Вероватноћа и статистика/К2 2022 - Историја измена

Aleksa: /* Решење */

2023-09-12T13:01:18Z

Решење

← Старија измена		Верзија на датум 12. септембар 2023. у 15:01
Ред 63:		Ред 63:
	=== Решење ===		=== Решење ===
	# <math>E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = m</math><math>;\quad</math><math>Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = \frac{s^2}{n}</math> <br>		# <math>E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = m</math><math>;\quad</math><math>Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = \frac{s^2}{n}</math> <br>
	# <math>n_{\text{min}} = 14</math>		# <math>n\geq \frac{s^2}{0.025}</math>; <math>n_{\text{min}} = 14</math>, за <math>s</math> које је било дато у задатку, али није сачувано.

	== 5. задатак ==		== 5. задатак ==

KockaAdmiralac: /* Решење */ Ispravka gde se koristi CGT

2023-04-30T19:30:14Z

Решење: Ispravka gde se koristi CGT

← Старија измена		Верзија на датум 30. април 2023. у 21:30
Ред 70:		Ред 70:

	=== Решење ===		=== Решење ===
	Број шестица је у овом случају случајна променљива <math>X \sim Bin\left(540, \frac{1}{6}\right)</math>. Како је <math>\frac{540}{6} = 90 > 5</math>, за <math>\frac{X - 90}{\sqrt{\frac{5}{6} 90}} = \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } \sim \mathcal{N}(0, 1)</math>. ~~Коришћењем централне граничне теореме~~ добијамо: <math>P\left(\frac{100 - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{120 - 90}{5 \sqrt{3} }\right) =</math><math>P\left(\frac{2}{\sqrt{3} } < Z < \frac{6}{\sqrt{3} }\right) =</math><math>\Phi\left(\frac{6}{\sqrt{3} }\right) - \Phi\left(\frac{2}{\sqrt{3} }\right) =</math><math>0.999730 - 0.8749 = 0.12483</math>		Број шестица је у овом случају случајна променљива <math>X \sim Bin\left(540, \frac{1}{6}\right)</math>. Како је <math>\frac{540}{6} = 90 > 5</math>, можемо искористити апроксимацију биномне расподеле нормалном (која се изводи из централне граничне теореме) за <math>\frac{X - 90}{\sqrt{\frac{5}{6} 90}} = \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } \sim \mathcal{N}(0, 1)</math>. Даље добијамо: <math>P\left(\frac{100 - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{120 - 90}{5 \sqrt{3} }\right) =</math><math>P\left(\frac{2}{\sqrt{3} } < Z < \frac{6}{\sqrt{3} }\right) =</math><math>\Phi\left(\frac{6}{\sqrt{3} }\right) - \Phi\left(\frac{2}{\sqrt{3} }\right) =</math><math>0.999730 - 0.8749 = 0.12483</math>

	[[Категорија:Рокови]]		[[Категорија:Рокови]]
	[[Категорија:Вероватноћа и статистика]]		[[Категорија:Вероватноћа и статистика]]

KockaAdmiralac: /* Решење */ Fali koren

2023-04-30T19:28:30Z

Решење: Fali koren

← Старија измена		Верзија на датум 30. април 2023. у 21:28
Ред 70:		Ред 70:

	=== Решење ===		=== Решење ===
	Број шестица је у овом случају случајна променљива <math>X \sim Bin\left(540, \frac{1}{6}\right)</math>. Како је <math>\frac{540}{6} = 90 > 5</math>, за <math>\frac{X - 90}{\frac{5}{6} 90} = \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } \sim \mathcal{N}(0, 1)</math>. Коришћењем централне граничне теореме добијамо: <math>P\left(\frac{100 - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{120 - 90}{5 \sqrt{3} }\right) =</math><math>P\left(\frac{2}{\sqrt{3} } < Z < \frac{6}{\sqrt{3} }\right) =</math><math>\Phi\left(\frac{6}{\sqrt{3} }\right) - \Phi\left(\frac{2}{\sqrt{3} }\right) =</math><math>0.999730 - 0.8749 = 0.12483</math>		Број шестица је у овом случају случајна променљива <math>X \sim Bin\left(540, \frac{1}{6}\right)</math>. Како је <math>\frac{540}{6} = 90 > 5</math>, за <math>\frac{X - 90}{\sqrt{\frac{5}{6} 90}} = \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } \sim \mathcal{N}(0, 1)</math>. Коришћењем централне граничне теореме добијамо: <math>P\left(\frac{100 - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{120 - 90}{5 \sqrt{3} }\right) =</math><math>P\left(\frac{2}{\sqrt{3} } < Z < \frac{6}{\sqrt{3} }\right) =</math><math>\Phi\left(\frac{6}{\sqrt{3} }\right) - \Phi\left(\frac{2}{\sqrt{3} }\right) =</math><math>0.999730 - 0.8749 = 0.12483</math>

