https://siwiki.rs/w/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Bambula
SI Wiki - Кориснички доприноси [sr]
2026-06-04T01:08:09Z
Кориснички доприноси
MediaWiki 1.39.8
https://siwiki.rs/w/index.php?title=%D0%98%D0%95%D0%9F/%D0%9A2_2024&diff=8375
ИЕП/К2 2024
2026-05-23T14:00:07Z
<p>Bambula: /* Решење */</p>
<hr />
<div>{{tocright}}<br />
{{нерешено}}<br />
'''Други колоквијум 2024. године''' одржан је 21. априла. На колоквијуму су били доступни ''Spark'' документација, презентација са предавања, виртуелна машина коришћена на предавању и два текстуална фајла као примери уноса (без очекиваног исписа или примера параметара).<br />
<br />
== Поставка ==<br />
Посматра се евиденција о редитељима и сценаристима ангажованим на неком филму. У једном реду се налазе: идентификатор филма, листа идентификатора редитеља, листа идентификатора сценариста.<br />
Подаци о особама су дати у облику:<br />
tconst (string) directors (array of nconsts) writers (array of nconsts)<br />
<div class="abc-list"><br />
# У програмском језику Јава саставити МаpReduce програм користећи Spark који враћа статистичке податке о филмовима: минималан број редитеља, максималан број редитеља, и просечан број редитеља по филму, за филмове који имају барем једну особу која je на датом филму и сценариста и редитељ. Резултат je jедан ред укупно. Водити рачуна о конкурентности.<br />
# У програмском језику Јава саставити МаpReduce програм користећи Spark који враћа статистичке податке за све особе које су на филмовима истовремено биле и редитељи и сценаристи: минималан број филмова, максималан број филмова, и просечан број филмова за филмове на којима je дата особа била и редитељ и сценариста, за редитеље који имају барем N унетих филмова (N параметар који се прослеђује рачунарима који раде обраду) на којима нису нужно били и сценаристи. Резултат je један ред укупно. Водити рачуна о конкурентности.<br />
</div><br />
Одговор<sup>[sic]</sup> се предају у виду два<sup>[sic]</sup> јава датотека (<code>FilmoviProsek.java</code> и <code>OsobeProsek.java</code>).<br />
<br />
За тестирање су били доступни исти фајлови као и са часова предавања, који се могу наћи у тиму предмета.<br />
<br />
[[Категорија:ИЕП]]<br />
[[Категорија:Рокови]]<br />
== Решење(1) ==<br />
<syntaxhighlight lang="java"><br />
int[]r=sc.textFile(fileName)<br />
.filter(line->{<br />
String[]p=line.split("\t");<br />
if (p.length < 3 || p[1].equals("\\N") || p[2].equals("\\N")) return false;<br />
<br />
Set<String>redite=newHashSet<(Arrays.asList(p[1].split(",")));<br />
for(String s:p[2].split(",")) {<br />
if(reditelji.contains(s))return true;<br />
}<br />
return false;<br />
})<br />
.map(line->{<br />
int n=line.split("t")[1].split(",").length;<br />
return new int[] {n,n,n,1};<br />
})<br />
.reduce((a,b)->new int[] {<br />
Math.min(a[0], b[0]),<br />
Math.max(a[1], b[1]),<br />
a[2]+b[2],<br />
a[3]+b[3]<br />
});<br />
System.out.println("Min: " + r[0] + ", Max: " + r[1] + ", Avg: " + (r[2] * 1.0 / r[3]));<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
== Решење(2) ==<br />
<br />
<syntaxhighlight lang="java"> <br />
int[]r=sc.textFile(fileName)<br />
.flatMapToPair(line->{<br />
List<Tuple2<String,int[]>>out=new LinkedList<>();<br />
String[]p=line.split("\t");<br />
if (p.length < 3 || p[1].equals("\\N")) return out.iterator();<br />
<br />
String[]reditelji=p[1].split(",");<br />
Set<String> scenaristi = p[2].equals("\\N") <br />
? new HashSet<>() <br />
: new HashSet<>(Arrays.asList(p[2].split(",")));<br />
for(String red:reditelji) {<br />
if(scenaristi.contains(red)) {<br />
out.add(new Tuple2<>(red,new int[]{1,1}));<br />
}<br />
else {<br />
out.add(new Tuple2<>(red,new int[]{1,0}));<br />
}<br />
}<br />
return out.iterator();<br />
})<br />
.reduceByKey((a,b)->new int[]{<br />
a[0]+b[0],<br />
a[1]+b[1]<br />
})<br />
.filter(t->t._2[0]>=N&&t._2[1]>=1)<br />
.map(t->{<br />
int b=t._2[1];<br />
return new int[]{b,b,b,1};<br />
})<br />
.reduce((a, b) -> new int[]{<br />
Math.min(a[0], b[0]),<br />
Math.max(a[1], b[1]),<br />
a[2] + b[2],<br />
a[3] + b[3]<br />
});<br />
<br />
System.out.println("Min: " + r[0] + ", Max: " + r[1] + ", Avg: " + (r[2] * 1.0 / r[3]));<br />
</syntaxhighlight></div>
Bambula
https://siwiki.rs/w/index.php?title=%D0%98%D0%95%D0%9F/%D0%9A2_2024&diff=8374
ИЕП/К2 2024
2026-05-23T13:59:25Z
<p>Bambula: /* Решење */</p>
<hr />
<div>{{tocright}}<br />
{{нерешено}}<br />
'''Други колоквијум 2024. године''' одржан је 21. априла. На колоквијуму су били доступни ''Spark'' документација, презентација са предавања, виртуелна машина коришћена на предавању и два текстуална фајла као примери уноса (без очекиваног исписа или примера параметара).<br />
<br />
== Поставка ==<br />
Посматра се евиденција о редитељима и сценаристима ангажованим на неком филму. У једном реду се налазе: идентификатор филма, листа идентификатора редитеља, листа идентификатора сценариста.<br />
Подаци о особама су дати у облику:<br />
tconst (string) directors (array of nconsts) writers (array of nconsts)<br />
<div class="abc-list"><br />
