Математика 2/Предавања П2/П3 - Историја измена

Fedja: -zaluteli template, + `<@148231501413089280>` credits

2021-02-12T01:17:21Z

-zaluteli template, + `<@148231501413089280>` credits

← Старија измена		Верзија на датум 12. фебруар 2021. у 03:17
Ред 82:		Ред 82:
	: <math>d(u(x)v(x)) = d(u(x))v(x) + u(x)d(v(x)) + C</math> <math>\begin{array}{ll}\Big / \int \end{array}</math>		: <math>d(u(x)v(x)) = d(u(x))v(x) + u(x)d(v(x)) + C</math> <math>\begin{array}{ll}\Big / \int \end{array}</math>
	: <math>u(x)v(x) + C = \int d(u(x))v(x) + \int u(x)d(v(x))</math>		: <math>u(x)v(x) + C = \int d(u(x))v(x) + \int u(x)d(v(x))</math>

	~~<math>\begin{array}{ll} a \cdot b & \Big / \int \end{array}</math>~~

	=== Метод рекурентних формула ===		=== Метод рекурентних формула ===

Fedja: `<@148231501413089280?>`-čevo formatiranje za integraljenje izraza

2021-02-12T01:11:15Z

`<@148231501413089280?>`-čevo formatiranje za integraljenje izraza

← Старија измена		Верзија на датум 12. фебруар 2021. у 03:11
Ред 80:		Ред 80:
	: <math>\int u(x)dv(x) = u(x) \cdot v(x) - \int v(x) du(x) + C</math>		: <math>\int u(x)dv(x) = u(x) \cdot v(x) - \int v(x) du(x) + C</math>
	; '''Доказ:'''		; '''Доказ:'''
	: <math>d(u(x)v(x)) = d(u(x))v(x) + u(x)d(v(x)) + C</math>~~, интеграли се цела једнакост~~		: <math>d(u(x)v(x)) = d(u(x))v(x) + u(x)d(v(x)) + C</math> <math>\begin{array}{ll}\Big / \int \end{array}</math>
	: <math>u(x)v(x) + C = \int d(u(x))v(x) + \int u(x)d(v(x))</math>		: <math>u(x)v(x) + C = \int d(u(x))v(x) + \int u(x)d(v(x))</math>

			<math>\begin{array}{ll} a \cdot b & \Big / \int \end{array}</math>

	=== Метод рекурентних формула ===		=== Метод рекурентних формула ===

Fedja: + dokazi

2021-02-12T00:53:13Z

+ dokazi

← Старија измена		Верзија на датум 12. фебруар 2021. у 02:53
Ред 5:		Ред 5:
	: ''Пропратни материјал: [[{{ns:6}}:M2 Neodređeni integrali P3.pdf]]		: ''Пропратни материјал: [[{{ns:6}}:M2 Neodređeni integrali P3.pdf]]
	</div>		</div>
	; Дефиниција 1.1: Примитивна функција дате функције <math>f</math> на датом интервалу <math>I</math> је свака функција <math>F(x)</math> за коју важи <math>(\forall x \in I) F'(x) = f(x)</math>.		; Дефиниција 1.1: Примитивна функција дате функције <math>f</math> на датом интервалу <math>I\subseteq Dom(f)</math> је свака функција <math>F(x)</math> дефинисана на интервалу <math>I</math> за коју важи <math>(\forall x \in I) F'(x) = f(x)</math>.

	; Теорема 1.1:		; Теорема 1.1:
Ред 12:		Ред 12:
	#: <math>(\forall x \in I) (F_1(x) - F_2(x))' = f(x) - f(x) = 0 \implies (\exists c \in \mathbb{R}) (\forall x \in I) F_1(x) - F_2(x) = c</math>		#: <math>(\forall x \in I) (F_1(x) - F_2(x))' = f(x) - f(x) = 0 \implies (\exists c \in \mathbb{R}) (\forall x \in I) F_1(x) - F_2(x) = c</math>

	; Дефиниција 1.2: Скуп свих примитивних функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math> зове се неодређени интеграл функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>: <math>\{F(x) + c \| c \in \mathbb{R}\}</math> (где је <math>F(x)</math> једна примитивна функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>).		; Дефиниција 1.2: Скуп свих примитивних функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math> зове се неодређени интеграл функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>: <math>\{F(x) + c \| c \in \mathbb{R}\} = \int f(x)dx</math> (где је <math>F(x)</math> једна примитивна функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>).