	[[Категорија:Рокови]]		[[Категорија:Рокови]]
	[[Категорија:Вероватноћа и статистика]]		[[Категорија:Вероватноћа и статистика]]

KockaAdmiralac: Razlomljivanje velike jednačine za kovarijansu // Edit via Wikitext Extension for VSCode

2023-04-30T19:03:55Z

Razlomljivanje velike jednačine za kovarijansu // Edit via Wikitext Extension for VSCode

← Старија измена		Верзија на датум 30. април 2023. у 21:03
Ред 52:		Ред 52:
	* <math>VarX = E(X^2) - (EX)^2 \implies E(X^2) = VarX + (EX)^2 = 6</math>		* <math>VarX = E(X^2) - (EX)^2 \implies E(X^2) = VarX + (EX)^2 = 6</math>
	* <math>E(Y^2) = 13</math>		* <math>E(Y^2) = 13</math>
	* <math>Cov(U, V) = E(U, V) - EU \cdot EV = E((X - Y)(X + Y)) = E(X^2 - Y^2) = E(X^2) - E(Y^2) = 6 - 13 = -7</math>		* <math>Cov(U, V) = E(U, V) - EU \cdot EV =</math><math> E((X - Y)(X + Y)) =</math><math> E(X^2 - Y^2) =</math><math> E(X^2) - E(Y^2) =</math><math> 6 - 13 = -7</math>
	* <math>\rho(U, V) = \frac{Cov(U, V)}{\sqrt{VarU} \sqrt{VarV} } = -\frac{7}{11}</math>		* <math>\rho(U, V) = \frac{Cov(U, V)}{\sqrt{VarU} \sqrt{VarV} } = -\frac{7}{11}</math>

KockaAdmiralac: Objašnjenja kod rešenja // Edit via Wikitext Extension for VSCode

2023-04-30T19:02:43Z

Objašnjenja kod rešenja // Edit via Wikitext Extension for VSCode

← Старија измена		Верзија на датум 30. април 2023. у 21:02
Ред 1:		Ред 1:
	{{tocright}}		{{tocright}}
			'''Други колоквијум 2022. године''' одржан је 5. маја. Поставка рока није јавно доступна.

	== 1. задатак ==		== 1. задатак ==
	=== Поставка ===		=== Поставка ===
	Нека је дата функција густине случајне променљиве <math>X</math> са <math>~~f_{X}~~(x) = \begin{cases} -e^{-x}~~\text{~~ ,} & x>0 \\ 0~~\text{~~ ,} & x \leq 0 \end{cases}</math>. Наћи функцију расподеле случајне променљиве <math>Y=X^2</math>.		Нека је дата функција густине случајне променљиве <math>X</math> са <math>f_X(x) = \begin{cases}
			-e^{-x}, & x > 0 \\
			0, & x \leq 0
			\end{cases}</math>. Наћи функцију расподеле случајне променљиве <math>Y = X^2</math>.

	=== Решење ===		=== Решење ===
	<math>F_{Y}(y) = \begin{cases} e^{-\sqrt{y}}-1~~\text{~~ ,} & y>0 \\ 0~~\text{~~ ,} & y \leq 0 \end{cases}</math>		Прво је потребно одредити функцију расподеле <math>X</math>: <math>F_X(x) = \int_{-\infty}^x f(x) dx</math>. За <math>x > 0</math> добијамо <math>F_X(x) = \int_0^x -e^{-x} = e^{-x}\|_0^x = e^{-x} - 1</math>, тако да је функција расподеле: <math>F_X(x) = \begin{cases}
			e^{-x} - 1, & x > 0 \\
			0, & x \leq 0
			\end{cases}</math>.