# У програмском језику Јава саставити МаpReduce програм користећи Spark који враћа статистичке податке о филмовима: минималан број редитеља, максималан број редитеља, и просечан број редитеља по филму, за филмове који имају барем једну особу која je на датом филму и сценариста и редитељ. Резултат je jедан ред укупно. Водити рачуна о конкурентности.<br />
# У програмском језику Јава саставити МаpReduce програм користећи Spark који враћа статистичке податке за све особе које су на филмовима истовремено биле и редитељи и сценаристи: минималан број филмова, максималан број филмова, и просечан број филмова за филмове на којима je дата особа била и редитељ и сценариста, за редитеље који имају барем N унетих филмова (N параметар који се прослеђује рачунарима који раде обраду) на којима нису нужно били и сценаристи. Резултат je један ред укупно. Водити рачуна о конкурентности.<br />
</div><br />
Одговор<sup>[sic]</sup> се предају у виду два<sup>[sic]</sup> јава датотека (<code>FilmoviProsek.java</code> и <code>OsobeProsek.java</code>).<br />
<br />
За тестирање су били доступни исти фајлови као и са часова предавања, који се могу наћи у тиму предмета.<br />
<br />
[[Категорија:ИЕП]]<br />
[[Категорија:Рокови]]<br />
== Решење ==<br />
<syntaxhighlight lang="java"><br />
int[]r=sc.textFile(fileName)<br />
.filter(line->{<br />
String[]p=line.split("\t");<br />
if (p.length < 3 || p[1].equals("\\N") || p[2].equals("\\N")) return false;<br />
<br />
Set<String>redite=newHashSet<(Arrays.asList(p[1].split(",")));<br />
for(String s:p[2].split(",")) {<br />
if(reditelji.contains(s))return true;<br />
}<br />
return false;<br />
})<br />
.map(line->{<br />
int n=line.split("t")[1].split(",").length;<br />
return new int[] {n,n,n,1};<br />
})<br />
.reduce((a,b)->new int[] {<br />
Math.min(a[0], b[0]),<br />
Math.max(a[1], b[1]),<br />
a[2]+b[2],<br />
a[3]+b[3]<br />
});<br />
System.out.println("Min: " + r[0] + ", Max: " + r[1] + ", Avg: " + (r[2] * 1.0 / r[3]));<br />
</syntaxhighlight></div>
Bambula
https://siwiki.rs/w/index.php?title=%D0%98%D0%95%D0%9F/%D0%9A2_2024&diff=8373
ИЕП/К2 2024
2026-05-23T13:59:17Z
<p>Bambula: /* Решење */</p>
<hr />
<div>{{tocright}}<br />
{{нерешено}}<br />
'''Други колоквијум 2024. године''' одржан је 21. априла. На колоквијуму су били доступни ''Spark'' документација, презентација са предавања, виртуелна машина коришћена на предавању и два текстуална фајла као примери уноса (без очекиваног исписа или примера параметара).<br />
<br />
== Поставка ==<br />
Посматра се евиденција о редитељима и сценаристима ангажованим на неком филму. У једном реду се налазе: идентификатор филма, листа идентификатора редитеља, листа идентификатора сценариста.<br />
Подаци о особама су дати у облику:<br />
tconst (string) directors (array of nconsts) writers (array of nconsts)<br />
<div class="abc-list"><br />
# У програмском језику Јава саставити МаpReduce програм користећи Spark који враћа статистичке податке о филмовима: минималан број редитеља, максималан број редитеља, и просечан број редитеља по филму, за филмове који имају барем једну особу која je на датом филму и сценариста и редитељ. Резултат je jедан ред укупно. Водити рачуна о конкурентности.<br />
# У програмском језику Јава саставити МаpReduce програм користећи Spark који враћа статистичке податке за све особе које су на филмовима истовремено биле и редитељи и сценаристи: минималан број филмова, максималан број филмова, и просечан број филмова за филмове на којима je дата особа била и редитељ и сценариста, за редитеље који имају барем N унетих филмова (N параметар који се прослеђује рачунарима који раде обраду) на којима нису нужно били и сценаристи. Резултат je један ред укупно. Водити рачуна о конкурентности.<br />
</div><br />
Одговор<sup>[sic]</sup> се предају у виду два<sup>[sic]</sup> јава датотека (<code>FilmoviProsek.java</code> и <code>OsobeProsek.java</code>).<br />
<br />
За тестирање су били доступни исти фајлови као и са часова предавања, који се могу наћи у тиму предмета.<br />
<br />
[[Категорија:ИЕП]]<br />
[[Категорија:Рокови]]<br />
== Решење ==<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
int[]r=sc.textFile(fileName)<br />
.filter(line->{<br />
String[]p=line.split("\t");<br />
if (p.length < 3 || p[1].equals("\\N") || p[2].equals("\\N")) return false;<br />
<br />
Set<String>redite=newHashSet<(Arrays.asList(p[1].split(",")));<br />
for(String s:p[2].split(",")) {<br />
if(reditelji.contains(s))return true;<br />
}<br />
return false;<br />
})<br />
.map(line->{<br />
int n=line.split("t")[1].split(",").length;<br />
return new int[] {n,n,n,1};<br />
})<br />
.reduce((a,b)->new int[] {<br />
Math.min(a[0], b[0]),<br />
Math.max(a[1], b[1]),<br />
a[2]+b[2],<br />
a[3]+b[3]<br />
});<br />
System.out.println("Min: " + r[0] + ", Max: " + r[1] + ", Avg: " + (r[2] * 1.0 / r[3]));<br />
</syntaxhighlight></div>
Bambula
https://siwiki.rs/w/index.php?title=%D0%98%D0%95%D0%9F/%D0%9A2_2024&diff=8372
ИЕП/К2 2024
2026-05-23T13:58:21Z
<p>Bambula: /* Решење */</p>
<hr />
<div>{{tocright}}<br />
{{нерешено}}<br />
'''Други колоквијум 2024. године''' одржан је 21. априла. На колоквијуму су били доступни ''Spark'' документација, презентација са предавања, виртуелна машина коришћена на предавању и два текстуална фајла као примери уноса (без очекиваног исписа или примера параметара).<br />
<br />
== Поставка ==<br />
Посматра се евиденција о редитељима и сценаристима ангажованим на неком филму. У једном реду се налазе: идентификатор филма, листа идентификатора редитеља, листа идентификатора сценариста.<br />
