Вероватноћа и статистика/Јун 2021 - Историја измена

KockaAdmiralac: /* 1. задатак */ Ispravljeni brojevi u postupku

2023-05-01T13:00:12Z

1. задатак: Ispravljeni brojevi u postupku

← Старија измена		Верзија на датум 1. мај 2023. у 15:00
Ред 9:		Ред 9:
	* <math>X, Y \sim Unif(0, 1)</math>		* <math>X, Y \sim Unif(0, 1)</math>
	** <math>EX = EY = \frac{1}{2}</math>		** <math>EX = EY = \frac{1}{2}</math>
	** <math>VarX = VarY = \frac{1}{2}</math>		** <math>VarX = VarY = \frac{1}{12}</math>
	** <math>E(X^2) = E(Y^2) = VarX + (EX)^2 = \frac{3}{4}</math>		** <math>E(X^2) = E(Y^2) = VarX + (EX)^2 = \frac{1}{3}</math>
	* <math>U = 2X + 4Y</math>		* <math>U = 2X + 4Y</math>
	** <math>EU = 2EX + 4EY = 3</math>		** <math>EU = 2EX + 4EY = 3</math>
	** <math>VarU = Var(2X + 4Y) = 4VarX + 16VarY = 10</math>		** <math>VarU = Var(2X + 4Y) = 4VarX + 16VarY = \frac{10}{6}</math>
	* <math>V = X - Y</math>		* <math>V = X - Y</math>
	** <math>EV = EX - EY = 0</math>		** <math>EV = EX - EY = 0</math>
	** <math>VarV = VarX + (-1)^2 VarY = 1</math>		** <math>VarV = VarX + (-1)^2 VarY = \frac{1}{6}</math>
	* <math>Cov(U, V) = E\left((U - EU)(V - EV)\right) =</math><math> E\left((2X + 4Y - 3)(X - Y)\right) =</math><math> E\left(2X^2 - 2XY + 4XY - 4Y^2 - 3EX + 3EY\right) =</math><math> E\left(2X^2 - 4Y^2 + 2XY\right) =</math><math> 2E(X^2) - 4E(Y^2) + 2E(XY) =</math><math> -2\frac{3}{4} + \frac{1}{2} =</math><math> -1</math>		* <math>Cov(U, V) = E\left((U - EU)(V - EV)\right) =</math><math> E\left((2X + 4Y - 3)(X - Y)\right) =</math><math> E\left(2X^2 - 2XY + 4XY - 4Y^2 - 3EX + 3EY\right) =</math><math> E\left(2X^2 - 4Y^2 + 2XY\right) =</math><math> 2E(X^2) - 4E(Y^2) + 2E(XY) =</math><math> -2\frac{1}{3} + \frac{1}{2} =</math><math> -\frac{1}{6}</math>
	* <math>\rho(U, V) = \frac{Cov(U, V)}{\sqrt{VarU} \sqrt{VarV} } = -\frac{1}{\sqrt{10} }</math>		* <math>\rho(U, V) = \frac{Cov(U, V)}{\sqrt{VarU} \sqrt{VarV} } = \frac{-\frac{1}{6}}{\sqrt{\frac{10}{36} } } = -\frac{1}{\sqrt{10} }</math>

	== 2. задатак ==		== 2. задатак ==

KockaAdmiralac: Objašnjenja za prvi i treći // Edit via Wikitext Extension for VSCode

