Вероватноћа и статистика/К2 2023 - Историја измена

Pop: /* Решење */

2023-07-03T17:28:30Z

Решење

← Старија измена		Верзија на датум 3. јул 2023. у 19:28
Ред 64:		Ред 64:
	=== Решење ===		=== Решење ===
	* <math>cos(t) = \frac{e^{it} + e^{-it} }{2}</math>		* <math>cos(t) = \frac{e^{it} + e^{-it} }{2}</math>
	* <math>\varphi(t) = \frac{1}{6} e^{it} + \frac{1}{6} e^{-it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{4} e^{3it} + \frac{1}{4} e^{-3it}</math>		* <math>\varphi(t) = \frac{1}{6} e^{it} + \frac{1}{6} e^{-it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{12} e^{-2it} + \frac{1}{4} e^{3it} + \frac{1}{4} e^{-3it}</math>
	* <math>X: \begin{pmatrix}		* <math>X: \begin{pmatrix}
	-3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\		-3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\

KockaAdmiralac: /* Решење */ Ispravljen VarX

2023-06-12T10:15:47Z

Решење: Ispravljen VarX

← Старија измена		Верзија на датум 12. јун 2023. у 12:15
Ред 81:		Ред 81:
	* <math>VarX_1 = \frac{1}{\lambda^2} = 400</math>		* <math>VarX_1 = \frac{1}{\lambda^2} = 400</math>
	* <math>EX = 36 \cdot EX_1 = 720</math>		* <math>EX = 36 \cdot EX_1 = 720</math>
	* <math>VarX = ~~VarX_1~~ = 400</math>		* <math>VarX = nVarX_1 = 36 \cdot 400</math>
	* Централна гранична теорема: <math>\frac{X - EX}{\sqrt{~~n \cdot~~ VarX} } \sim \mathcal{N}(0, 1)</math> (важи јер је <math>n = 36 \geq 30</math>)		* Централна гранична теорема: <math>\frac{X - EX}{\sqrt{VarX} } \sim \mathcal{N}(0, 1)</math> (важи јер је <math>n = 36 \geq 30</math>)
	* <math>P(X \geq 1000 - 610) = P(X \geq 390) =</math><math> 1 - P(X \leq 390) =</math><math> 1 - P\left(\frac{X - 720}{120} \leq \frac{390 - 720}{120}\right) =</math><math> 1 - \Phi(-2.75) = \Phi(2.75) = 0.99702</math>		* <math>P(X \geq 1000 - 610) = P(X \geq 390) =</math><math> 1 - P(X \leq 390) =</math><math> 1 - P\left(\frac{X - 720}{120} \leq \frac{390 - 720}{120}\right) =</math><math> 1 - \Phi(-2.75) = \Phi(2.75) = 0.99702</math>

	[[Категорија:Рокови]]		[[Категорија:Рокови]]
	[[Категорија:Вероватноћа и статистика]]		[[Категорија:Вероватноћа и статистика]]

KockaAdmiralac: Sve obrnuto u četvrtom // Edit via Wikitext Extension for VSCode

2023-05-03T22:58:36Z

Sve obrnuto u četvrtom // Edit via Wikitext Extension for VSCode

← Старија измена		Верзија на датум 4. мај 2023. у 00:58
Ред 60:		Ред 60:
	== 4. задатак ==		== 4. задатак ==
	=== Поставка ===		=== Поставка ===
	Карактеристична функција случајне променљиве гласи <math>\varphi(t) = \frac{1}{2} cos(t) + \frac{1}{6} cos(2t) + \frac{1}{3} cos(3t)</math>. Одредити закон расподеле и очекивање ове случајне променљиве.		Карактеристична функција случајне променљиве гласи <math>\varphi(t) = \frac{1}{3} cos(t) + \frac{1}{6} cos(2t) + \frac{1}{2} cos(3t)</math>. Одредити закон расподеле и очекивање ове случајне променљиве.