			Из тога добијамо функцију расподеле <math>Y</math> као <math>F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(X \leq \sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y})</math>, односно: <math>F_{Y}(y) = \begin{cases}
			e^{-\sqrt{y} } - 1, & y > 0 \\
			0, & y \leq 0
			\end{cases}</math>

	== 2. задатак ==		== 2. задатак ==
	=== Поставка ===		=== Поставка ===
	# Навести три особине математичког очекивања по избору. ~~<br>~~		# Навести три особине математичког очекивања по избору.
	# Нека је функција расподеле случајне променљливе <math>X</math> дата са <math>F(x) = \begin{cases} 0~~\text{~~ ,} & x \leq 0 \\ \frac{x^2}{4}~~\text{~~ ,} & 0<x<2 \\ 1~~\text{~~ ,} & x \geq 2 \end{cases}</math>. Наћи <math>E(2X-3)</math>.		# Нека је функција расподеле случајне променљливе <math>X</math> дата са <math>F(x) = \begin{cases}
			0, & x \leq 0 \\
			\frac{x^2}{4}, & 0 < x < 2 \\
			1, & x \geq 2
			\end{cases}</math>. Наћи <math>E(2X-3)</math>.

	=== Решење ===		=== Решење ===
	<math>-\frac{1}{3}</math>		Особине математичког очекивања могу се наћи у оквиру [[Вероватноћа и статистика/Теорија#Математичко очекивање\|теореме 4.2 на страници са сажетом теоријом]].

			Да бисмо пронашли <math>E(2X-3)</math> потребна нам је вредност <math>EX</math>. За непрекидно <math>X</math> важи <math>EX = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx</math>, за шта нам је потребна густина расподеле <math>X</math>. Даље добијамо:
			* <math>f(x) = F'(x) = \begin{cases}
			0, & x \notin (0, 2) \\
			\frac{x}{2}, & x \in (0, 2)
			\end{cases}</math>
			* <math>EX = \frac{1}{2} \int_0^2 x^2 dx = \frac{1}{6} x^3 \|_0^2 = \frac{8 - 0}{6} = \frac{8}{6}</math>
			* <math>EX(2X-3) = 2EX - 3 = \frac{16 - 18}{6} = -\frac{1}{3}</math>

	== 3. задатак ==		== 3. задатак ==
Ред 21:		Ред 45:

	=== Решење ===		=== Решење ===
	<math>-\frac{7}{11}</math>		Ако рачунамо да су <math>X</math> и <math>Y</math> независне, добијамо следеће:
			* <math>X \sim Poiss(2)</math>, <math>EX = 2</math>, <math>VarX = 2</math>
			* <math>Y \sim \mathcal{N}(2, 9)</math>, <math>EY = 2</math>, <math>VarY = 9</math>
			* <math>U = X + Y</math>, <math>EU = EX + EY = 4</math>, <math>VarU = VarX + VarY = 11</math>
			* <math>V = X - Y</math>, <math>EV = EX - EY = 0</math>, <math>VarV = VarX + (-1)^2 VarY = 11</math>
			* <math>VarX = E(X^2) - (EX)^2 \implies E(X^2) = VarX + (EX)^2 = 6</math>
			* <math>E(Y^2) = 13</math>
			* <math>Cov(U, V) = E(U, V) - EU \cdot EV = E((X - Y)(X + Y)) = E(X^2 - Y^2) = E(X^2) - E(Y^2) = 6 - 13 = -7</math>
			* <math>\rho(U, V) = \frac{Cov(U, V)}{\sqrt{VarU} \sqrt{VarV} } = -\frac{7}{11}</math>

	== 4. задатак ==		== 4. задатак ==
Ред 35:		Ред 67:
	== 5. задатак ==		== 5. задатак ==
	=== Поставка ===		=== Поставка ===
	Коцкица се баца ~~<math>~~540~~</math>~~ пута. Која је вероватноћа да ће шестица пасти између ~~<math>~~100~~</math>~~ и ~~<math>~~120~~</math>~~ пута? Навести дефиницију теореме која је коришћена.		Коцкица се баца 540 пута. Која је вероватноћа да ће шестица пасти између 100 и 120 пута? Навести дефиницију теореме која је коришћена.

	=== Решење ===		=== Решење ===
	Коришћењем централне граничне теореме ~~се добија~~ <math>P = 0.~~1248~~</math>.		Број шестица је у овом случају случајна променљива <math>X \sim Bin\left(540, \frac{1}{6}\right)</math>. Како је <math>\frac{540}{6} = 90 > 5</math>, за <math>\frac{X - 90}{\frac{5}{6} 90} = \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } \sim \mathcal{N}(0, 1)</math>. Коришћењем централне граничне теореме добијамо: <math>P\left(\frac{100 - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{X - 90}{5 \sqrt{3} } < \frac{120 - 90}{5 \sqrt{3} }\right) =</math><math>P\left(\frac{2}{\sqrt{3} } < Z < \frac{6}{\sqrt{3} }\right) =</math><math>\Phi\left(\frac{6}{\sqrt{3} }\right) - \Phi\left(\frac{2}{\sqrt{3} }\right) =</math><math>0.999730 - 0.8749 = 0.12483</math>