Подаци о особама су дати у облику:<br />
tconst (string) directors (array of nconsts) writers (array of nconsts)<br />
<div class="abc-list"><br />
# У програмском језику Јава саставити МаpReduce програм користећи Spark који враћа статистичке податке о филмовима: минималан број редитеља, максималан број редитеља, и просечан број редитеља по филму, за филмове који имају барем једну особу која je на датом филму и сценариста и редитељ. Резултат je jедан ред укупно. Водити рачуна о конкурентности.<br />
# У програмском језику Јава саставити МаpReduce програм користећи Spark који враћа статистичке податке за све особе које су на филмовима истовремено биле и редитељи и сценаристи: минималан број филмова, максималан број филмова, и просечан број филмова за филмове на којима je дата особа била и редитељ и сценариста, за редитеље који имају барем N унетих филмова (N параметар који се прослеђује рачунарима који раде обраду) на којима нису нужно били и сценаристи. Резултат je један ред укупно. Водити рачуна о конкурентности.<br />
</div><br />
Одговор<sup>[sic]</sup> се предају у виду два<sup>[sic]</sup> јава датотека (<code>FilmoviProsek.java</code> и <code>OsobeProsek.java</code>).<br />
<br />
За тестирање су били доступни исти фајлови као и са часова предавања, који се могу наћи у тиму предмета.<br />
<br />
[[Категорија:ИЕП]]<br />
[[Категорија:Рокови]]<br />
== Решење ==<br />
int[]r=sc.textFile(fileName)<br />
.filter(line->{<br />
String[]p=line.split("\t");<br />
if (p.length < 3 || p[1].equals("\\N") || p[2].equals("\\N")) return false;<br />
<br />
Set<String>redite=newHashSet<(Arrays.asList(p[1].split(",")));<br />
for(String s:p[2].split(",")) {<br />
if(reditelji.contains(s))return true;<br />
}<br />
return false;<br />
})<br />
.map(line->{<br />
int n=line.split("t")[1].split(",").length;<br />
return new int[] {n,n,n,1};<br />
})<br />
.reduce((a,b)->new int[] {<br />
Math.min(a[0], b[0]),<br />
Math.max(a[1], b[1]),<br />
a[2]+b[2],<br />
a[3]+b[3]<br />
});<br />
System.out.println("Min: " + r[0] + ", Max: " + r[1] + ", Avg: " + (r[2] * 1.0 / r[3]));</div>
Bambula
https://siwiki.rs/w/index.php?title=%D0%98%D0%95%D0%9F/%D0%9A2_2024&diff=8371
ИЕП/К2 2024
2026-05-23T13:58:11Z
<p>Bambula: /* Решење */</p>
<hr />
<div>{{tocright}}<br />
{{нерешено}}<br />
'''Други колоквијум 2024. године''' одржан је 21. априла. На колоквијуму су били доступни ''Spark'' документација, презентација са предавања, виртуелна машина коришћена на предавању и два текстуална фајла као примери уноса (без очекиваног исписа или примера параметара).<br />
<br />
== Поставка ==<br />
Посматра се евиденција о редитељима и сценаристима ангажованим на неком филму. У једном реду се налазе: идентификатор филма, листа идентификатора редитеља, листа идентификатора сценариста.<br />
Подаци о особама су дати у облику:<br />
tconst (string) directors (array of nconsts) writers (array of nconsts)<br />
<div class="abc-list"><br />
# У програмском језику Јава саставити МаpReduce програм користећи Spark који враћа статистичке податке о филмовима: минималан број редитеља, максималан број редитеља, и просечан број редитеља по филму, за филмове који имају барем једну особу која je на датом филму и сценариста и редитељ. Резултат je jедан ред укупно. Водити рачуна о конкурентности.<br />
# У програмском језику Јава саставити МаpReduce програм користећи Spark који враћа статистичке податке за све особе које су на филмовима истовремено биле и редитељи и сценаристи: минималан број филмова, максималан број филмова, и просечан број филмова за филмове на којима je дата особа била и редитељ и сценариста, за редитеље који имају барем N унетих филмова (N параметар који се прослеђује рачунарима који раде обраду) на којима нису нужно били и сценаристи. Резултат je један ред укупно. Водити рачуна о конкурентности.<br />
</div><br />
Одговор<sup>[sic]</sup> се предају у виду два<sup>[sic]</sup> јава датотека (<code>FilmoviProsek.java</code> и <code>OsobeProsek.java</code>).<br />
<br />
За тестирање су били доступни исти фајлови као и са часова предавања, који се могу наћи у тиму предмета.<br />
<br />
[[Категорија:ИЕП]]<br />
[[Категорија:Рокови]]<br />
== Решење ==<br />
<code><br />
int[]r=sc.textFile(fileName)<br />
.filter(line->{<br />
String[]p=line.split("\t");<br />
if (p.length < 3 || p[1].equals("\\N") || p[2].equals("\\N")) return false;<br />
<br />
Set<String>redite=newHashSet<(Arrays.asList(p[1].split(",")));<br />
for(String s:p[2].split(",")) {<br />
if(reditelji.contains(s))return true;<br />
}<br />
return false;<br />
})<br />
.map(line->{<br />
int n=line.split("t")[1].split(",").length;<br />
return new int[] {n,n,n,1};<br />
})<br />
.reduce((a,b)->new int[] {<br />
Math.min(a[0], b[0]),<br />
Math.max(a[1], b[1]),<br />
a[2]+b[2],<br />
a[3]+b[3]<br />
});<br />
System.out.println("Min: " + r[0] + ", Max: " + r[1] + ", Avg: " + (r[2] * 1.0 / r[3]));<br />
</code></div>
Bambula
https://siwiki.rs/w/index.php?title=%D0%98%D0%95%D0%9F/%D0%9A2_2024&diff=8370
ИЕП/К2 2024
2026-05-23T13:39:40Z
<p>Bambula: /* Resenje*/</p>
<hr />
<div>{{tocright}}<br />
{{нерешено}}<br />
'''Други колоквијум 2024. године''' одржан је 21. априла. На колоквијуму су били доступни ''Spark'' документација, презентација са предавања, виртуелна машина коришћена на предавању и два текстуална фајла као примери уноса (без очекиваног исписа или примера параметара).<br />