	=== Решење ===		=== Решење ===
	* <math>cos(t) = \frac{e^{it} + e^{-it} }{2}</math>		* <math>cos(t) = \frac{e^{it} + e^{-it} }{2}</math>
	* <math>\varphi(t) = \frac{1}{4} e^{it} + \frac{1}{4} e^{-it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{6} e^{3it} + \frac{1}{6} e^{-3it}</math>		* <math>\varphi(t) = \frac{1}{6} e^{it} + \frac{1}{6} e^{-it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{4} e^{3it} + \frac{1}{4} e^{-3it}</math>
	* <math>X: \begin{pmatrix}		* <math>X: \begin{pmatrix}
	-3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\		-3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\
	\frac{1}{6} & \frac{1}{12} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{12} & \frac{1}{6}		\frac{1}{4} & \frac{1}{12} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{12} & \frac{1}{4}
	\end{pmatrix}</math>		\end{pmatrix}</math>
	* Интуитивно, очекивање овакве случајне променљиве је 0.		* Интуитивно, очекивање овакве случајне променљиве је 0.

KockaAdmiralac: Zamena razlomaka u postavci četvrtog // Edit via Wikitext Extension for VSCode

2023-05-03T22:52:53Z

Zamena razlomaka u postavci četvrtog // Edit via Wikitext Extension for VSCode

← Старија измена		Верзија на датум 4. мај 2023. у 00:52
Ред 60:		Ред 60:
	== 4. задатак ==		== 4. задатак ==
	=== Поставка ===		=== Поставка ===
	Карактеристична функција случајне променљиве гласи <math>\varphi(t) = \frac{1}{3} cos(t) + \frac{1}{6} cos(2t) + \frac{1}{2} cos(3t)</math>. Одредити закон расподеле и очекивање ове случајне променљиве.		Карактеристична функција случајне променљиве гласи <math>\varphi(t) = \frac{1}{2} cos(t) + \frac{1}{6} cos(2t) + \frac{1}{3} cos(3t)</math>. Одредити закон расподеле и очекивање ове случајне променљиве.

	=== Решење ===		=== Решење ===
	* <math>cos(t) = \frac{e^{it} + e^{-it} }{2}</math>		* <math>cos(t) = \frac{e^{it} + e^{-it} }{2}</math>
	* <math>\varphi(t) = \frac{1}{6} e^{it} + \frac{1}{6} e^{-it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{4} e^{3it} + \frac{1}{4} e^{-3it}</math>		* <math>\varphi(t) = \frac{1}{4} e^{it} + \frac{1}{4} e^{-it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{6} e^{3it} + \frac{1}{6} e^{-3it}</math>
	* <math>X: \begin{pmatrix}		* <math>X: \begin{pmatrix}
	-3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\		-3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\

KockaAdmiralac: Ispravljene granice za x u drugom // Edit via Wikitext Extension for VSCode

2023-05-03T22:40:43Z

Ispravljene granice za x u drugom // Edit via Wikitext Extension for VSCode

← Старија измена		Верзија на датум 4. мај 2023. у 00:40
Ред 37:		Ред 37:
	=== Решење ===		=== Решење ===
	<math>f_X(x) = \int_{-\infty}^x f(x, y) dy = \begin{cases}		<math>f_X(x) = \int_{-\infty}^x f(x, y) dy = \begin{cases}
	0, & x < 0 \\		0, & x \notin (0, 1) \\
	24x \int_0^{1-x} y dy = 24x \frac{y^2}{2}\|_0^{1-x}, & x \~~geq~~ 0		24x \int_0^{1-x} y dy = 24x \frac{y^2}{2}\|_0^{1-x}, & x \in (0, 1)
	\end{cases} =</math><math>\begin{cases}		\end{cases} =</math><math>\begin{cases}
	0, & x < 0 \\		0, & x \notin (0, 1) \\
	12x(1-x)^2, & x \~~geq~~ 0		12x(1-x)^2, & x \in (0, 1)
	\end{cases}</math>		\end{cases}</math>

