Математика 1/Фебруар 2020 - Историја измена

DjoleRkc: Dodat deo resenja

2022-01-29T20:41:26Z

Dodat deo resenja

← Старија измена		Верзија на датум 29. јануар 2022. у 22:41
Ред 4:		Ред 4:
	== Теорија ==		== Теорија ==
	=== 1. задатак ===		=== 1. задатак ===
			==== Поставка ====
	Дефинисати следеће појмове:		Дефинисати следеће појмове:
	# Тачка нагомилавања		# Тачка нагомилавања
	# Функција f ограничена на скупу <math> S \subseteq Dom(f) </math>		# Функција f ограничена на скупу <math> S \subseteq Dom(f) </math>
	# <math> \lim_{x \to a}{f(x)} = \infty </math>		# <math> \lim_{x \to a}{f(x)} = \infty </math>
			==== Решење ====
			# Тачка нагомилавања је реалан број у чијој се свакој околини налази бесконачно много чланова низа
			# функција f је ограничена на скупу s, који је подскуп домена функције f
			# Лимес када х тежи а, од функције f(x) једнак је бесконачно.
	=== 2. задатак ===		=== 2. задатак ===
			==== Поставка ====
	Навести пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да <math> \forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0 </math>. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.		Навести пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да <math> \forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0 </math>. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.
			==== Решење ====
			# <math> f(x) = \frac{1}{x}\ </math>, за <math> x \neq 0 </math>
			# <math> f(x) = 1 </math>, за <math> x = 0 </math>
	=== 3. задатак ===		=== 3. задатак ===
	Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују. (~~непотпуно~~)		==== Поставка ====
			Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.
			==== Решење ====
			# <math> f(x) = \frac{-1}{(x-3)^2}\ </math>, за <math> x > 3 </math>
			# <math> f(x) = e^{\frac{x}{3}-1} </math>, за <math> x \le 3 </math>

	=== 4. задатак ===		=== 4. задатак ===
			{{делимично решено}}
	Извести по дефиницији <math> cos^3(x) </math>		Извести по дефиницији <math> cos^3(x) </math>

	=== 5. задатак ===		=== 5. задатак ===
			==== Поставка ====
	Дефинисати косу асимптоту и дефиницију представити на примеру функције <math> \sqrt{x^2+x+1} </math>		Дефинисати косу асимптоту и дефиницију представити на примеру функције <math> \sqrt{x^2+x+1} </math>
			==== Решење ====
			# <math> \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} = a </math>
			# <math> \lim_{x \to \infty}{f(x)-a\cdot x} = b </math>
			# Ако је <math> \lim_{x \to \infty}{f(x)-a\cdot x - b} = 0 </math>, за неко <math> a \neq 0 </math> и <math> b \in R </math>, тада праву <math> y = ax + b </math> називамо косом асимптомом функције f.
			# Ако <math> x \to -\infty </math>, то је лева коса асимптота, а ако <math> x \to +\infty </math> то је десна коса асимптота.
			У овом примеру, када <math> x \to +\infty </math>, <math>a = 1</math> i <math>b = \frac{1}{2}</math>, што значи да је <math> y = x + \frac{1}{2} </math> десна коса асимптота функције f. Када <math> x \to -\infty </math>, <math>a = -1</math> i <math>b = -\frac{1}{2}</math>, што значи да је <math> y = -x - \frac{1}{2} </math> лева коса асимптота функције f.
	=== 6. задатак ===		=== 6. задатак ===
			==== Поставка ====
	Исказати Фермаову теорему и доказати је.		Исказати Фермаову теорему и доказати је.
			==== Решење ====
			# Исказ - ако функција f има локални екстремум у тачки Х и у тој тачки има и извод, онда је тај извод једнак нули. Ако извод није једнак нули, онда у тој тачки не постоји локални екстремум.
			# Доказ - Претпоставимо да f има локални максимум у тачки Х. Тада за довољно мало <math> h > 0 </math> важи: <math> f(x+h) \le f(x) </math>. Даље је десни извод(<math>f_+'</math>): <math> \lim_{x \to 0+}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \le 0 </math>. За довољно мало <math> h > 0 </math> важи и: <math> f(x-h) \le f(x) </math>. Леви извод је(<math>f_-'</math>): <math> \lim_{x \to 0-}{\frac{f(x)-f(x-h)}{h}} \ge 0 </math>. По претпоставци, f има извод у Х, па важи: <math>f'(x) = f_+' = f_-'</math>. С обзиром да <math>f_+' \le 0</math> и да <math>f_-' \ge 0</math>, мора бити <math>f'(x) = f_+' = f_-' = 0</math>. Дакле, <math>f'(x) = 0</math>.
	=== 7. задатак ===		=== 7. задатак ===
			==== Поставка ====
	Дефинисати Тејлоров полином реда 3 у тачки x = 1...		Дефинисати Тејлоров полином реда 3 у тачки x = 1...
			==== Решење ====
			<math>T_3(1) = f(1) + f'(1)\cdot (x-1) + \frac{f''(1)}{2!}\cdot (x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}\cdot (x-1)^3</math>
	== Задаци ==		== Задаци ==
	=== 1. задатак ===		=== 1. задатак ===
			{{делимично решено}}
	Доказати да је полином P дељив са Q за свако <math> a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N} </math>: <math> P(x) = x^{n+2} + 2x^{n+1} - a^3x^{n-2}-ax^2 +(2+a)ax-2a^2 </math>.		Доказати да је полином P дељив са Q за свако <math> a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N} </math>: <math> P(x) = x^{n+2} + 2x^{n+1} - a^3x^{n-2}-ax^2 +(2+a)ax-2a^2 </math>.

