>e^{-at} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(a + j\omega)</math>
	* Конвергенција Фуријеове трансформације: <math>\hat{x}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega</math>, <math>\left\|x(t) - \hat{x}(t)\right\|^2 dt = 0</math>		* Конвергенција Фуријеове трансформације: <math>\hat{x}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega</math>, <math> \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(t) - \hat{x}(t)\right\|^2 dt = 0</math>
	* Хајзенбергов принцип неодређености: Трајање сигнала у временском и фреквенцијском домену је обрнуто реципрочно.		* Хајзенбергов принцип неодређености: Трајање сигнала у временском и фреквенцијском домену је обрнуто реципрочно.
	* Ликови сличног облика сигнала у временском односно фреквенцијском домену ће такође бити веома слични.		* Ликови сличног облика сигнала у временском односно фреквенцијском домену ће такође бити веома слични.
			* Принцип дуалности: <math>\frac{1}{2\pi}\xrightarrow{\mathcal{F}} \delta(j\omega) </math>
	* Фуријеова трансформација периодичних сигнала: <math>x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k \delta(\omega - k\omega_0)</math>		* Фуријеова трансформација периодичних сигнала: <math>x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k \delta(\omega - k\omega_0)</math>
	* Особине Фуријеове трансформације:		* Особине Фуријеове трансформације:
Ред 179:		Ред 180:
	*** <math>arg x_1(j\omega) = arg x(j\omega) - \omega t_0</math> (линеарно померање фазе)		*** <math>arg x_1(j\omega) = arg x(j\omega) - \omega t_0</math> (линеарно померање фазе)
	** померање у фреквенцијском домену: <math>e^{j\omega_0 t} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(j(\omega - \omega_0))</math>		** померање у фреквенцијском домену: <math>e^{j\omega_0 t} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(j(\omega - \omega_0))</math>
	** амплитудска модулација: <math>y(t) = \left[x(t) + B\right] \cos(\omega_C t + \Phi)</math>, <math>B</math> — ''bias'', <math>\omega_C</math> — учестаност носиоца (''~~carry~~'')		** амплитудска модулација: <math>y(t) = \left[x(t) + B\right] \cos(\omega_C t + \Phi)</math>, <math>B</math> — ''bias'', <math>\omega_C</math> — учестаност носиоца (''carrier frequency'')
	** скалирање по времену и учестаности: <math>x(at) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{\|a\|} x(j\frac{\omega}{a})</math>		** скалирање по времену и учестаности: <math>x(at) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{\|a\|} x\left(j\frac{\omega}{a}\right)</math>
	** диференцирање и интеграљење:		** диференцирање и интеграљење:
	*** у временском домену:		*** у временском домену:
Ред 188:		Ред 189:
	**** <math>-jtx(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{dX(j\omega)}{d\omega}</math>		**** <math>-jtx(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{dX(j\omega)}{d\omega}</math>
	**** <math>-\frac{1}{jt} x(t) + \pi \delta(t) x(0) \xrightarrow{\mathcal{F}} \int_{-\infty}^{\omega} X(j\lambda) d\lambda</math>		**** <math>-\frac{1}{jt} x(t) + \pi \delta(t) x(0) \xrightarrow{\mathcal{F}} \int_{-\infty}^{\omega} X(j\lambda) d\lambda</math>
			** конволуција сигнала: <math> x(t)*h(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} X(j\omega)Y(j\omega) </math>
			** прозвод сингала: <math> x(t)y(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{2\pi}X(j\omega)Y(j\omega) </math>
	** симетричност сигнала:		** симетричност сигнала:
	*** <math>x^{}(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x^{}(j\omega)</math>		*** <math>x^{}(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x^{}(j\omega)</math>
Ред 194:		Ред 197:
	*** <math>arg X(j\omega) = -arg X(-j\omega) \implies</math> фазни спектар реалног сигнала је непарна функција		*** <math>arg X(j\omega) = -arg X(-j\omega) \implies</math> фазни спектар реалног сигнала је непарна функција