<br />
== Поставка ==<br />
Посматра се евиденција о редитељима и сценаристима ангажованим на неком филму. У једном реду се налазе: идентификатор филма, листа идентификатора редитеља, листа идентификатора сценариста.<br />
Подаци о особама су дати у облику:<br />
tconst (string) directors (array of nconsts) writers (array of nconsts)<br />
<div class="abc-list"><br />
# У програмском језику Јава саставити МаpReduce програм користећи Spark који враћа статистичке податке о филмовима: минималан број редитеља, максималан број редитеља, и просечан број редитеља по филму, за филмове који имају барем једну особу која je на датом филму и сценариста и редитељ. Резултат je jедан ред укупно. Водити рачуна о конкурентности.<br />
# У програмском језику Јава саставити МаpReduce програм користећи Spark који враћа статистичке податке за све особе које су на филмовима истовремено биле и редитељи и сценаристи: минималан број филмова, максималан број филмова, и просечан број филмова за филмове на којима je дата особа била и редитељ и сценариста, за редитеље који имају барем N унетих филмова (N параметар који се прослеђује рачунарима који раде обраду) на којима нису нужно били и сценаристи. Резултат je један ред укупно. Водити рачуна о конкурентности.<br />
</div><br />
Одговор<sup>[sic]</sup> се предају у виду два<sup>[sic]</sup> јава датотека (<code>FilmoviProsek.java</code> и <code>OsobeProsek.java</code>).<br />
<br />
За тестирање су били доступни исти фајлови као и са часова предавања, који се могу наћи у тиму предмета.<br />
<br />
[[Категорија:ИЕП]]<br />
[[Категорија:Рокови]]<br />
== Решење ==<br />
<br />
int[]r=sc.textFile(fileName)<br />
.filter(line->{<br />
String[]p=line.split("\t");<br />
if (p.length < 3 || p[1].equals("\\N") || p[2].equals("\\N")) return false;<br />
<br />
Set<String>redite=newHashSet<(Arrays.asList(p[1].split(",")));<br />
for(String s:p[2].split(",")) {<br />
if(reditelji.contains(s))return true;<br />
}<br />
return false;<br />
})<br />
.map(line->{<br />
int n=line.split("t")[1].split(",").length;<br />
return new int[] {n,n,n,1};<br />
})<br />
.reduce((a,b)->new int[] {<br />
Math.min(a[0], b[0]),<br />
Math.max(a[1], b[1]),<br />
a[2]+b[2],<br />
a[3]+b[3]<br />
});<br />
System.out.println("Min: " + r[0] + ", Max: " + r[1] + ", Avg: " + (r[2] * 1.0 / r[3]));</div>
Bambula
https://siwiki.rs/w/index.php?title=%D0%98%D0%95%D0%9F/%D0%9A2_%D0%A1%D0%B5%D0%BF%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B1%D0%B0%D1%80_1_2025&diff=8369
ИЕП/К2 Септембар 1 2025
2026-05-23T13:33:44Z
<p>Bambula: /* Решење */</p>
<hr />
<div>{{tocright}}<br />
{{нерешено}}<br />
'''Други колоквијум у року септембар 1 2025''' одржан је 11. септембра. На колоквијуму су били доступни ''Spark'' документација, презентација са предавања, виртуелна машина коришћена на предавању и два текстуална фајла као примери уноса (без очекиваног исписа или примера параметара). Трајао је 60 минута.<br />
<br />
== Поставка ==<br />
Посматра се евиденција о особама ангажованим на филмовима. Подаци о особама су дати у облику:<br />
''nconst (string), primaryName, birthYear, deathYear, primaryProfession (array of strings), knownForTitles (array of tconsts)''<br />
* У програмском језику Јава саставити Map/Reduce програм користећи Spark који враћа податке о филму по коме је највише особа познато. Ако има више филмова са тим максималним бројем вратити податке за све те филмове. Подаци о филму треба да садрже шифру филма (''tconsts'') и низ особа које су познате по том филму (''array of nconst''). Водити рачуна о конкурентности.<br />
<br />
Одговор се предаје у виду два Јава датотеке (''FilmsMaxKnownFor.java'').<br />
<br />
== Решење ==<br />
<br />
[[Категорија:ИЕП]]<br />
[[Категорија:Рокови]]<br />
JavaPairRDD<String,List<String>>filmOsobe=sc.textFile(fileName)<br />
.flatMapToPair(line->{<br />
List<Tuple2<String,List<String>>>out=new LinkedList<>();<br />
String[]p=line.split("\t");<br />
if (p.length < 6 || p[5].equals("\\N")) return out.iterator();<br />
<br />
String osoba=p[0];<br />
String[]filmovi=p[5].split(",");<br />
for(String film:filmovi) {<br />
List<String>jedna=new ArrayList<>();<br />
jedna.add(osoba);<br />
out.add(new Tuple2<>(film,jedna));<br />
}<br />
return out.iterator();<br />
})<br />
.reduceByKey((a,b)->{<br />
List<String>spojeno=new ArrayList<>(a);<br />
spojeno.addAll(b);<br />
return spojeno;<br />
})<br />
.cache();<br />
<br />
int max=filmOsobe.map(t->t._2.size()).reduce(Math::max);<br />
<br />
List<Tuple2<String,List<String>>>rezultat=filmOsobe<br />
.filter(t->t._2.size()==max)<br />
.collect();<br />
System.out.println("Max broj osoba: " + max);<br />
for (Tuple2<String, List<String>> film : rezultat) {<br />
System.out.println("Film: " + film._1 + " | Osobe: " + film._2);<br />
}</div>
Bambula
https://siwiki.rs/w/index.php?title=%D0%9E%D0%A11/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B5_%D0%BE%D0%BA%D1%82%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D1%80_2025&diff=8323
ОС1/Модификације октобар 2025
2026-03-10T14:03:04Z
<p>Bambula: /* Modifikacija: joinAll */</p>
<hr />
<div>== Modifikacija: joinAll (30p) ==<br />
<br />
Doodati sistemske pozive <code>thread_add_child</code> i <code>thread_join_all</code>.<br />