2023-04-30T20:37:14Z

Objašnjenja za prvi i treći // Edit via Wikitext Extension for VSCode

← Старија измена		Верзија на датум 30. април 2023. у 22:37
Ред 1:		Ред 1:
	{{tocright}}		{{tocright}}
	~~== Статистика ==~~		'''Испит у јунском року 2021. године''' одржан је 17. јуна и трајао је 90 минута. Поставка рока није доступна са странице предмета.
	=== 1. задатак ===
	==== Поставка ====		== 1. задатак ==
			=== Поставка ===
	Нека су <math>X</math> и <math>Y</math> независне случајне променљиве са <math>Unif(0, 1)</math> расподелом и нека важи за случајне променљиве <math>U</math> и <math>V</math> важи <math>U = 2X + 4Y</math>, <math>V = X - Y</math>. Одредити коефицијент корелације за <math>\rho (U, V)</math>.		Нека су <math>X</math> и <math>Y</math> независне случајне променљиве са <math>Unif(0, 1)</math> расподелом и нека важи за случајне променљиве <math>U</math> и <math>V</math> важи <math>U = 2X + 4Y</math>, <math>V = X - Y</math>. Одредити коефицијент корелације за <math>\rho (U, V)</math>.

	==== ~~Решење~~ ====		=== Решење ===
	<math>-0~~.316~~</math>		* <math>X, Y \sim Unif(0, 1)</math>
			** <math>EX = EY = \frac{1}{2}</math>
			** <math>VarX = VarY = \frac{1}{2}</math>
			** <math>E(X^2) = E(Y^2) = VarX + (EX)^2 = \frac{3}{4}</math>
			* <math>U = 2X + 4Y</math>
			** <math>EU = 2EX + 4EY = 3</math>
			** <math>VarU = Var(2X + 4Y) = 4VarX + 16VarY = 10</math>
			* <math>V = X - Y</math>
			** <math>EV = EX - EY = 0</math>
			** <math>VarV = VarX + (-1)^2 VarY = 1</math>
			* <math>Cov(U, V) = E\left((U - EU)(V - EV)\right) =</math><math> E\left((2X + 4Y - 3)(X - Y)\right) =</math><math> E\left(2X^2 - 2XY + 4XY - 4Y^2 - 3EX + 3EY\right) =</math><math> E\left(2X^2 - 4Y^2 + 2XY\right) =</math><math> 2E(X^2) - 4E(Y^2) + 2E(XY) =</math><math> -2\frac{3}{4} + \frac{1}{2} =</math><math> -1</math>
			* <math>\rho(U, V) = \frac{Cov(U, V)}{\sqrt{VarU} \sqrt{VarV} } = -\frac{1}{\sqrt{10} }</math>

	=== 2. задатак ===		== 2. задатак ==
	==== Поставка ====		=== Поставка ===
	Нека случајна променљива <math>X</math> има расподелу <math>Bin(100, p)</math> са вероватноћом успеха <math>p</math>, <math>0 < p < 1</math>. На основу узорка 34, 28, 47, 38, 53 броја реализованих успеха наћи оцену непознатог параметра <math>p</math> користећи метод максималне веродостојности.		Нека случајна променљива <math>X</math> има расподелу <math>Bin(100, p)</math> са вероватноћом успеха <math>p</math>, <math>0 < p < 1</math>. На основу узорка 34, 28, 47, 38, 53 броја реализованих успеха наћи оцену непознатог параметра <math>p</math> користећи метод максималне веродостојности.

	==== Решење ====		=== Решење ===
	<math>\frac{2}{5}</math>		<math>\frac{2}{5}</math>

	=== 3. задатак ===		== 3. задатак ==
	==== Поставка ====		=== Поставка ===
	# Дати дефиницију карактеристичне функције случајне променљиве <math>X</math>.		# Дати дефиницију карактеристичне функције случајне променљиве <math>X</math>.
	# Дати исказ теореме која описује особину карактеристичне функције збира две случајне променљиве.		# Дати исказ теореме која описује особину карактеристичне функције збира две случајне променљиве.
Ред 24:		Ред 36:
	\end{array}\right)</math>. Доказати да случајна променљива <math>Z = X + Y</math> има <math>Unif(1, 3)</math> расподелу.		\end{array}\right)</math>. Доказати да случајна променљива <math>Z = X + Y</math> има <math>Unif(1, 3)</math> расподелу.