	*** <math>Ev \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Re \{x(j\omega)\}</math>		*** <math>Ev \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Re \{x(j\omega)\}</math>
	*** <math>Od \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Im \{x(j\omega)\}</math>		*** <math>Odd \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Im \{x(j\omega)\}</math>
	* Парсевалова теорема: <math>E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(t)\right\|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(j\omega)\right\|^2 d\omega</math>		* Парсевалова теорема: <math>E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(t)\right\|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(j\omega)\right\|^2 d\omega</math>
	** за периодичне сигнале: <math>P_x = \frac{1}{T} \int_T \left\|x(t)\right\|^2 dt = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \left\|a_k\right\|^2</math>		** за периодичне сигнале: <math>P_x = \frac{1}{T} \int_T \left\|x(t)\right\|^2 dt = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \left\|a_k\right\|^2</math>
	* Шенонова теорема о одабирању: Ако не желимо да дође до преклапања, <math>\omega_0 - \omega_g</math> треба да буде већа од <math>\omega_g</math> (<math>\omega_0 > 2\omega_g</math>)		* Шенонова теорема о одабирању: Ако не желимо да дође до преклапања, <math>\omega_0 - \omega_g</math> треба да буде већа од <math>\omega_g</math> (<math>\omega_0 > 2\omega_g</math>)
			* Фреквенцијски одзив LTI система: <math>H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}</math>
			=== Бодеова анализа система ===

	~~=== Бодеова анализа система ===~~
	* Фреквенцијски одзив LTI система: <math>H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}</math>
	* <math>H(j\omega) = K \frac{\frac{j\omega}{b} + 1}{\frac{j\omega}{a} + 1}</math>, <math>a</math> — пол, <math>b</math> — нула		* <math>H(j\omega) = K \frac{\frac{j\omega}{b} + 1}{\frac{j\omega}{a} + 1}</math>, <math>a</math> — пол, <math>b</math> — нула
	* Сваки пол у нашој фреквенцијској карактеристици обара нагиб амплитудске карактеристике за <math>-20\frac{dB}{dec}</math>, а на фазну карактеристику утиче тако што јој мења нагиб за <math>-\frac{\pi}{2}</math>. Свака нула ради обрнуто.		* Сваки пол у нашој фреквенцијској карактеристици обара нагиб амплитудске карактеристике за <math>-20\frac{dB}{dec}</math>, а на фазну карактеристику утиче тако што јој мења нагиб за <math>-\frac{\pi}{2}</math>. Свака нула ради обрнуто.

← Старија измена		Верзија на датум 17. децембар 2020. у 17:16
Ред 165:		Ред 165:
	* Честе трансформације:		* Честе трансформације:
	** <math>\delta(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 1</math>		** <math>\delta(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 1</math>
			** <math>u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{j\omega} + \pi \delta(\omega)</math>
	** <math>e^{-at} u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{a + j\omega}</math>		** <math>e^{-at} u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{a + j\omega}</math>
			** <math>e^{-at} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(a + j\omega)</math>
	* Конвергенција Фуријеове трансформације: <math>\hat{x}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega</math>, <math>\left\|x(t) - \hat{x}(t)\right\|^2 dt = 0</math>		* Конвергенција Фуријеове трансформације: <math>\hat{x}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega</math>, <math>\left\|x(t) - \hat{x}(t)\right\|^2 dt = 0</math>
	* Хајзенбергов принцип неодређености: Трајање сигнала у временском и фреквенцијском домену је обрнуто реципрочно.		* Хајзенбергов принцип неодређености: Трајање сигнала у временском и фреквенцијском домену је обрнуто реципрочно.
	* Ликови сличног облика сигнала у временском односно фреквенцијском домену ће такође бити веома слични.		* Ликови сличног облика сигнала у временском односно фреквенцијском домену ће такође бити веома слични.