	; Теорема 1.2: Ако функције <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> имају примитивну функцију на интервалу <math>I</math> тада на том интервалу важи следеће:		; Теорема 1.2: Ако функције <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> имају примитивну функцију на интервалу <math>I</math> тада на том интервалу важи следеће:
Ред 18:		Ред 18:
	# <math>\left(\int f(x) dx\right)' = f(x)</math>		# <math>\left(\int f(x) dx\right)' = f(x)</math>
	# <math>\int dF(x) = F(x) + c</math>, <math>c \in \mathbb{R}</math>		# <math>\int dF(x) = F(x) + c</math>, <math>c \in \mathbb{R}</math>
	~~# '''Линеарност интеграла:''' <math>\int (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \int \alpha f(x) dx + \int \beta g(x) dx</math>~~
	; Доказ:		; Доказ:
	# <math>d\left(\int f(x) dx\right) = d(F(x) + c) = d(F(x)) = F'(x) \cdot dx = f(x) \cdot dx</math>		# <math>d\left(\int f(x) dx\right) = d(F(x) + c) = d(F(x)) = F'(x) \cdot dx = f(x) \cdot dx</math>
Ред 66:		Ред 65:

	: <math>\int (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha\int f(x)dx + \beta\int g(x)dx</math>		: <math>\int (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha\int f(x)dx + \beta\int g(x)dx</math>
			; '''Доказ:'''
			: <math>\int (\alpha f(x) + \beta g(x)dx)' = \alpha f(x) + \beta g(x)</math>, <math>(\forall x \in I)</math>
			: <math>(\alpha \int f(x)dx + \beta \int g(x)dx)' = \alpha f(x) + \beta g(x)</math>, <math>(\forall x \in I)</math>

	=== Метод смене променљиве ===		=== Метод смене променљиве ===
	; Теорема 1.3: Нека је функција <math>f</math> непрекидна функција на интервалу <math>I</math> и нека је <math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>, <math>C \in \mathbb{R}</math>. Нека је функција <math>\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I</math> и нека су <math>\varphi</math> и <math>\varphi'(x)</math> непрекидне, нека је <math>\varphi</math> сурјекција ("на") и <math>\left(\forall x \in (\alpha, \beta)\right) \varphi'(x) \neq 0</math>. Тада важи:		; Теорема 1.3: Нека је функција <math>f</math> непрекидна функција на интервалу <math>I</math> и нека је <math>(\forall x \in I)</math> <math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>, <math>C \in \mathbb{R}</math>. Нека је функција <math>\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I</math> и нека су <math>\varphi</math> и <math>\varphi'(x)</math> непрекидне, нека је <math>\varphi</math> сурјекција ("на") и <math>\left(\forall x \in (\alpha, \beta)\right) \varphi'(x) \neq 0</math>. Тада важи:
	: <math>\int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = F(\varphi(t)) + c</math> (<math>x = \varphi(t)</math>, <math>t \in (\alpha, \beta)</math>, <math>\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I</math>)		: <math>\int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = F(\varphi(t)) + c</math> (<math>x = \varphi(t)</math>, <math>t \in (\alpha, \beta)</math>, <math>\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I</math>)
			; '''Доказ:'''
			: <math> (\forall x \in I) (\int f(\varphi (t))\varphi'(t)dt)' = f(\varphi(t))\varphi'(t)</math>
			: <math> (\forall x \in I) (F(\varphi(t))+C)' = (F(\varphi(t))' = F'(\varphi(t))\varphi'(t) = f(\varphi(t))\varphi'(t)</math>

	=== Метод парцијалне интеграције ===		=== Метод парцијалне интеграције ===
	; Теорема 1.4: Ако су <math>u(x)</math> и <math>v(x)</math> диференцијабилне на <math>I</math> и ако на <math>I</math> постоје примитивне функције функција <math>u'(x)v(x)</math> и <math>u(x)v'(x)</math> тада на <math>I</math> важи:		; Теорема 1.4: Ако су <math>u(x)</math> и <math>v(x)</math> диференцијабилне на <math>I</math> и ако на <math>I</math> постоје примитивне функције функција <math>u'(x)v(x)</math> и <math>u(x)v'(x)</math> тада на <math>I</math> важи:
	: <math>\int u(x)dv(x) = u(x) \cdot v(x) - \int v(x) du(x) + C</math>		: <math>\int u(x)dv(x) = u(x) \cdot v(x) - \int v(x) du(x) + C</math>
			; '''Доказ:'''
			: <math>d(u(x)v(x)) = d(u(x))v(x) + u(x)d(v(x)) + C</math>, интеграли се цела једнакост
			: <math>u(x)v(x) + C = \int d(u(x))v(x) + \int u(x)d(v(x))</math>

	=== Метод рекурентних формула ===		=== Метод рекурентних формула ===

Fedja: formatiranje...

2021-02-10T14:44:01Z

formatiranje...