KockaAdmiralac: Ispravke // Edit via Wikitext Extension for VSCode

2023-05-03T22:21:53Z

Ispravke // Edit via Wikitext Extension for VSCode

← Старија измена		Верзија на датум 4. мај 2023. у 00:21
Ред 11:		Ред 11:
	0, & x < 2 \\		0, & x < 2 \\
	\frac{x - 2}{2}, & x \in [2, 4] \\		\frac{x - 2}{2}, & x \in [2, 4] \\
	1, & x > 2		1, & x > 4
	\end{cases}</math>		\end{cases}</math>
	* Нове границе за униформну расподелу:		* Нове границе за униформну расподелу:
Ред 38:		Ред 38:
	<math>f_X(x) = \int_{-\infty}^x f(x, y) dy = \begin{cases}		<math>f_X(x) = \int_{-\infty}^x f(x, y) dy = \begin{cases}
	0, & x < 0 \\		0, & x < 0 \\
	~~\int_0^{1-x} 24xy dy =~~ 24x \int_0^{1-x} y dy = 24x \frac{y^2}{2}\|_0^{1-x}, & x \geq 0		24x \int_0^{1-x} y dy = 24x \frac{y^2}{2}\|_0^{1-x}, & x \geq 0
	\end{cases} = \begin{cases}		\end{cases} =</math><math>\begin{cases}
	0, & x < 0 \\		0, & x < 0 \\
	12x(1-x)^2, & x \geq 0		12x(1-x)^2, & x \geq 0
Ред 55:		Ред 55:
	=== Решење ===		=== Решење ===
	# <math>E(X^2) = VarX + E(X)^2 = 10015</math>		# <math>E(X^2) = VarX + E(X)^2 = 10015</math>
	# <math>E(2X + 6) + 2EX + 6 = 206</math>		# <math>E(2X + 6) = 2EX + 6 = 206</math>
	# <math>Var(-3X + 5) = (-3)^2 VarX = 135</math>		# <math>Var(-3X + 5) = Var(-3X) = (-3)^2 VarX = 135</math>

	== 4. задатак ==		== 4. задатак ==

KockaAdmiralac: Kolokvijum od danas // Edit via Wikitext Extension for VSCode

2023-05-03T22:13:55Z

Kolokvijum od danas // Edit via Wikitext Extension for VSCode

Нова страница

{{tocright}}
'''Други колоквијум 2023. године''' одржан је 3. маја и трајао је сат времена. Били су дозвољени калкулатори и била је дата табела са вредностима <math>\Phi(x)</math>. Поставка овог рока није јавно доступна.

== 1. задатак ==
=== Поставка ===
Случајна променљива <math>X</math> има расподелу <math>Unif(2, 4)</math>. Одредити коју расподелу има случајна променљива <math>Y = -2X + 5</math>.

=== Решење ===
* <math>F_Y(y) = P(Y \leq y) =</math><math> P(-2X + 5 \leq y) =</math><math> P(-2X \leq y - 5) =</math><math> P\left(X \geq \frac{5 - y}{2}\right) =</math><math> 1 - P\left(X \leq \frac{5 - y}{2}\right) =</math><math> 1 - F_X\left(\frac{5 - y}{2}\right)</math>
* <math>F_X(x) = \begin{cases}
0, & x < 2 \\
\frac{x - 2}{2}, & x \in [2, 4] \\
1, & x > 2
\end{cases}</math>
* Нове границе за униформну расподелу:
** <math>\frac{5 - y}{2} = 2 \implies y = 1</math>
** <math>\frac{5 - y}{2} = 4 \implies y = -3</math>
* <math>F_X\left(\frac{5 - y}{2}\right) = \begin{cases}
1, & y < -3 \\
\frac{\frac{5 - y}{2} - 2}{2} = \frac{1 - y}{4} & y \in [-3, 1] \\
0, & y > 1
\end{cases}</math>
* <math>F_Y(y) = \begin{cases}
0, & y < -3 \\
\frac{y + 3}{4}, & y \in [-3, 1] \\
1, & y > 1
\end{cases}</math>
** Одавде видимо да је расподела <math>Unif(-3, 1)</math>.

