Вероватноћа и статистика/Теорија - Историја измена

Bambula: /* Расподеле */

2026-03-10T11:58:10Z

Расподеле

← Старија измена		Верзија на датум 10. март 2026. у 13:58
Ред 198:		Ред 198:
	\| 1.8 \|\| 9641 \|\| 9649 \|\| 9656 \|\| 9664 \|\| 9671 \|\| 9678 \|\| 9686 \|\| 9693 \|\| 9699 \|\| 9706		\| 1.8 \|\| 9641 \|\| 9649 \|\| 9656 \|\| 9664 \|\| 9671 \|\| 9678 \|\| 9686 \|\| 9693 \|\| 9699 \|\| 9706
	\|-		\|-
	\| 1.9 \|\| 9713 \|\| 9719 \|\| 9726 \|\| 9732 \|\| 9738 \|\| 9744 \|\| ~~9790~~ \|\| 9756 \|\| 9761 \|\| 9767		\| 1.9 \|\| 9713 \|\| 9719 \|\| 9726 \|\| 9732 \|\| 9738 \|\| 9744 \|\| 9750 \|\| 9756 \|\| 9761 \|\| 9767
	\|-		\|-
	\| 2.0 \|\| 97725 \|\| 97778 \|\| 97831 \|\| 97882 \|\| 97932 \|\| 97982 \|\| 98030 \|\| 98077 \|\| 98124 \|\| 98169		\| 2.0 \|\| 97725 \|\| 97778 \|\| 97831 \|\| 97882 \|\| 97932 \|\| 97982 \|\| 98030 \|\| 98077 \|\| 98124 \|\| 98169

Aldin: /* Варијанса */ Kod osobina kovarijanse, promenljive X, Y i Z ne moraju biti nezavisne

2024-04-22T21:47:52Z

Варијанса: Kod osobina kovarijanse, promenljive X, Y i Z ne moraju biti nezavisne

← Старија измена		Верзија на датум 22. април 2024. у 23:47
Ред 287:		Ред 287:
	** '''Теорема 4.4:''' <math>Var(X + Y) = VarX + VarY + 2Cov(X, Y)</math>		** '''Теорема 4.4:''' <math>Var(X + Y) = VarX + VarY + 2Cov(X, Y)</math>
	*** Доказ: <math>Var(X + Y) =</math><math> E(X + Y - E(X + Y))^2 =</math><math> E(X + Y - EX - EY)^2 =</math><math> E((X - EX) + (Y - EY))^2 =</math><math> E((X - EX)^2 + 2(X - EX)(Y - EY) + (Y - EY)^2) =</math><math> VarX + VarY + 2Cov(X, Y)</math>		*** Доказ: <math>Var(X + Y) =</math><math> E(X + Y - E(X + Y))^2 =</math><math> E(X + Y - EX - EY)^2 =</math><math> E((X - EX) + (Y - EY))^2 =</math><math> E((X - EX)^2 + 2(X - EX)(Y - EY) + (Y - EY)^2) =</math><math> VarX + VarY + 2Cov(X, Y)</math>
	* Особине коваријансе за ~~независне~~ променљиве <math>X, Y, Z</math> и <math>a, b \in \mathbb{R}</math>:		* Особине коваријансе за променљиве <math>X, Y, Z</math> и <math>a, b \in \mathbb{R}</math>:
	*# Ако су <math>X</math> и <math>Y</math> независне, <math>Cov(X, Y) = 0</math>.		*# Ако су <math>X</math> и <math>Y</math> независне, <math>Cov(X, Y) = 0</math>.
	*# <math>Cov(X, Y) = Cov(Y, X)</math>		*# <math>Cov(X, Y) = Cov(Y, X)</math>

Aldin: /* Варијациони низ */ Promenio funkciju raspodele F_{max} iz 1 - (F(x))^n u F(x)^n

2024-04-22T21:36:04Z

Варијациони низ: Promenio funkciju raspodele F_{max} iz 1 - (F(x))^n u F(x)^n

← Старија измена		Верзија на датум 22. април 2024. у 23:36
Ред 255:		Ред 255:
	* Специјални случајеви:		* Специјални случајеви:
	** Функција расподеле најмање случајне променљиве варијационог низа: <math>F_{min}(x) = 1 - (1 - F(x))^n</math>		** Функција расподеле најмање случајне променљиве варијационог низа: <math>F_{min}(x) = 1 - (1 - F(x))^n</math>
	** Функција расподеле највеће случајне променљиве варијационог низа: <math>F_{max}(x) = ~~1 - (~~F(x))^n</math>		** Функција расподеле највеће случајне променљиве варијационог низа: <math>F_{max}(x) = F(x)^n</math>