	=== 4. задатак ===		=== Решење ===
	==== Поставка ====		Дефиниција карактеристичне функције, као и теорема 5.1 која описује особину карактеристичне функције збира две случајне променљиве могу се наћи на [[Вероватноћа и статистика/Теорија#Карактеристичне функције\|страници са сажетом теоријом са предавања]].
			* За <math>X \sim Unif(0, 1)</math> карактеристичну функцију можемо израчунати као <math>\varphi_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx} f_X(x) dx =</math><math> \int_0^1 e^{itx} dx =</math><math> \frac{1}{it} e^{itx} \|_0^1 =</math><math> \frac{1}{it} \left(e^{it} - 1\right)</math>.
			* За <math>Y</math> карактеристичну функцију можемо израчунати као <math>\varphi_Y(t) = \frac{1}{2} e^{it} + \frac{1}{2} e^{2it}</math>.
			* Карактеристична функција <math>Z</math> се може израчунати као <math>\varphi_Z(t) = \varphi_X(t) \varphi_Y(t) =</math><math> \frac{1}{2it} \left(e^{it} - 1\right) \left(e^{it} + e^{2it}\right) =</math><math> \frac{1}{2it} \left(e^{2it} - e^{it} + e^{3it} - e^{2it}\right) =</math><math> \frac{1}{2it} \left(e^{3it} - e^{it}\right)</math>.
			* Са друге стране, уколико бисмо замислили једну другу случајну променљиву <math>W \sim Unif(1, 3)</math> и израчунали њену карактеристичну функцију добили бисмо <math>\varphi_W(t) = \frac{1}{2} \int_1^3 e^{itx} dx =</math><math> \frac{1}{2it} e^{itx} \|_1^3 =</math><math> \frac{1}{2it} \left(e^{3it} - e^{it}\right)</math>.
			* Како су <math>\varphi_Z</math> и <math>\varphi_W</math> исте функције, доказ је готов.

			== 4. задатак ==
			=== Поставка ===
	Број студената на предавањима је случајна променљива са <math>Poiss(36)</math> расподелом.		Број студената на предавањима је случајна променљива са <math>Poiss(36)</math> расподелом.
	# Колико треба да има места у учионици да би са вероватноћом бар 99% сви присутни студенти могли да седе?		# Колико треба да има места у учионици да би са вероватноћом бар 99% сви присутни студенти могли да седе?
	# Која апроксимација је коришћена под 1)? Објаснити како се дошло до те апроксимације.		# Која апроксимација је коришћена под 1)? Објаснити како се дошло до те апроксимације.
	==== Решење ====
			=== Решење ===
	Минималан број места је 50. Коришћена је апроксимација Пуасонове расподеле нормалном <math>N(36, 36)</math> расподелом.		Минималан број места је 50. Коришћена је апроксимација Пуасонове расподеле нормалном <math>N(36, 36)</math> расподелом.

	=== 5. задатак ===		== 5. задатак ==
	==== Поставка ====		=== Поставка ===
	На основу узорка обима 121 из <math>N(\mu, \sigma^2)</math> расподеле добијено је <math>\hat{\mu} = 1.2</math> и <math>s^2 = 2.25</math>. Тестирати хипотезу <math>H_0: \mu = 1</math> против алтернативне хипотезе <math>H_1: \mu > 1</math> са нивоом значајности 0.05. Објаснити поступак.		На основу узорка обима 121 из <math>N(\mu, \sigma^2)</math> расподеле добијено је <math>\hat{\mu} = 1.2</math> и <math>s^2 = 2.25</math>. Тестирати хипотезу <math>H_0: \mu = 1</math> против алтернативне хипотезе <math>H_1: \mu > 1</math> са нивоом значајности 0.05. Објаснити поступак.

	==== Решење ====		=== Решење ===
	Хипотеза <math>H_0</math> се не одбацује.		Хипотеза <math>H_0</math> се не одбацује.