== 2. задатак ==
=== Поставка ===
Заједничка функција расподеле случајног вектора <math>(X, Y)</math> је <math>f(x, y) = \begin{cases}
24xy, & x > 0, y > 0, x + y < 1 \\
0, & \text{inače}
\end{cases}</math>. Одредити маргиналне законе расподеле случајних променљивих <math>X</math> и <math>Y</math>.

=== Решење ===
<math>f_X(x) = \int_{-\infty}^x f(x, y) dy = \begin{cases}
0, & x < 0 \\
\int_0^{1-x} 24xy dy = 24x \int_0^{1-x} y dy = 24x \frac{y^2}{2}|_0^{1-x}, & x \geq 0
\end{cases} = \begin{cases}
0, & x < 0 \\
12x(1-x)^2, & x \geq 0
\end{cases}</math>

Како је једначина симетрична, аналогно важи и за <math>f_Y(y)</math>.

== 3. задатак ==
=== Поставка ===
За случајну променљиву <math>X</math> је познато <math>EX = 100, VarX = 15</math>. Одредити:
# <math>E(X^2)</math>
# <math>E(2X + 6)</math>
# <math>Var(-3X + 5)</math>

=== Решење ===
# <math>E(X^2) = VarX + E(X)^2 = 10015</math>
# <math>E(2X + 6) + 2EX + 6 = 206</math>
# <math>Var(-3X + 5) = (-3)^2 VarX = 135</math>

== 4. задатак ==
=== Поставка ===
Карактеристична функција случајне променљиве гласи <math>\varphi(t) = \frac{1}{3} cos(t) + \frac{1}{6} cos(2t) + \frac{1}{2} cos(3t)</math>. Одредити закон расподеле и очекивање ове случајне променљиве.

=== Решење ===
* <math>cos(t) = \frac{e^{it} + e^{-it} }{2}</math>
* <math>\varphi(t) = \frac{1}{6} e^{it} + \frac{1}{6} e^{-it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{12} e^{2it} + \frac{1}{4} e^{3it} + \frac{1}{4} e^{-3it}</math>
* <math>X: \begin{pmatrix}
-3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\
\frac{1}{6} & \frac{1}{12} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{12} & \frac{1}{6}
\end{pmatrix}</math>
* Интуитивно, очекивање овакве случајне променљиве је 0.

== 5. задатак ==
=== Поставка ===
Базен са водом се празни сваког сата. Количина воде (у m3) која истекне током једног сата има расподелу <math>Exp\left(\frac{1}{20}\right)</math>. Ако је базен имао 1000m3 воде, колика је вероватноћа да за 36 сати остане мање од 610m3 у базену?

=== Решење ===
* Означимо са <math>X_1</math> случајну променљиву која означава колико воде је истекло првог сата, <math>X_2</math> колико је истекло другог сата, и тако до <math>X_{36}</math>.
* <math>X = X_1 + X_2 + ... + X_{36}</math>
* <math>EX_1 = \frac{1}{\lambda} = 20</math>
* <math>VarX_1 = \frac{1}{\lambda^2} = 400</math>
* <math>EX = 36 \cdot EX_1 = 720</math>
* <math>VarX = VarX_1 = 400</math>
* Централна гранична теорема: <math>\frac{X - EX}{\sqrt{n \cdot VarX} } \sim \mathcal{N}(0, 1)</math> (важи јер је <math>n = 36 \geq 30</math>)
* <math>P(X \geq 1000 - 610) = P(X \geq 390) =</math><math> 1 - P(X \leq 390) =</math><math> 1 - P\left(\frac{X - 720}{120} \leq \frac{390 - 720}{120}\right) =</math><math> 1 - \Phi(-2.75) = \Phi(2.75) = 0.99702</math>

[[Категорија:Рокови]]
[[Категорија:Вероватноћа и статистика]]