	== Нумеричке карактеристике случајних променљивих ==		== Нумеричке карактеристике случајних променљивих ==

KockaAdmiralac: Novi renderer ne podržava \sgn

2024-03-15T01:21:42Z

Novi renderer ne podržava \sgn

← Старија измена		Верзија на датум 15. март 2024. у 03:21
Ред 298:		Ред 298:
	**# <math>-1 \leq \rho(X, Y) \leq 1</math>		**# <math>-1 \leq \rho(X, Y) \leq 1</math>
	*# Доказ: уочимо случајну променљиву <math>\frac{X}{\sqrt{VarX} } + \frac{Y}{\sqrt{VarY} }</math>. <math>0 \leq Var\left(\frac{X}{\sqrt{VarX} } + \frac{Y}{\sqrt{VarY} }\right) =</math><math> Var\left(\frac{X}{\sqrt{VarX} }\right) + Var\left(\frac{Y}{\sqrt{VarY} }\right) + 2Cov\left(\frac{X}{\sqrt{VarX} }, \frac{Y}{\sqrt{VarY} }\right) =</math><math> \frac{1}{\sqrt{VarX}^2} \cdot VarX + \frac{1}{\sqrt{VarY}^2} \cdot VarY + \frac{2}{\sqrt{VarX} \cdot \sqrt{VarY} } Cov(X, Y) =</math><math> 2 + 2\rho(X, Y)</math>. Како је <math>2 + 2\rho(X, Y) \geq 0</math>, онда важи <math>\rho \geq -1</math>. Аналогно томе, уколико уочимо случајну променљиву са - уместо + добијамо <math>\rho \leq 1</math>.		*# Доказ: уочимо случајну променљиву <math>\frac{X}{\sqrt{VarX} } + \frac{Y}{\sqrt{VarY} }</math>. <math>0 \leq Var\left(\frac{X}{\sqrt{VarX} } + \frac{Y}{\sqrt{VarY} }\right) =</math><math> Var\left(\frac{X}{\sqrt{VarX} }\right) + Var\left(\frac{Y}{\sqrt{VarY} }\right) + 2Cov\left(\frac{X}{\sqrt{VarX} }, \frac{Y}{\sqrt{VarY} }\right) =</math><math> \frac{1}{\sqrt{VarX}^2} \cdot VarX + \frac{1}{\sqrt{VarY}^2} \cdot VarY + \frac{2}{\sqrt{VarX} \cdot \sqrt{VarY} } Cov(X, Y) =</math><math> 2 + 2\rho(X, Y)</math>. Како је <math>2 + 2\rho(X, Y) \geq 0</math>, онда важи <math>\rho \geq -1</math>. Аналогно томе, уколико уочимо случајну променљиву са - уместо + добијамо <math>\rho \leq 1</math>.
	**# <math>\rho(X, Y) = \pm 1</math> ако и само ако <math>P(Y = aX + b) = 1</math>, где је <math>a \neq 0, b \in \mathbb{R}, \sgn a = \sgn \rho(X, Y)</math>		**# <math>\rho(X, Y) = \pm 1</math> ако и само ако <math>P(Y = aX + b) = 1</math>, где је <math>\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}a \neq 0, b \in \mathbb{R}, \sgn a = \sgn \rho(X, Y)</math>
	**# <math>\rho(aX + b, cY + d) = \pm \rho(X, Y)</math> за <math>a, c \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, b, d \in \mathbb{R}</math>, где се узима знак плус ако је <math>ac</math> позитивно, а минус у супротном		**# <math>\rho(aX + b, cY + d) = \pm \rho(X, Y)</math> за <math>a, c \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, b, d \in \mathbb{R}</math>, где се узима знак плус ако је <math>ac</math> позитивно, а минус у супротном
	** Корелација:		** Корелација:

Aleksa: исправка

2023-09-14T18:10:09Z

исправка

← Старија измена		Верзија на датум 14. септембар 2023. у 20:10
Ред 407:		Ред 407:
	*# <math>\hat{\theta}(X_1, ..., X_n)</math> је стабилна (постојана) ако конвергира у вероватноћи ка <math>\theta</math>.		*# <math>\hat{\theta}(X_1, ..., X_n)</math> је стабилна (постојана) ако конвергира у вероватноћи ка <math>\theta</math>.
	*# Ако су <math>\hat{\theta_1}</math> и <math>\hat{\theta_2}</math> две оцене истог параметра <math>\theta</math>, <math>\hat{\theta_1}</math> је боља од <math>\hat{\theta_2}</math> ако је <math>E(\hat{\theta_1} - \theta)^2 \leq E(\hat{\theta_2} - \theta)^2</math> с тим што строга неједнакост важи за бар једно <math>\theta</math>.		*# Ако су <math>\hat{\theta_1}</math> и <math>\hat{\theta_2}</math> две оцене истог параметра <math>\theta</math>, <math>\hat{\theta_1}</math> је боља од <math>\hat{\theta_2}</math> ако је <math>E(\hat{\theta_1} - \theta)^2 \leq E(\hat{\theta_2} - \theta)^2</math> с тим што строга неједнакост важи за бар једно <math>\theta</math>.
	*# Ако су <math>\hat{\theta_1}</math> и <math>\hat{\theta_2}</math> две оцене истог параметра <math>\theta</math>, кажемо да је <math>\hat{\theta_1}</math> ефикасније од <math>\hat{\theta_2}</math> ако је <math>Var\hat{\theta_1} \leq Var\hat{\theta_2}</math> с тим што строга неједнакост важи за бар једно <math>\theta</math>.		*# Ако су <math>\hat{\theta_1}</math> и <math>\hat{\theta_2}</math> две центриране оцене истог параметра <math>\theta</math>, кажемо да је <math>\hat{\theta_1}</math> ефикасније од <math>\hat{\theta_2}</math> ако је <math>Var\hat{\theta_1} \leq Var\hat{\theta_2}</math> с тим што строга неједнакост важи за бар једно <math>\theta</math>.

	==== Интервална оцена ====		==== Интервална оцена ====

KockaAdmiralac: /* Карактеристичне функције */ Po dokazu ispod moraju da budu nezavisne

2023-07-04T09:12:12Z

Карактеристичне функције: Po dokazu ispod moraju da budu nezavisne

← Старија измена		Верзија на датум 4. јул 2023. у 11:12
Ред 356:		Ред 356:
	*# За сваку случајну променљиву и свака два реална или комплексна броја важи <math>\varphi_{aX+b}(t) = e^{ibt} \varphi_X(at)</math>		*# За сваку случајну променљиву и свака два реална или комплексна броја важи <math>\varphi_{aX+b}(t) = e^{ibt} \varphi_X(at)</math>
	*# Ако случајна променљива има момент реда <math>n</math> тада важи <math>E(X^n) = i^{-n} \varphi^{(n)}(0)</math>		*# Ако случајна променљива има момент реда <math>n</math> тада важи <math>E(X^n) = i^{-n} \varphi^{(n)}(0)</math>
	*# За две случајне променљиве важи <math>\varphi_{X + Y}(t) = \varphi_X(t) \varphi_Y(t)</math>		*# За две независне случајне променљиве важи <math>\varphi_{X + Y}(t) = \varphi_X(t) \varphi_Y(t)</math>
	# Доказ: <math>\varphi_{X + Y}(t) = Ee^{it(X+Y)} = Ee^{itX} Ee^{itY} = \varphi_X(t) \varphi_Y(t)</math>		# Доказ: <math>\varphi_{X + Y}(t) = Ee^{it(X+Y)} = Ee^{itX} Ee^{itY} = \varphi_X(t) \varphi_Y(t)</math>