			* Фуријеова трансформација периодичних сигнала: <math>x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 2\pi \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k \delta(\omega - k\omega_0)</math>
	* Особине Фуријеове трансформације:		* Особине Фуријеове трансформације:
	** линеарност: <math>ax_1(t) + bx_2(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} ax_1(j\omega) + bx_2(j\omega)</math>		** линеарност: <math>ax_1(t) + bx_2(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} ax_1(j\omega) + bx_2(j\omega)</math>
	** померање у времену:		** померање у времену:
	*** <math>x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} e^{-j\omega t_0} = x_1(j\omega)</math>		*** <math>x(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} e^{-j\omega t_0} x(j\omega) = x_1(j\omega)</math>
	*** <math>\left\|x_1(j\omega)\right\| = \left\|x(j\omega)\right\|</math>		*** <math>\left\|x_1(j\omega)\right\| = \left\|x(j\omega)\right\|</math>
	*** <math>arg x_1(j\omega) - arg x(j\omega) - \omega t_0</math> (линеарно померање фазе)		*** <math>arg x_1(j\omega) = arg x(j\omega) - \omega t_0</math> (линеарно померање фазе)
	** померање у фреквенцијском домену: <math>e^{j\omega_0 t} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(j(\omega - \omega_0))</math>		** померање у фреквенцијском домену: <math>e^{j\omega_0 t} x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(j(\omega - \omega_0))</math>
	** амплитудска модулација: <math>y(t) = \left[x(t) + B\right] \cos(\omega_C t + \Phi)</math>, <math>B</math> — ''bias'', <math>\omega_C</math> — учестаност носиоца (''carry'')		** амплитудска модулација: <math>y(t) = \left[x(t) + B\right] \cos(\omega_C t + \Phi)</math>, <math>B</math> — ''bias'', <math>\omega_C</math> — учестаност носиоца (''carry'')
Ред 186:		Ред 189:
	**** <math>-\frac{1}{jt} x(t) + \pi \delta(t) x(0) \xrightarrow{\mathcal{F}} \int_{-\infty}^{\omega} X(j\lambda) d\lambda</math>		**** <math>-\frac{1}{jt} x(t) + \pi \delta(t) x(0) \xrightarrow{\mathcal{F}} \int_{-\infty}^{\omega} X(j\lambda) d\lambda</math>
	** симетричност сигнала:		** симетричност сигнала:
	*** <math>x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(j\omega)</math>		*** <math>x^{}(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x^{}(j\omega)</math>
	*** За реалне сигнале: <math>x(t) = x(t) \implies X(j\omega) = X(-j\omega)</math>		*** За реалне сигнале: <math>x(t) = x^{}(t) \implies X(j\omega) = X^{}(-j\omega)</math>
	*** <math>\left\|x(j\omega)\right\| = \left\|x(-j\omega)\right\| \implies</math> амплитудски спектар реалног сигнала је парна функција		*** <math>\left\|x(j\omega)\right\| = \left\|x(-j\omega)\right\| \implies</math> амплитудски спектар реалног сигнала је парна функција
	*** <math>arg X(j\omega) = -arg X(-j\omega) \implies</math> фазни спектар реалног сигнала је непарна функција		*** <math>arg X(j\omega) = -arg X(-j\omega) \implies</math> фазни спектар реалног сигнала је непарна функција
Ред 193:		Ред 196:
	*** <math>Od \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Im \{x(j\omega)\}</math>		*** <math>Od \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Im \{x(j\omega)\}</math>
	* Парсевалова теорема: <math>E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(t)\right\|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(j\omega)\right\|^2 d\omega</math>		* Парсевалова теорема: <math>E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(t)\right\|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(j\omega)\right\|^2 d\omega</math>
	** за периодичне сигнале: <math>P_x = \frac{1}{T} \int_T \left\|x(t)\right\|^2 dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} \left\|a_k\right\|^2</math>		** за периодичне сигнале: <math>P_x = \frac{1}{T} \int_T \left\|x(t)\right\|^2 dt = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \left\|a_k\right\|^2</math>
	* Шенонова теорема о одабирању: Ако не желимо да дође до преклапања, <math>\omega_0 - \omega_g</math> треба да буде већа од <math>\omega_g</math> (<math>\omega_0 > 2\omega_g</math>)		* Шенонова теорема о одабирању: Ако не желимо да дође до преклапања, <math>\omega_0 - \omega_g</math> треба да буде већа од <math>\omega_g</math> (<math>\omega_0 > 2\omega_g</math>)

← Старија измена		Верзија на датум 17. децембар 2020. у 01:01
Ред 128:		Ред 128:
	=== LTI системи ===		=== LTI системи ===
	* Системи који су линеарни и временски непроменљиви.		* Системи који су линеарни и временски непроменљиви.
	* Импулсни одзив <math>~~\delta~~(t)</math> је одзив LTI система када му се као побуда да Дираков импулс.		* Импулсни одзив <math>h(t)</math> је одзив LTI система када му се као побуда да Дираков импулс.
	* <math>y(t) = x(t) * ~~\delta~~(t)</math>		* <math>y(t) = x(t) * h(t)</math>
	* ~~Има~~ меморију <math>\implies h(t) = k\delta(t)</math>		* Нема меморију <math>\implies h(t) = k\delta(t)</math>
	* Каузалан је <math>\implies (\forall t < 0) h(t) = 0</math>		* Каузалан је <math>\implies (\forall t < 0) h(t) = 0</math>
	* Потребан и довољан услов да CT (DT) LTI систем буде BIBO стабилан јесте да његов импулсни одзив буде апсолутно интеграбилан (сумабилан).		* Потребан и довољан услов да CT (DT) LTI систем буде BIBO стабилан јесте да његов импулсни одзив буде апсолутно интеграбилан (сумабилан).