<code>thread_add_child</code> registruje dete-nit za tekuću (pozivajuću) nit.<br />
<code>thread_join_all</code> blokira tekuću nit dok se sva njena deca ne izvrše.<br />
U okviru C++ API dodati nestatičke metode <code>addChild(Thread* child)</code> i <code>joinAll()</code> u klasu <code>Thread</code>.<br />
Napisati test program: nit A pravi 3×B i 1×C, svaki B pravi 3×C. Roditelj čeka svu svoju decu pre nego što nastavi.<br />
<br />
=== Rešenje ===<br />
<br />
==== TCB.hpp ====<br />
Dodato na vrhu fajla (forward declaration):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
class Semaphore;<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Nova polja u <code>private</code> sekciji:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
TCB* parent; // pokazivač na roditelja (nullptr ako nema)<br />
int childCount; // broj nezavršene dece<br />
Semaphore* childrenSem; // semafor na koji roditelj čeka u joinAll<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Nove metode u <code>public</code> sekciji:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
static void addChild(TCB* parent, TCB* child);<br />
static void joinAllChildren();<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== TCB.cpp ====<br />
Dodat include na vrhu:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
#include "../h/Semaphore.hpp"<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
U konstruktoru, inicijalizacija novih polja (posle <code>this->finished = false;</code>):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
this->parent = nullptr;<br />
this->childCount = 0;<br />
this->childrenSem = nullptr;<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Izmenjen <code>dispatch()</code> — else grana proširena da obavesti roditelja kad dete završi:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void TCB::dispatch() {<br />
TCB *old = running;<br />
if (!old->isFinished()) {<br />
Scheduler::put(old);<br />
} else {<br />
if (old->parent != nullptr) {<br />
old->parent->childCount--;<br />
if (old->parent->childCount == 0 && old->parent->childrenSem != nullptr) {<br />
old->parent->childrenSem->sem_signal();<br />
}<br />
}<br />
}<br />
running = Scheduler::get();<br />
contextSwitch(&old->context, &running->context);<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Nove funkcije:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void TCB::addChild(TCB* parent, TCB* child) {<br />
child->parent = parent;<br />
parent->childCount++;<br />
if (parent->childrenSem == nullptr) {<br />
Semaphore::createSemaphore(&parent->childrenSem, 0);<br />
}<br />
}<br />
<br />
void TCB::joinAllChildren() {<br />
if (running->childCount <= 0) return;<br />
running->childrenSem->sem_wait();<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_c.hpp ====<br />
Dodate deklaracije:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void thread_add_child(thread_t child);<br />
void thread_join_all();<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_c.cpp ====<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void thread_add_child(thread_t child) {<br />
if (child == nullptr) return;<br />
do_syscall(0x16, (uint64)child);<br />
}<br />
<br />
void thread_join_all() {<br />
do_syscall(0x17);<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== RISCV.cpp (handleSupervisorTrap) ====<br />
Dodate nove case grane u switch (posle case 0x13 dispatch):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
case 0x16: {<br />
TCB *child = (TCB*)arg1;<br />
TCB::addChild(TCB::running, child);<br />
break;<br />
}<br />
case 0x17: {<br />
TCB::joinAllChildren();<br />
break;<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_cpp.hpp ====<br />
Dodate metode u klasu <code>Thread</code> (public sekcija):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void addChild(Thread* child);<br />
void joinAll();<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_cpp.cpp ====<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void Thread::addChild(Thread* child) {<br />
thread_add_child(child->getMyHandle());<br />
}<br />
<br />
void Thread::joinAll() {<br />
thread_join_all();<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== Test primer ====<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
#include "../h/syscall_cpp.hpp"<br />
#include "../h/syscall_c.hpp"<br />
#include "../h/printing.hpp"<br />
<br />
class ThreadC : public Thread {<br />
public:<br />
ThreadC(int id) : Thread(), id(id) {}<br />
private:<br />
int id;<br />
void run() override {<br />
printString(" C");<br />
printInt(id);<br />
printString(" started\n");<br />
<br />
volatile int sum = 0;<br />
for (int i = 0; i < 3000; i++)<br />
for (int j = 0; j < 3000; j++)<br />
sum += j;<br />
<br />
printString(" C");<br />
printInt(id);<br />
printString(" finished\n");<br />
}<br />
};<br />
<br />
class ThreadB : public Thread {<br />
public:<br />
ThreadB(int id) : Thread(), id(id) {}<br />
private:<br />
int id;<br />
void run() override {<br />
printString(" B");<br />
printInt(id);<br />
printString(" started, creating 3 C children\n");<br />
<br />
ThreadC* c[3];<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) {<br />
c[i] = new ThreadC(id * 10 + i);<br />
c[i]->start();<br />
this->addChild(c[i]);<br />