	[[Категорија:Рокови]]		[[Категорија:Рокови]]
	[[Категорија:Вероватноћа и статистика]]		[[Категорија:Вероватноћа и статистика]]

KockaAdmiralac: Formatiranje

2022-07-14T20:37:54Z

Formatiranje

← Старија измена		Верзија на датум 14. јул 2022. у 22:37
Ред 1:		Ред 1:
	=== 1. задатак ===		{{tocright}}
	==== Поставка ====
			== 1. задатак ==
			=== Поставка ===
	Нека је дата функција густине случајне променљиве <math>X</math> са <math>f_{X}(x) = \begin{cases} -e^{-x}\text{ ,} & x>0 \\ 0\text{ ,} & x \leq 0 \end{cases}</math>. Наћи функцију расподеле случајне променљиве <math>Y=X^2</math>.		Нека је дата функција густине случајне променљиве <math>X</math> са <math>f_{X}(x) = \begin{cases} -e^{-x}\text{ ,} & x>0 \\ 0\text{ ,} & x \leq 0 \end{cases}</math>. Наћи функцију расподеле случајне променљиве <math>Y=X^2</math>.

	==== Решење ====		=== Решење ===
	<math>F_{Y}(y) = \begin{cases} e^{-\sqrt{y}}-1\text{ ,} & y>0 \\ 0\text{ ,} & y \leq 0 \end{cases}</math>		<math>F_{Y}(y) = \begin{cases} e^{-\sqrt{y}}-1\text{ ,} & y>0 \\ 0\text{ ,} & y \leq 0 \end{cases}</math>

	=== 2. задатак ===		== 2. задатак ==
	==== Поставка ====		=== Поставка ===
	1. Навести три особине математичког очекивања по избору. <br>		# Навести три особине математичког очекивања по избору. <br>
	2. Нека је функција расподеле случајне променљливе <math>X</math> дата са <math>F(x) = \begin{cases} 0\text{ ,} & x \leq 0 \\ \frac{x^2}{4}\text{ ,} & 0<x<2 \\ 1\text{ ,} & x \geq 2 \end{cases}</math>. Наћи <math>E(2X-3)</math>.		# Нека је функција расподеле случајне променљливе <math>X</math> дата са <math>F(x) = \begin{cases} 0\text{ ,} & x \leq 0 \\ \frac{x^2}{4}\text{ ,} & 0<x<2 \\ 1\text{ ,} & x \geq 2 \end{cases}</math>. Наћи <math>E(2X-3)</math>.

	==== Решење ====		=== Решење ===
	<math>-\frac{1}{3}</math>		<math>-\frac{1}{3}</math>

	=== 3. задатак ===		== 3. задатак ==
	==== Поставка ====		=== Поставка ===
	Нека је <math>X</math> случајна променљива са Пуасоновом расподелом са параметром <math>\lambda = 2</math>, а <math>Y</math> случајна променљива са нормалном расподелом са очекивањем <math>2</math> и варијансом <math>9</math>. Ако су <math>U=X+Y</math> и <math>V=X-Y</math>, одредити <math>\rho (U, V)</math>.		Нека је <math>X</math> случајна променљива са Пуасоновом расподелом са параметром <math>\lambda = 2</math>, а <math>Y</math> случајна променљива са нормалном расподелом са очекивањем <math>2</math> и варијансом <math>9</math>. Ако су <math>U=X+Y</math> и <math>V=X-Y</math>, одредити <math>\rho (U, V)</math>.

	==== Решење ====		=== Решење ===
	<math>-\frac{7}{11}</math>		<math>-\frac{7}{11}</math>

	=== 4. задатак ===		== 4. задатак ==
	==== Поставка ====		=== Поставка ===
	<math>X_1, \ldots, X_n</math> су независне случајне променљиве са истом расподелом, очекивањем <math>m</math> и варијансом <math>s^2</math>.		<math>X_1, \ldots, X_n</math> су независне случајне променљиве са истом расподелом, очекивањем <math>m</math> и варијансом <math>s^2</math>.
	# Наћи <math>E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)</math> и <math>Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)</math>.		# Наћи <math>E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)</math> и <math>Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)</math>.
	# Коришћењем неједнакости Чебишева наћи најмање <math>n</math>, тако да <math>P\left(\left\|\frac{X_1+ \ldots+ X_n - n}{n}\right\| \geq 0.5 \right) \leq 0.1</math>.		# Коришћењем неједнакости Чебишева наћи најмање <math>n</math>, тако да <math>P\left(\left\|\frac{X_1+ \ldots+ X_n - n}{n}\right\| \geq 0.5 \right) \leq 0.1</math>.