	[[Категорија:~~Вероватноћа_и_статистика~~]]		[[Категорија:Вероватноћа и статистика]]
	[[Категорија:Рокови]]		[[Категорија:Рокови]]

KockaAdmiralac: Valjda se podrazumeva ili nešto

2021-12-12T20:20:13Z

Valjda se podrazumeva ili nešto

← Старија измена		Верзија на датум 12. децембар 2021. у 22:20
Ред 1:		Ред 1:
	{{tocright}}		{{tocright}}
	== ~~Испитни део -~~ Статистика ==		== Статистика ==
	=== 1. задатак ===		=== 1. задатак ===
	==== Поставка ====		==== Поставка ====

Fedja: -previse zatvorenih zagrada

2021-06-20T13:31:33Z

-previse zatvorenih zagrada

← Старија измена		Верзија на датум 20. јун 2021. у 15:31
Ред 10:		Ред 10:
	=== 2. задатак ===		=== 2. задатак ===
	==== Поставка ====		==== Поставка ====
	Нека случајна променљива <math>X</math> има расподелу <math>Bin(100, p)</math>) са вероватноћом успеха <math>p</math>, <math>0 < p < 1</math>. На основу узорка 34, 28, 47, 38, 53 броја реализованих успеха наћи оцену непознатог параметра <math>p</math> користећи метод максималне веродостојности.		Нека случајна променљива <math>X</math> има расподелу <math>Bin(100, p)</math> са вероватноћом успеха <math>p</math>, <math>0 < p < 1</math>. На основу узорка 34, 28, 47, 38, 53 броја реализованих успеха наћи оцену непознатог параметра <math>p</math> користећи метод максималне веродостојности.

	==== Решење ====		==== Решење ====
	<math>\frac{2}{5}</math>		<math>\frac{2}{5}</math>

Fedja: +inlinovanje latexa

2021-06-20T13:29:03Z

+inlinovanje latexa

← Старија измена		Верзија на датум 20. јун 2021. у 15:29
Ред 18:		Ред 18:
	# Дати дефиницију карактеристичне функције случајне променљиве <math>X</math>.		# Дати дефиницију карактеристичне функције случајне променљиве <math>X</math>.
	# Дати исказ теореме која описује особину карактеристичне функције збира две случајне променљиве.		# Дати исказ теореме која описује особину карактеристичне функције збира две случајне променљиве.
	# Нека су <math>X</math> и <math>Y</math> независне случајне променљиве, где <math>X</math> има <math>Unif(0, 1)</math> расподелу, а <math>Y</math> је дата законом расподеле		# Нека су <math>X</math> и <math>Y</math> независне случајне променљиве, где <math>X</math> има <math>Unif(0, 1)</math> расподелу, а <math>Y</math> је дата законом расподеле <math inline>Y : \left(\begin{array}{ll}
	<math>Y : \left(\begin{array}{ll}
	1 & 2 \\		1 & 2 \\
	0.5 & 0.5 \\		0.5 & 0.5 \\

KockaAdmiralac: tocright

2021-06-20T13:23:26Z

tocright

← Старија измена		Верзија на датум 20. јун 2021. у 15:23
Ред 1:		Ред 1:
			{{tocright}}
	== Испитни део - Статистика ==		== Испитни део - Статистика ==
	=== 1. задатак ===		=== 1. задатак ===

Fedja: formatiranje, latex i typoi

2021-06-20T13:22:54Z

formatiranje, latex i typoi

← Старија измена		Верзија на датум 20. јун 2021. у 15:22
Ред 2:		Ред 2:
	=== 1. задатак ===		=== 1. задатак ===
	==== Поставка ====		==== Поставка ====
	Нека су Х и Y независне случајне променљиве са <math>Unif(0, 1)</math> расподелом и нека важи за случајне променљиве U и V важи U = 2X + 4Y, V = X - Y. Одредити коефицијент корелације за <math>\rho (U, V)</math>.		Нека су <math>X</math> и <math>Y</math> независне случајне променљиве са <math>Unif(0, 1)</math> расподелом и нека важи за случајне променљиве <math>U</math> и <math>V</math> важи <math>U = 2X + 4Y</math>, <math>V = X - Y</math>. Одредити коефицијент корелације за <math>\rho (U, V)</math>.