}<br />
<br />
printString(" B");<br />
printInt(id);<br />
printString(" waiting for children...\n");<br />
this->joinAll();<br />
<br />
printString(" B");<br />
printInt(id);<br />
printString(" all children done!\n");<br />
<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) delete c[i];<br />
}<br />
};<br />
<br />
void joinAllTest() {<br />
printString("A started, creating 3 B and 1 C\n");<br />
<br />
ThreadB* b[3];<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) {<br />
b[i] = new ThreadB(i);<br />
b[i]->start();<br />
thread_add_child(b[i]->getMyHandle());<br />
}<br />
<br />
ThreadC* c = new ThreadC(99);<br />
c->start();<br />
thread_add_child(c->getMyHandle());<br />
<br />
printString("A waiting for all children...\n");<br />
thread_join_all();<br />
<br />
printString("\n=== A: ALL children done! ===\n");<br />
<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) delete b[i];<br />
delete c;<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
'''Napomena:''' <code>start()</code> mora biti pozvan PRE <code>addChild()</code> jer <code>start()</code> interno poziva <code>thread_create()</code> koji postavlja <code>myHandle</code>. Bez toga, <code>getMyHandle()</code> vraća <code>nullptr</code>.<br />
<br />
==== Očekivan output ====<br />
<pre><br />
A started, creating 3 B and 1 C<br />
A waiting for all children...<br />
B0 started, creating 3 C children<br />
B0 waiting for children...<br />
B1 started, creating 3 C children<br />
B1 waiting for children...<br />
B2 started, creating 3 C children<br />
B2 waiting for children...<br />
C99 started<br />
C99 finished<br />
C0 started<br />
C0 finished<br />
C1 started<br />
C1 finished<br />
...svi C završe...<br />
B0 all children done!<br />
B1 all children done!<br />
B2 all children done!<br />
<br />
=== A: ALL children done! ===<br />
</pre><br />
<br />
==== Kako radi ====<br />
Svaki TCB ima polje <code>parent</code> (ko je roditelj) i <code>childCount</code> (koliko dece još radi). Roditelj se blokira na semaforu (<code>childrenSem</code>, inicijalno 0). Kad nit završi, u <code>dispatch()</code> se dekrementira <code>parent->childCount</code>. Tek kad poslednje dete spusti brojač na 0, poziva se <code>sem_signal()</code> koji deblokirara roditelja.</div>
Bambula
https://siwiki.rs/w/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%9B%D0%B0_%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0&diff=8322
Вероватноћа и статистика/Теорија
2026-03-10T11:58:10Z
<p>Bambula: /* Расподеле */</p>
<hr />
<div>{{tocright}}<br />
'''Теорија''' са предавања може, поред задатака, доћи на колоквијумима. Испод је излистана сажета теорија, без додатних примера, ради вежбања за колоквијум.<br />
<br />
== Увод ==<br />
=== Основни појмови ===<br />
* '''Статистички експеримент:'''<br />
** може да се понови више пута под истим условима<br />
** познати су нам сви могући исходи (нотација: <math>\omega</math>)<br />
** не знамо унапред шта ће се десити у конкретном експерименту<br />
** Скуп свих исхода (нотација: <math>\Omega</math>) може бити коначан (бацање новчића), бесконачан, а уколико је бесконачан може бити пребројив (бацање коцке док не падне 6) и непребројив (бирање реалног броја из интервала)<br />
* '''Догађај:''' подскуп <math>\Omega</math> (нотација: <math>A</math>, <math>B</math>, ...) <br />
** Догађај се реализује у експерименту ако се оствари у једном од исхода који су његови елементи.<br />
** Операције над догађајима:<br />
*** <math>A \cup B</math>: A или B<br />
*** <math>A \cdot B</math>: A и B (нотација за пресек се не користи)<br />
*** <math>A \setminus B</math>: A, али не B<br />
*** <math>A'</math>, <math>\overline{A}</math>, <math>A^C</math>: супротан догађај (<math>\Omega \setminus A</math>)<br />
<br />
=== Вероватноћа ===<br />
* '''Аксиоме вероватноће:''' Вероватноћа је функција <math>P</math> дефинисана над подскуповима неког скупа <math>\Omega</math> ако важи:<br />
*# <math>P(\Omega) = 1</math><br />
*# <math>\forall A \subset \Omega, P(A) \in [0, 1]</math><br />
*# <math>P(A_1 \cup A_2 \cup ...) = P(A_1) + P(A_2) + ...</math>, где су <math>A_1, A_2, ... \subset \Omega</math> који су међусобно искључиви и којих има коначно или пребројиво бесконачно<br />
* '''Статистичко одређивање вероватноће:''' изводимо експеримент <math>n</math> пута и региструјемо догађај <math>A</math>, тако да нам је <math>m(n)</math> број реализација догађаја <math>A</math>:<br />
** релативна фреквенција догађаја: <math>\frac{m(n)}{n}</math><br />
** <math>P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{m(n)}{n}</math><br />
* '''Модел једнаковероватности исхода:''' ако су сви исходи из скупа <math>\Omega</math> једнаковероватни а број чланова је <math>n</math>, онда се вероватноћа догађаја <math>A \subset \Omega</math> може одредити као количник броја повољних и свих исхода: <math>P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}</math><br />
* '''Геометријска вероватноћа:''' за непребројив скуп <math>\Omega</math> који може да се представи геометријски као ограничени објекат (интервал праве, лик у равни, тело у простору) и догађај <math>A \subset \Omega</math> важи <math>P(A) = \frac{m(A)}{m(\Omega)}</math> где је <math>m</math> мера тог објекта (дужина, површина, запремина).<br />