	=== 2. задатак ===		=== 2. задатак ===
			{{делимично решено}}
	Одредити параметре тако да полином има две двоструке нуле и наћи те нуле: <math> x^4 - px^2 + qx + 1 </math>		Одредити параметре тако да полином има две двоструке нуле и наћи те нуле: <math> x^4 - px^2 + qx + 1 </math>

	=== 3. задатак ===		=== 3. задатак ===
			{{делимично решено}}
	Одредити граничне вредности низова:		Одредити граничне вредности низова:
	# <math> a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n} </math>		# <math> a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n} </math>
Ред 40:		Ред 66:

	=== 4. задатак ===		=== 4. задатак ===
			{{делимично решено}}
	Одредити граничну вредност функције <math> \left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}} </math>		Одредити граничну вредност функције <math> \left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}} </math>

	=== 5. задатак ===		=== 5. задатак ===
			{{делимично решено}}
	Наћи асимптоте функције <math> f(x) = \left\| x+1 \right\| e^{-\frac{1}{x}} </math>		Наћи асимптоте функције <math> f(x) = \left\| x+1 \right\| e^{-\frac{1}{x}} </math>

	=== 6. задатак ===		=== 6. задатак ===
			{{делимично решено}}
	За функцију <math> f(x) = \sqrt[3]{(x^2+2x)^2} </math>		За функцију <math> f(x) = \sqrt[3]{(x^2+2x)^2} </math>
	# Одредити монотност и наћи локалне екстремуме		# Одредити монотност и наћи локалне екстремуме

KockaAdmiralac: +nerešeno

2021-06-27T17:26:07Z

+nerešeno

← Старија измена		Верзија на датум 27. јун 2021. у 19:26
Ред 1:		Ред 1:
	{{tocright}}		{{tocright}}
			{{нерешено}}

	== Теорија ==		== Теорија ==
	=== 1. задатак ===		=== 1. задатак ===

KockaAdmiralac: Format kao na Matematika 2/Jun 2020

2020-09-25T15:15:37Z

Format kao na Matematika 2/Jun 2020

← Старија измена		Верзија на датум 25. септембар 2020. у 17:15
Ред 1:		Ред 1:
			{{tocright}}
	== Теорија ==		== Теорија ==
	# Дефинисати следеће појмове:		=== 1. задатак ===
	## Тачка нагомилавања		Дефинисати следеће појмове:
	## Функција f ограничена на скупу <math> S \subseteq Dom(f) </math>		# Тачка нагомилавања
	## <math> \lim_{x \to a}{f(x)} = \infty </math>		# Функција f ограничена на скупу <math> S \subseteq Dom(f) </math>
	# Навести пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да <math> \forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0 </math>. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.		# <math> \lim_{x \to a}{f(x)} = \infty </math>
	# Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују. (непотпуно)
	# Извести по дефиницији <math> cos^3(x) </math>		=== 2. задатак ===
	# Дефинисати косу асимптоту и дефиницију представити на примеру функције <math> \sqrt{x^2+x+1} </math>		Навести пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да <math> \forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0 </math>. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.
	# Исказати Фермаову теорему и доказати је.
	# Дефинисати Тејлоров полином реда 3 у тачки x = 1...		=== 3. задатак ===
			Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују. (непотпуно)

			=== 4. задатак ===
			Извести по дефиницији <math> cos^3(x) </math>

			=== 5. задатак ===
			Дефинисати косу асимптоту и дефиницију представити на примеру функције <math> \sqrt{x^2+x+1} </math>

			=== 6. задатак ===
			Исказати Фермаову теорему и доказати је.

			=== 7. задатак ===
			Дефинисати Тејлоров полином реда 3 у тачки x = 1...