	==== Решење ====		==== Решење ====
Ред 9:		Ред 9:
	=== 2. задатак ===		=== 2. задатак ===
	==== Поставка ====		==== Поставка ====
	Нека случајна променљива Х има расподелу <math>Bin(100, p)</math>) са вероватноћом успеха p, 0 < p < 1. На основу узорка 34, 28, 47, 38, 53 броја реализованих успеха наћи оцену непознатог параметра p користећи метод максималне ~~веродостпојности~~.		Нека случајна променљива <math>X</math> има расподелу <math>Bin(100, p)</math>) са вероватноћом успеха <math>p</math>, <math>0 < p < 1</math>. На основу узорка 34, 28, 47, 38, 53 броја реализованих успеха наћи оцену непознатог параметра <math>p</math> користећи метод максималне веродостојности.
	==== Решење ====		==== Решење ====
	<math>\frac{2}{5}</math>		<math>\frac{2}{5}</math>
Ред 15:		Ред 15:
	=== 3. задатак ===		=== 3. задатак ===
	==== Поставка ====		==== Поставка ====
	1) Дати дефиницију карактеристичне функције случајне променљиве Х.		# Дати дефиницију карактеристичне функције случајне променљиве <math>X</math>.
			# Дати исказ теореме која описује особину карактеристичне функције збира две случајне променљиве.
	2) Дати исказ теореме која описује особину карактеристичне функције збира две случајне променљиве.		# Нека су <math>X</math> и <math>Y</math> независне случајне променљиве, где <math>X</math> има <math>Unif(0, 1)</math> расподелу, а <math>Y</math> је дата законом расподеле

	3) Нека су Х и Y независне случајне променљиве, где Х има <math>Unif(0, 1)</math> расподелу, а Y је дата законом расподеле
	<math>Y : \left(\begin{array}{ll}		<math>Y : \left(\begin{array}{ll}
	1 & 2 \\		1 & 2 \\
	0.5 & 0.5 \\		0.5 & 0.5 \\
	\end{array}\right)</math>. Доказати да случајна променљива Z = X + Y има <math>Unif(1, 3)</math> расподелу.		\end{array}\right)</math>. Доказати да случајна променљива <math>Z = X + Y</math> има <math>Unif(1, 3)</math> расподелу.

	=== 4. задатак ===		=== 4. задатак ===
	==== Поставка ====		==== Поставка ====
	Број студената на предавањима је случајна променљива са <math>Poiss(36)</math> расподелом.		Број студената на предавањима је случајна променљива са <math>Poiss(36)</math> расподелом.
	1) Колико треба да има места у учионици да би са вероватноћом бар 99% сви присутни студенти могли да седе?		# Колико треба да има места у учионици да би са вероватноћом бар 99% сви присутни студенти могли да седе?
			# Која апроксимација је коришћена под 1)? Објаснити како се дошло до те апроксимације.
	2) Која апроксимација је коришћена под 1)? Објаснити како се дошло до те ~~апроскимације~~.
	==== Решење ====		==== Решење ====
	Минималан број места је 50. Коришћена је апроксимација Пуасонове расподеле нормалном <math>N(36, 36)</math> расподелом.		Минималан број места је 50. Коришћена је апроксимација Пуасонове расподеле нормалном <math>N(36, 36)</math> расподелом.
Ред 36:		Ред 33:
	=== 5. задатак ===		=== 5. задатак ===
	==== Поставка ====		==== Поставка ====
	На основу узорка обима 121 из <math>N(\mu, \sigma^2)</math> расподеле добијено је <math>\hat{\mu} = 1.2</math> и <math>s^2 = 2.25</math>. ~~Тестираати~~ хипотезу <math>H_0: \mu = 1</math> против алтернативне хипотезе <math>H_1: \mu > 1</math> са нивоом значајности 0.05. Објаснити поступак.		На основу узорка обима 121 из <math>N(\mu, \sigma^2)</math> расподеле добијено је <math>\hat{\mu} = 1.2</math> и <math>s^2 = 2.25</math>. Тестирати хипотезу <math>H_0: \mu = 1</math> против алтернативне хипотезе <math>H_1: \mu > 1</math> са нивоом значајности 0.05. Објаснити поступак.