** Услов: једнаковероватни догађаји су представљени скуповима исте мере и обрнуто<br />
<br />
=== Особине вероватноће ===<br />
* '''Теорема 1.1:''' <math>P(A') = 1 - P(A)</math><br />
** Доказ: како су <math>A</math> и <math>A'</math> међусобно искључиви, важи <math>A \cup A' = \Omega</math>, па из <math>P(A \cup A') = P(\Omega)</math> и трећег аксиома вероватноће добијамо <math>P(A) + P(A') = 1</math>.<br />
* '''Теорема 1.2:''' <math>P(\emptyset) = 0</math><br />
** Доказ: из <math>\Omega' = \emptyset</math> и теореме 1.1 следи да је <math>P(\emptyset) = 1 - P(\Omega) = 0</math><br />
* '''Теорема 1.3:''' <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(AB)</math><br />
** Доказ:<br />
*** Ако су A и B међусобно искључиви, важи да је <math>A \setminus B = A</math>, па важи да је <math>P(A \setminus B) = P(A) = P(A) - P(\emptyset) = P(A) - P(AB)</math><br />
*** Ако нису, важи да је <math>A = (A \setminus B) \cup AB</math>, па из трећег аксиома добијамо <math>P(A) = P(A \setminus B) + P(AB) \implies P(A \setminus B) = P(A) - P(AB)</math><br />
* '''Теорема 1.4:''' <math>A \subset B \implies P(A) \leq P(B)</math><br />
** Доказ: <math>P(B) = P(A) + P(B \setminus A)</math>, а пошто по другој аксиоми <math>P(B \setminus A)</math> онда следи <math>P(B) \geq P(A)</math><br />
* '''Теорема 1.5:''' <math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)</math><br />
** Доказ:<br />
*** Ако су међусобно искључиви, <math>P(AB) = 0</math> тако да доказ следи по трећој аксиоми<br />
*** Ако нису, <math>P(A \cup B) = P(A \setminus B) + P(B) = P(A) - P(AB) + P(B)</math> по трећој аксиоми и теореми 1.3<br />
** Такође важи и <math>P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)</math><br />
<br />
== Условна вероватноћа и независност догађаја ==<br />
=== Условна вероватноћа ===<br />
* '''Условна вероватноћа''' догађаја A под условом да се реализовао догађај B: <math>P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}</math> за <math>P(B) \neq 0</math><br />
* '''Теорема 2.1:''' Нека је <math>H \subset \Omega</math> и <math>P(H) > 0</math>. Функција <math>P(...|H)</math> је вероватноћа.<br />
** Доказ:<br />
**# <math>P(\Omega|H) = \frac{P(\Omega H)}{P(H)} = 1</math><br />
**# За <math>A \subset \Omega</math> важи <math>P(A|H) = \frac{P(AH)}{P(H)}</math>. Пошто је <math>P(AH) \geq 0</math> и <math>P(H) > 0</math>, важи да је <math>P(A|H) \geq 0</math>. Пошто је <math>AH \subset H</math>, из теореме 1.4 следи да је <math>P(AH) \leq P(H)</math>, односно <math>\frac{P(AH)}{P(H)} \leq 1</math><br />
**# Ако су <math>A_1, A_2, ... \subset \Omega</math> међусобно искључиви догађаји којих има коначно или пребројиво много, добијамо <math>L = P(A_1 \cup A_2 \cup ...|A) = \frac{P((A_1 \cup A_2 \cup ...) \cdot H)}{P(H)} = \frac{P(A_1 H \cup A_2 H \cup ...)}{P(H)}</math>. Пошто су скупови <math>A_1 H, A_2 H, ...</math> међусобно искључиви, на основу треће аксиоме следи <math>L = \frac{P(A_1 H) + P(A_2 H) + ...}{P(H)} = P(A_1|H) + P(A_2|H) + ...</math><br />
*** Како су доказане све три аксиоме вероватноће, доказано је и да је условна вероватноћа, такође, вероватноћа.<br />
<br />
=== Независност догађаја ===<br />
* '''Независност догађаја:''' Догађаји A и B су статистички независни ако важи <math>P(AB) = P(A) P(B)</math>.<br />
* '''Независност по паровима:''' Ако су свака два од <math>A_1, A_2, ..., A_n \subset \Omega</math> (за <math>n > 2</math>) независна, онда су ти догађаји независни по паровима.<br />
* '''Независност више догађаја у целини:''' Ако за сваки подскуп <math>A_{i_1}, A_{i_2}, ... A_{i_k}</math> скупа догађаја <math>A_1, A_2, ..., A_n \subset \Omega</math>, где је <math>2 \leq k < n</math> важи <math>P(A_{i_1} \cdot A_{i_2} \cdot ... \cdot A_{i_k}) = P(A_{i_1}) \cdot ... \cdot P(A_{i_k})</math>, онда су догађаји из тог скупа међусобно независни.<br />
* '''Теорема 2.2:''' Ако су догађаји <math>A_1, A_2, ..., A_n \subset \Omega</math> независни и ако је догађај <math>B</math> добијен од догађаја <math>A_1, A_2, ..., A_k</math> (<math>k < n</math>) применом коначно много скуповних операција, онда су и догађаји <math>B, A_{n+1}, ..., A_n</math> такође независни.<br />
** Доказ: није доказивано.<br />
* '''Теорема 2.3:''' За догађаје <math>A_1, A_2, ..., A_n \subset \Omega</math> (<math>n \geq 2</math>) важи: <math>P(A_1 ... A_n) = P(A_1) P(A_2|A_1) P(A_3|A_1 A_2) ... P(A_n|A_1 A_2 ... A_{n-1})</math><br />
** Доказ: за <math>n = 2</math> је ово дефиниција условне вероватноће, за остатак се доказује индукцијом.<br />
* '''Потпун скуп хипотеза:''' Ако су догађаји <math>H_1, H_2, ..., H_n</math> међусобно искључиви и важи <math>H_1 \cup H_2 \cup ... \cup H_n = \Omega</math> онда они чине потпун скуп хипотеза.<br />
* '''Тотална вероватноћа:''' <math>P(A) = P(H_1) P(A|H_1) + P(H_2) P(A|H_2) + ...</math><br />
* '''Бајесова формула:''' За <math>A \subset \Omega</math>, <math>P(A) \neq 0</math> важи <math>P(H_i|A) = \frac{P(A|H_i) P(H_i)}{P(A)} = \frac{P(A|H_i) P(H_i)}{P(H_1) P(A|H_1) + P(A|H_2) A(H_2) + ... + P(A|H_n) P(H_n)}</math><br />
* '''Поузданост уређаја:''' вероватноћа да је уређај исправан, која зависи од поузданости његових компоненти. Две компоненте могу међусобно бити повезане редно или паралелно, и у зависности од тога одређујемо укупну поузданост те две компоненте.<br />