	==== Решење ====		=== Решење ===
	1. <math>E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = m</math><math>;\quad</math><math>Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = \frac{s^2}{n}</math> <br>		# <math>E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = m</math><math>;\quad</math><math>Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = \frac{s^2}{n}</math> <br>
	2. <math>n_{\text{min}} = 14</math>		# <math>n_{\text{min}} = 14</math>

	=== 5. задатак ===		== 5. задатак ==
	==== Поставка ====		=== Поставка ===
	Коцкица се баца <math>540</math> пута. Која је вероватноћа да ће шестица пасти између <math>100</math> и <math>120</math> пута? Навести дефиницију теореме која је коришћена.		Коцкица се баца <math>540</math> пута. Која је вероватноћа да ће шестица пасти између <math>100</math> и <math>120</math> пута? Навести дефиницију теореме која је коришћена.

	==== Решење ====		=== Решење ===
	Коришћењем централне граничне теореме се добија <math>P = 0.1248</math>.		Коришћењем централне граничне теореме се добија <math>P = 0.1248</math>.

			[[Категорија:Рокови]]
			[[Категорија:Вероватноћа и статистика]]

Nikolas: Нова страница: === 1. задатак === ==== Поставка ==== Нека је дата функција густине случајне променљиве $X$ са
2022-07-14T20:36:05Z

Нова страница: === 1. задатак === ==== Поставка ==== Нека је дата функција густине случајне променљиве <math>X</math> са <m…

Нова страница
=== 1. задатак ===
==== Поставка ====
Нека је дата функција густине случајне променљиве <math>X</math> са <math>f_{X}(x) = \begin{cases} -e^{-x}\text{ ,} & x>0 \\ 0\text{ ,} & x \leq 0 \end{cases}</math>. Наћи функцију расподеле случајне променљиве <math>Y=X^2</math>.

==== Решење ====
<math>F_{Y}(y) = \begin{cases} e^{-\sqrt{y}}-1\text{ ,} & y>0 \\ 0\text{ ,} & y \leq 0 \end{cases}</math>

=== 2. задатак ===
==== Поставка ====
1. Навести три особине математичког очекивања по избору. <br>
2. Нека је функција расподеле случајне променљливе <math>X</math> дата са <math>F(x) = \begin{cases} 0\text{ ,} & x \leq 0 \\ \frac{x^2}{4}\text{ ,} & 0<x<2 \\ 1\text{ ,} & x \geq 2 \end{cases}</math>. Наћи <math>E(2X-3)</math>.

==== Решење ====
<math>-\frac{1}{3}</math>

=== 3. задатак ===
==== Поставка ====
Нека је <math>X</math> случајна променљива са Пуасоновом расподелом са параметром <math>\lambda = 2</math>, а <math>Y</math> случајна променљива са нормалном расподелом са очекивањем <math>2</math> и варијансом <math>9</math>. Ако су <math>U=X+Y</math> и <math>V=X-Y</math>, одредити <math>\rho (U, V)</math>.

==== Решење ====
<math>-\frac{7}{11}</math>

=== 4. задатак ===
==== Поставка ====
<math>X_1, \ldots, X_n</math> су независне случајне променљиве са истом расподелом, очекивањем <math>m</math> и варијансом <math>s^2</math>.
# Наћи <math>E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)</math> и <math>Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right)</math>.
# Коришћењем неједнакости Чебишева наћи најмање <math>n</math>, тако да <math>P\left(\left|\frac{X_1+ \ldots+ X_n - n}{n}\right| \geq 0.5 \right) \leq 0.1</math>.

==== Решење ====
1. <math>E\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = m</math><math>;\quad</math><math>Var\left(\frac{X_1+ \ldots+ X_n}{n}\right) = \frac{s^2}{n}</math> <br>
2. <math>n_{\text{min}} = 14</math>

=== 5. задатак ===
==== Поставка ====
Коцкица се баца <math>540</math> пута. Која је вероватноћа да ће шестица пасти између <math>100</math> и <math>120</math> пута? Навести дефиницију теореме која је коришћена.

==== Решење ====
Коришћењем централне граничне теореме се добија <math>P = 0.1248</math>.