	==== Решење ====		==== Решење ====
	Хипотеза <math>H_0</math> се не одбацује.		Хипотеза <math>H_0</math> се не одбацује.

	[[Категорија:Вероватноћа_и_статистика]]		[[Категорија:Вероватноћа_и_статистика]]
	[[Категорија:Рокови]]		[[Категорија:Рокови]]

WikiEditor: /* sad je oki */

2021-06-20T13:12:51Z

sad je oki

← Старија измена		Верзија на датум 20. јун 2021. у 15:12
Ред 19:		Ред 19:
	2) Дати исказ теореме која описује особину карактеристичне функције збира две случајне променљиве.		2) Дати исказ теореме која описује особину карактеристичне функције збира две случајне променљиве.

	3) Нека су Х и Y независне случајне променљиве, где Х има <math>Unif(0, 1)</math> расподелу, а Y је дата са законом расподеле		3) Нека су Х и Y независне случајне променљиве, где Х има <math>Unif(0, 1)</math> расподелу, а Y је дата законом расподеле
	<math>X : \left(\begin{array}{ll}		<math>Y : \left(\begin{array}{ll}
	1 & 2 \\		1 & 2 \\
	0.5 & 0.5 \\		0.5 & 0.5 \\
	\end{array}\right)</math> ~~(0.5, 2 0.5)~~. Доказати да случајна променљива Z = X + Y има <math>Unif(1, 3)</math> расподелу.		\end{array}\right)</math>. Доказати да случајна променљива Z = X + Y има <math>Unif(1, 3)</math> расподелу.

	=== 4. задатак ===		=== 4. задатак ===

Fedja: +ime promenljive

2021-06-20T13:11:52Z

+ime promenljive

← Старија измена		Верзија на датум 20. јун 2021. у 15:11
Ред 20:		Ред 20:

	3) Нека су Х и Y независне случајне променљиве, где Х има <math>Unif(0, 1)</math> расподелу, а Y је дата са законом расподеле		3) Нека су Х и Y независне случајне променљиве, где Х има <math>Unif(0, 1)</math> расподелу, а Y је дата са законом расподеле
	<math>\left(\begin{array}{ll}		<math>X : \left(\begin{array}{ll}
	1 & 2 \\		1 & 2 \\
	0.5 & 0.5 \\		0.5 & 0.5 \\

KockaAdmiralac: Možda ne postoji tabular ali

2021-06-20T13:11:12Z

Možda ne postoji tabular ali

← Старија измена		Верзија на датум 20. јун 2021. у 15:11
Ред 20:		Ред 20:

	3) Нека су Х и Y независне случајне променљиве, где Х има <math>Unif(0, 1)</math> расподелу, а Y је дата са законом расподеле		3) Нека су Х и Y независне случајне променљиве, где Х има <math>Unif(0, 1)</math> расподелу, а Y је дата са законом расподеле
	<math> \left \( \begin{~~tabular~~}{~~ccc~~} 1 & 2 \\ 0.5 & 0.5 \\ \end{~~tabular~~} \right \) </math> (0.5, 2 0.5). Доказати да случајна променљива Z = X + Y има <math>Unif(1, 3)</math> расподелу.		<math>\left(\begin{array}{ll}
			1 & 2 \\
			0.5 & 0.5 \\
			\end{array}\right)</math> (0.5, 2 0.5). Доказати да случајна променљива Z = X + Y има <math>Unif(1, 3)</math> расподелу.

	=== 4. задатак ===		=== 4. задатак ===