Ред 156:		Ред 156:
	*## Број минимума и максимума дуж периоде мора бити коначан		*## Број минимума и максимума дуж периоде мора бити коначан
	*## Број прекида дуж једне периоде мора бити коначан		*## Број прекида дуж једне периоде мора бити коначан
			* Амплитудски спектар: <math>\left\|X(j\omega)\right\|</math>
			* Фазни спектар: <math>arg X(j\omega)</math>
	* Гибсов ефекат указује на феномен који се појављује када периодичну функцију са прекидом апроксимирамо Фуријеовим редом. Тада ће у околини тачке прекида са повећавањем броја сабирака у апроксимацији максимум грешке апроксимације имати константну вредност (око 0.18 пута вредности функције у околини тачке прекида).		* Гибсов ефекат указује на феномен који се појављује када периодичну функцију са прекидом апроксимирамо Фуријеовим редом. Тада ће у околини тачке прекида са повећавањем броја сабирака у апроксимацији максимум грешке апроксимације имати константну вредност (око 0.18 пута вредности функције у околини тачке прекида).

Ред 164:		Ред 166:
	** <math>\delta(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 1</math>		** <math>\delta(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 1</math>
	** <math>e^{-at} u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{a + j\omega}</math>		** <math>e^{-at} u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{a + j\omega}</math>
			* Конвергенција Фуријеове трансформације: <math>\hat{x}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega</math>, <math>\left\|x(t) - \hat{x}(t)\right\|^2 dt = 0</math>
	* Хајзенбергов принцип неодређености: Трајање сигнала у временском и фреквенцијском домену је обрнуто реципрочно.		* Хајзенбергов принцип неодређености: Трајање сигнала у временском и фреквенцијском домену је обрнуто реципрочно.
	* Ликови сличног облика сигнала у временском односно фреквенцијском домену ће такође бити веома слични.		* Ликови сличног облика сигнала у временском односно фреквенцијском домену ће такође бити веома слични.
Ред 185:		Ред 188:
	*** <math>x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(j\omega)</math>		*** <math>x(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} x(j\omega)</math>
	*** За реалне сигнале: <math>x(t) = x(t) \implies X(j\omega) = X(-j\omega)</math>		*** За реалне сигнале: <math>x(t) = x(t) \implies X(j\omega) = X(-j\omega)</math>
	*** <math>\left\|x(j\omega)\right\| = \left\|x(-j\omega)\right\| \implies</math> ~~паран сигнал~~		*** <math>\left\|x(j\omega)\right\| = \left\|x(-j\omega)\right\| \implies</math> амплитудски спектар реалног сигнала је парна функција
	*** <math>arg X(j\omega) = -arg X(-j\omega) \implies</math> ~~непаран сигнал~~		*** <math>arg X(j\omega) = -arg X(-j\omega) \implies</math> фазни спектар реалног сигнала је непарна функција
	*** <math>Ev \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Re \{x(j\omega)\}</math>		*** <math>Ev \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Re \{x(j\omega)\}</math>
	*** <math>Od \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Im \{x(j\omega)\}</math>		*** <math>Od \{x(t)\} \xrightarrow{\mathcal{F}} Im \{x(j\omega)\}</math>
	* Парсевалова теорема: <math>E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(t)\right\|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(j\omega)\right\|^2 d\omega</math>		* Парсевалова теорема: <math>E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(t)\right\|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left\|x(j\omega)\right\|^2 d\omega</math>
			** за периодичне сигнале: <math>P_x = \frac{1}{T} \int_T \left\|x(t)\right\|^2 dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} \left\|a_k\right\|^2</math>
	* Шенонова теорема о одабирању: Ако не желимо да дође до преклапања, <math>\omega_0 - \omega_g</math> треба да буде већа од <math>\omega_g</math> (<math>\omega_0 > 2\omega_g</math>)		* Шенонова теорема о одабирању: Ако не желимо да дође до преклапања, <math>\omega_0 - \omega_g</math> треба да буде већа од <math>\omega_g</math> (<math>\omega_0 > 2\omega_g</math>)