KockaAdmiralac: /* Интервална оцена */ 1-alfa umesto 1-alfa/2

2023-07-01T14:29:57Z

Интервална оцена: 1-alfa umesto 1-alfa/2

← Старија измена		Верзија на датум 1. јул 2023. у 16:29
Ред 451:		Ред 451:
	! Познато <math>\mu</math>		! Познато <math>\mu</math>
	\| <math>\sigma^2 \in \left[\frac{nS_0^2}{\varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}}}, \frac{nS_0^2}{\varepsilon_{\frac{\alpha}{2}}}\right]</math>, квантили из <math>\chi^2(n)</math>		\| <math>\sigma^2 \in \left[\frac{nS_0^2}{\varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}}}, \frac{nS_0^2}{\varepsilon_{\frac{\alpha}{2}}}\right]</math>, квантили из <math>\chi^2(n)</math>
	\| <math>\sigma^2 \in \left[0, \frac{nS_0^2}{\varepsilon_{\alpha}}\right]</math> или <math>\sigma^2 \in \left[\frac{nS_0^2}{\varepsilon_{1 - ~~\frac{~~\alpha~~}{2}~~}}, +\infty\right)</math>, квантили из <math>\chi^2(n)</math>		\| <math>\sigma^2 \in \left[0, \frac{nS_0^2}{\varepsilon_{\alpha}}\right]</math> или <math>\sigma^2 \in \left[\frac{nS_0^2}{\varepsilon_{1 - \alpha}}, +\infty\right)</math>, квантили из <math>\chi^2(n)</math>
	\|-		\|-
	! Непознато <math>\mu</math>		! Непознато <math>\mu</math>
	\| <math>\sigma^2 \in \left[\frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}}}, \frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{\frac{\alpha}{2}}}\right]</math>, квантили из <math>\chi^2(n-1)</math>		\| <math>\sigma^2 \in \left[\frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}}}, \frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{\frac{\alpha}{2}}}\right]</math>, квантили из <math>\chi^2(n-1)</math>
	\| <math>\sigma^2 \in \left[0, \frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{\alpha}}\right]</math> или <math>\sigma^2 \in \left[\frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{1 - ~~\frac{~~\alpha~~}{2}~~}}, +\infty\right)</math>, квантили из <math>\chi^2(n-1)</math>		\| <math>\sigma^2 \in \left[0, \frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{\alpha}}\right]</math> или <math>\sigma^2 \in \left[\frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{1 - \alpha}}, +\infty\right)</math>, квантили из <math>\chi^2(n-1)</math>
	\|}		\|}
	* Ако расподела није <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math>, за <math>n > 30</math> важи централна гранична теорема, тако да можемо апроксимирати интервал поверења као за нормалну расподелу.		* Ако расподела није <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math>, за <math>n > 30</math> важи централна гранична теорема, тако да можемо апроксимирати интервал поверења као за нормалну расподелу.

KockaAdmiralac: Tabele za studentovu i hi kvadrat raspodelu // Edit via Wikitext Extension for VSCode

2023-06-10T23:17:27Z

Tabele za studentovu i hi kvadrat raspodelu // Edit via Wikitext Extension for VSCode

Прикажи измене

KockaAdmiralac: To je to valjda

2023-05-24T13:09:33Z

To je to valjda

@@ Ред 458: / Ред 458: @@
 |}
 * Ако расподела није <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math>, за <math>n > 30</math> важи централна гранична теорема, тако да можемо апроксимирати интервал поверења као за нормалну расподелу.
 [[Категорија:Вероватноћа и статистика]]
 [[Категорија:Водичи]]

KockaAdmiralac: /* Интервална оцена */ Ispravljena raspodela kvantila

2023-05-18T21:48:01Z

Интервална оцена: Ispravljena raspodela kvantila

← Старија измена		Верзија на датум 18. мај 2023. у 23:48
Ред 454:		Ред 454:
	\|-		\|-
	! Непознато <math>\mu</math>		! Непознато <math>\mu</math>
	\| <math>\sigma^2 \in \left[\frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}}}, \frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{\frac{\alpha}{2}}}\right]</math>, квантили из <math>\chi^2(n)</math>		\| <math>\sigma^2 \in \left[\frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}}}, \frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{\frac{\alpha}{2}}}\right]</math>, квантили из <math>\chi^2(n-1)</math>
	\| <math>\sigma^2 \in \left[0, \frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{\alpha}}\right]</math> или <math>\sigma^2 \in \left[\frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}}}, +\infty\right)</math>, квантили из <math>\chi^2(n)</math>		\| <math>\sigma^2 \in \left[0, \frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{\alpha}}\right]</math> или <math>\sigma^2 \in \left[\frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}}}, +\infty\right)</math>, квантили из <math>\chi^2(n-1)</math>
	\|}		\|}
	* Ако расподела није <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math>, за <math>n > 30</math> важи централна гранична теорема, тако да можемо апроксимирати интервал поверења као за нормалну расподелу.		* Ако расподела није <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math>, за <math>n > 30</math> важи централна гранична теорема, тако да можемо апроксимирати интервал поверења као за нормалну расподелу.