	== Задаци ==		== Задаци ==
	# Доказати да је полином P дељив са Q за свако <math> a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N} </math>: <math> P(x) = x^{n+2} + 2x^{n+1} - a^3x^{n-2}-ax^2 +(2+a)ax-2a^2 </math>.		=== 1. задатак ===
	# Одредити параметре тако да полином има две двоструке нуле и наћи те нуле: <math> x^4 - px^2 + qx + 1 </math>		Доказати да је полином P дељив са Q за свако <math> a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N} </math>: <math> P(x) = x^{n+2} + 2x^{n+1} - a^3x^{n-2}-ax^2 +(2+a)ax-2a^2 </math>.
	# Одредити граничне вредности низова:
	## <math> a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n} </math>		=== 2. задатак ===
	## <math> b_n = \frac{(n+2)!-n(n+1)!}{(n+2)!+3n!} </math>		Одредити параметре тако да полином има две двоструке нуле и наћи те нуле: <math> x^4 - px^2 + qx + 1 </math>
	# Одредити граничну вредност функције <math> \left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}} </math>
	# Наћи асимптоте функције <math> f(x) = \left\| x+1 \right\| e^{-\frac{1}{x}} </math>		=== 3. задатак ===
	# За функцију <math> f(x) = \sqrt[3]{(x^2+2x)^2} </math>		Одредити граничне вредности низова:
	## Одредити монотност и наћи локалне екстремуме		# <math> a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n} </math>
	## Одредити конкавност и наћи превојне тачке		# <math> b_n = \frac{(n+2)!-n(n+1)!}{(n+2)!+3n!} </math>

			=== 4. задатак ===
			Одредити граничну вредност функције <math> \left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}} </math>

			=== 5. задатак ===
			Наћи асимптоте функције <math> f(x) = \left\| x+1 \right\| e^{-\frac{1}{x}} </math>

			=== 6. задатак ===
			За функцију <math> f(x) = \sqrt[3]{(x^2+2x)^2} </math>
			# Одредити монотност и наћи локалне екстремуме
			# Одредити конкавност и наћи превојне тачке

	[[Категорија:Рокови]]		[[Категорија:Рокови]]
	[[Категорија:Математика 1]]		[[Категорија:Математика 1]]

KockaAdmiralac: Kategorizacija

2020-07-27T10:00:39Z

Kategorizacija

← Старија измена		Верзија на датум 27. јул 2020. у 12:00
Ред 24:		Ред 24:

	[[Категорија:Рокови]]		[[Категорија:Рокови]]
			[[Категорија:Математика 1]]

KockaAdmiralac: KockaAdmiralac је преместио страницу Математика 1: Фебруар 2020 на Математика 1/Фебруар 2020 без остављања преусмерења: Konzistentno imenovanje stranica

2020-07-14T00:01:45Z

KockaAdmiralac је преместио страницу Математика 1: Фебруар 2020 на Математика 1/Фебруар 2020 без остављања преусмерења: Konzistentno imenovanje stranica

← Старија измена	Верзија на датум 14. јул 2020. у 02:01
(нема разлике)

TopOfKeks: kat

2020-06-27T15:59:51Z

kat

← Старија измена		Верзија на датум 27. јун 2020. у 17:59
Ред 22:		Ред 22:
	## Одредити монотност и наћи локалне екстремуме		## Одредити монотност и наћи локалне екстремуме
	## Одредити конкавност и наћи превојне тачке		## Одредити конкавност и наћи превојне тачке

			[[Категорија:Рокови]]

TopOfKeks у 17:34, 12. фебруар 2020.

2020-02-12T17:34:02Z

← Старија измена		Верзија на датум 12. фебруар 2020. у 19:34
Ред 5:		Ред 5:
	## <math> \lim_{x \to a}{f(x)} = \infty </math>		## <math> \lim_{x \to a}{f(x)} = \infty </math>
	# Навести пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да <math> \forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0 </math>. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.		# Навести пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да <math> \forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0 </math>. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.
	# Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.		# Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују. (непотпуно)
	# Извести по дефиницији <math> cos^3(x) </math>		# Извести по дефиницији <math> cos^3(x) </math>
	# Дефинисати косу асимптоту и дефиницију представити на примеру функције <math> \sqrt{x^2+x+1} </math>		# Дефинисати косу асимптоту и дефиницију представити на примеру функције <math> \sqrt{x^2+x+1} </math>
Ред 12:		Ред 12:

	== Задаци ==		== Задаци ==
	# Доказати да је полином P дељив са Q за свако <math> a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N} </math>		# Доказати да је полином P дељив са Q за свако <math> a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N} </math>: <math> P(x) = x^{n+2} + 2x^{n+1} - a^3x^{n-2}-ax^2 +(2+a)ax-2a^2 </math>.
	# Одредити параметре тако да полином има две двоструке нуле и наћи те нуле: <math> x^4 - px^2 + qx + 1 </math>		# Одредити параметре тако да полином има две двоструке нуле и наћи те нуле: <math> x^4 - px^2 + qx + 1 </math>
	# Одредити граничне вредности низова:		# Одредити граничне вредности низова:
	## <math> a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n} </math>		## <math> a_n = \frac{1+3+3^2+3^3+\ldots +3^{2n}}{1+9+9^2+9^3+\ldots + 9^n} </math>
	## <math> b_n = \frac{(n+2)!+n(n+1)!}{(n+2)!+3n!} </math>		## <math> b_n = \frac{(n+2)!-n(n+1)!}{(n+2)!+3n!} </math>
	# Одредити граничну вредност функције <math> \left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}} </math>		# Одредити граничну вредност функције <math> \left( \frac{5}{2+\sqrt{9+x}} \right) ^{\frac{1}{sin x}} </math>
	# Наћи асимптоте функције <math> f(x) = \left\| x+1 \right\| e^{-\frac{1}{x}} </math>		# Наћи асимптоте функције <math> f(x) = \left\| x+1 \right\| e^{-\frac{1}{x}} </math>
Ред 22:		Ред 22:
	## Одредити монотност и наћи локалне екстремуме		## Одредити монотност и наћи локалне екстремуме
	## Одредити конкавност и наћи превојне тачке		## Одредити конкавност и наћи превојне тачке
	~~=== Решења ===~~
	~~# Наћи нуле полинома Q. Убацивањем нула у полином P лако се доказује да једначина не зависи ни од ''a'' ни од ''n''.~~
	~~# <math> p = 2; \quad q = 0; \quad x_1 = x_2 = -x_3 = -x_4 = 1 </math>~~
	~~# ...~~
	~~# Применити Лопиталово правило. <math> e^{-\frac{1}{30}} </math>~~
	~~# Лева вертикална x = 0. Две косе y = x + 1 и y = - x - 1.~~
	~~# ...~~

TopOfKeks: Topofkeks је преместио страницу Математика 1: Фебруар 2020. на Математика 1: Фебруар 2020

2020-02-03T20:24:55Z

Topofkeks је преместио страницу Математика 1: Фебруар 2020. на Математика 1: Фебруар 2020

← Старија измена

Верзија на датум 3. фебруар 2020. у 22:24

TopOfKeks: /* Теорија */

2020-02-03T17:29:01Z

Теорија

← Старија измена		Верзија на датум 3. фебруар 2020. у 19:29
Ред 4:		Ред 4:
	## Функција f ограничена на скупу <math> S \subseteq Dom(f) </math>		## Функција f ограничена на скупу <math> S \subseteq Dom(f) </math>
	## <math> \lim_{x \to a}{f(x)} = \infty </math>		## <math> \lim_{x \to a}{f(x)} = \infty </math>
	# ~~Ако постоји, навести~~ пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да <math> \forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0 </math>. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.		# Навести пример и нацртати скицу функције која је дефинисана на интервалу [-2,3], а да вредности функције на крају интервала имају различит знак и да <math> \forall x \in [-2,3]: f(x) \neq 0 </math>. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.
	# Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.		# Ако постоји навести пример функције која има прекид другог реда на x = 3. Уколико не постоји таква функција, навести теореме које то доказују.
	# Извести по дефиницији <math> cos^3(x) </math>		# Извести по дефиницији <math> cos^3(x) </math>
Ред 10:		Ред 10:
	# Исказати Фермаову теорему и доказати је.		# Исказати Фермаову теорему и доказати је.
	# Дефинисати Тејлоров полином реда 3 у тачки x = 1...		# Дефинисати Тејлоров полином реда 3 у тачки x = 1...

	== Задаци ==		== Задаци ==
	# Доказати да је полином P дељив са Q за свако <math> a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N} </math>		# Доказати да је полином P дељив са Q за свако <math> a \in \mathbb{R} \and n \in \mathbb{N} </math>

TopOfKeks у 13:44, 3. фебруар 2020.

2020-02-03T13:44:19Z

← Старија измена		Верзија на датум 3. фебруар 2020. у 15:44
Ред 1:		Ред 1:
	== Теорија ==		== Теорија ==
	# Дефинисати следеће појмове:		# Дефинисати следеће појмове:
	## ~~Превојна тачка~~		## Тачка нагомилавања
	## Функција f ограничена на скупу <math> S \subseteq Dom(f) </math>		## Функција f ограничена на скупу <math> S \subseteq Dom(f) </math>
	## <math> \lim_{x \to a}{f(x)} = \infty </math>		## <math> \lim_{x \to a}{f(x)} = \infty </math>