← Старија измена		Верзија на датум 10. фебруар 2021. у 16:44
Ред 81:		Ред 81:

	=== Свођење квадратног тринома на канонски облик ===		=== Свођење квадратног тринома на канонски облик ===
	<math>ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left(x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(\frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right)</math>		: <math>ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left(x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(\frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right)</math>

	=== Метод неодређених коефицијената ===		=== Метод неодређених коефицијената ===

Fedja: formatiranje

2021-02-10T14:43:10Z

formatiranje

← Старија измена		Верзија на датум 10. фебруар 2021. у 16:43
Ред 84:		Ред 84:

	=== Метод неодређених коефицијената ===		=== Метод неодређених коефицијената ===
	Ако је познат облик примитивне ф-је:		: Ако је познат облик примитивне ф-је:

	<math>\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx = Q_{n-1}\sqrt{ax^2+bx+c} + \lambda\int \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}</math>		: <math>\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx = Q_{n-1}\sqrt{ax^2+bx+c} + \lambda\int \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}</math>

	=== Интеграција рационалних функција ===		=== Интеграција рационалних функција ===

Fedja: formatiranje

2021-02-10T14:42:45Z

formatiranje

← Старија измена		Верзија на датум 10. фебруар 2021. у 16:42
Ред 76:		Ред 76:

	=== Метод рекурентних формула ===		=== Метод рекурентних формула ===
	<math>I_n = \int f_n(x)dx, n \in \mathbb{N}</math>		: <math>I_n = \int f_n(x)dx, n \in \mathbb{N}</math>

	<math>I_n = \varphi(I_{n-1}, I_{n-2}, ..., I_3, I_2, I_1)</math>		: <math>I_n = \varphi(I_{n-1}, I_{n-2}, ..., I_3, I_2, I_1)</math>

	=== Свођење квадратног тринома на канонски облик ===		=== Свођење квадратног тринома на канонски облик ===

Fedja: formatiranje

2021-02-10T14:41:55Z

formatiranje

← Старија измена		Верзија на датум 10. фебруар 2021. у 16:41
Ред 63:		Ред 63:

	=== Теорема о линеарности интеграла ===		=== Теорема о линеарности интеграла ===
	Нека ф-је <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> имају примитивне ф-је на интервалу <math>I</math>, и нека су <math>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</math>. Тада ф-ја <math>\alpha f(x) + \beta g(x)</math> има примитивну ф-ју на интервалу <math>I</math> и важи:		: Нека ф-је <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> имају примитивне ф-је на интервалу <math>I</math>, и нека су <math>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</math>. Тада ф-ја <math>\alpha f(x) + \beta g(x)</math> има примитивну ф-ју на интервалу <math>I</math> и важи:

	<math>\int (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha\int f(x)dx + \beta\int g(x)dx</math>		: <math>\int (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha\int f(x)dx + \beta\int g(x)dx</math>

	=== Метод смене променљиве ===		=== Метод смене променљиве ===

Fedja: dodati izvedeni integrali u tablicu integrala

2021-02-10T14:40:24Z

dodati izvedeni integrali u tablicu integrala

← Старија измена		Верзија на датум 10. фебруар 2021. у 16:40
Ред 53:		Ред 53:
	# <math>\int \frac{dx}{ch^2 x} = th x + C</math>		# <math>\int \frac{dx}{ch^2 x} = th x + C</math>
	# <math>\int \frac{dx}{sh^2 x} = -cth x + C</math>		# <math>\int \frac{dx}{sh^2 x} = -cth x + C</math>

			Могу се извести и:
			# <math>\int \frac{dx}{\sqrt {x^2 \pm a}} = ln\|x + \sqrt {x^2 \pm a}\| + C</math>
			# <math>\int \frac{dx}{\sqrt {x^2 \pm a^2}} = ln\|x + \sqrt {x^2 \pm a^2}\| + C</math>
			# <math>\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = arcsin\frac{x}{a} + C</math>
			# <math>\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}arctg\frac{x}{a} + C</math>
			# <math>\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}ln\|\frac{x-a}{x+a}\| + C</math>
			# <math>\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a}ln\|\frac{a+x}{a-x}\| + C</math>

	=== Теорема о линеарности интеграла ===		=== Теорема о линеарности интеграла ===

Fedja: dodata teorema o linearnosti integrala

2021-02-10T14:30:09Z

dodata teorema o linearnosti integrala

← Старија измена		Верзија на датум 10. фебруар 2021. у 16:30
Ред 55:		Ред 55:

	=== Теорема о линеарности интеграла ===		=== Теорема о линеарности интеграла ===
			Нека ф-је <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> имају примитивне ф-је на интервалу <math>I</math>, и нека су <math>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</math>. Тада ф-ја <math>\alpha f(x) + \beta g(x)</math> има примитивну ф-ју на интервалу <math>I</math> и важи:

			<math>\int (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha\int f(x)dx + \beta\int g(x)dx</math>

	=== Метод смене променљиве ===		=== Метод смене променљиве ===

Fedja: dodat metod neodređenih koeficijenata radi formalnosti

2021-02-09T22:29:14Z

dodat metod neodređenih koeficijenata radi formalnosti

← Старија измена		Верзија на датум 10. фебруар 2021. у 00:29
Ред 73:		Ред 73:

	=== Метод неодређених коефицијената ===		=== Метод неодређених коефицијената ===
			Ако је познат облик примитивне ф-је:

			<math>\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx = Q_{n-1}\sqrt{ax^2+bx+c} + \lambda\int \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}</math>

	=== Интеграција рационалних функција ===		=== Интеграција рационалних функција ===