** '''Редно:''' <math>P = P_1 \cdot P_2</math><br />
** '''Паралелно:''' <math>P = 1 - (1 - P_1)(1 - P_2) = P_1 + P_2 - P_1 P_2</math><br />
<br />
== Случајне променљиве ==<br />
* '''Случајна променљива:''' пресликавање скупа свих исхода <math>\Omega</math> у скуп реалних бројева.<br />
** Ознака: <math>X \in \{x_1, x_2, ...\}</math> где је <math>\{x_1, x_2, ...\}</math> скуп свих бројева у које се пресликавају исходи.<br />
** На основу пребројивости скупа <math>\{x_1, x_2, ...\}</math> случајне променљиве се деле на две категорије:<br />
*** '''Дискретне:''' уколико је овај скуп коначан или пребројив, и<br />
*** '''Непрекидне (мешовите):''' уколико је овај скуп непребројив.<br />
* '''Расподела случајне променљиве:''' функција дефинисана над скуповима реалних бројева, <math>P_X(B) = P(X \in B), B \subset \mathbb{R}</math><br />
** '''Закон расподеле вероватноће случајне променљиве:''' за неку случајну променљиву <math>X</math>, чији је скуп вредности <math>\{x_1, x_2, ...\}</math>, то је скуп вероватноћа <math>\{p_1, p_2, ...\}</math> где је <math>p_i = P(X = x_i)</math> за све <math>x_i</math><br />
** Ознака: <math>X: \begin{pmatrix}<br />
x_1 & x_2 & ... \\<br />
p_1 & p_2 & ...<br />
\end{pmatrix}</math>, тако да <math>\sum p_i = 1</math><br />
<br />
=== Непрекидне случајне променљиве ===<br />
* '''Функција расподеле:''' <math>F(x) = P(X \leq x)</math>, за <math>x \in \mathbb{R}</math><br />
* Особине функције расподеле:<br />
*# <math>(\forall x \in \mathbb{R}) F(x) \in [0, 1]</math><br />
*# <math>F(x)</math> је монотоно неопадајућа функција<br />
*# <math>F(x)</math> је непрекидна са десне стране за свако <math>x \in \mathbb{R}</math><br />
*# <math>F(x)</math> има граничну вредност са леве стране у свакој тачки <math>x \in \mathbb{R}</math><br />
*# <math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1</math><br />
* '''Функција густине расподеле:''' ако је <math>f(x)</math> ненегативна функција дефинисана на <math>\mathbb{R}</math> и важи <math>(\forall x \in \mathbb{R}) F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt</math>, онда је <math>X</math> непрекидна случајна променљива а <math>f(x)</math> њена функција густине расподеле.<br />
** <math>X</math> је непрекидна <math>\implies F(x)</math> је непрекидна<br />
** Ако <math>f(x)</math> има коначно или пребројиво много тачака прекида, у њима се <math>f(x)</math> може дефинисати произвољно.<br />
* '''Теорема 3.1:''' За непрекидну случајну променљиву <math>X</math> важи:<br />
*# <math>(\forall a \in \mathbb{R}) P(X = a) = 0</math><br />
*#* Доказ: <math>P(X = a) = F(a) - F(a^{-}) = 0</math><br />
*# <math>(\forall a, b \in \mathbb{R}, a < b) P(X \in (a, b)) = \int_a^b f(t) dt = P(X \in [a, b)) = P(X \in (a, b]) = P(X \in [a, b])</math><br />
*#* Доказ: ако интеграл представимо површином испод функције, није нам битно да ли избацимо нула, једну или две дужи из те површине.<br />
*# <math>P(x < a) = P(x \leq a)</math> и <math>P(x > a) = P(x \geq a)</math><br />
*# <math>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1</math><br />
* '''Теорема 3.2:''' ако је <math>F(x)</math> дефинисана на <math>\mathbb{R}</math>, непрекидна са десне стране и ако је <math>\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1</math> а <math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math>, тада постоји случајна променљива којој је <math>F(x)</math> функција расподеле.<br />
<br />
=== Расподеле ===<br />
# '''Бернулијева:''' <math>X \sim Bern(p)</math> (Бернулијева расподела са вероватноћом успеха <math>p</math>)<br />
#* Закон: <math>X: \begin{pmatrix}<br />
0 & 1 \\<br />
1 - p & p<br />
\end{pmatrix}</math><br />
#* Модел: индикатор догађаја, <math>I_A = \left\{ \begin{matrix}<br />
1, & \text{sa ver.} p = P(A) \\<br />
0, & \text{sa ver.} q = 1-p = P(\overline{A})<br />
\end{matrix}\right.</math><br />
# '''Биномна:''' <math>X \sim Bin(n, p), n \in \mathbb{N}, 0 < p < 1, X \in \{0, 1, ..., n\}</math><br />
#* Закон: <math>P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}, q = 1 - p</math><br />
#* Модел: Бернулијева шема је низ Бернулијевих (независних) експеримената, и у сваком експерименту догађај <math>A</math> има вероватноћу <math>P(A) = p</math>, а наша случајна променљива јесте број реализација догађаја <math>A</math> у <math>n</math> изведених експеримената.<br />
# '''Пуасонова:''' <math>X \sim Poiss(\lambda), \lambda > 0</math><br />
#* Закон: <math>P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}</math><br />
#* Модел: број ретких догађаја у јединици времена, тако да је <math>\lambda</math> просечан број догађаја<br />
# '''Геометријска:''' <math>X \sim G(p), X \in \mathbb{N}</math><br />
#* Закон: <math>P(X = n) = q^{n-1} p</math><br />
#* Модел: изводе се Бернулијеви експерименти до првог успеха, а наша случајна променљива је број неуспеха<br />
# '''Паскалова (обрнута биномна):'''<br />
#* Закон: <math>P(X = n) = \binom{n-1}{k-1} p^k q^{n-k}</math><br />
#* Модел: број Бернулијевих експеримената до <math>k</math>-тог успеха.<br />
# '''Хипергеометријска:'''<br />
#* Модел: на располагању је <math>n</math> предмета од којих је <math>m</math> једне а <math>n-m</math> друге врсте, од њих бирамо <math>k</math> предмета (<math>k < m, k < n-m</math>) и случајна променљива нам је број предмета прве врсте међу изабраним<br />
#* Закон: <math>P(X = r) = \frac{\binom{m}{r}\binom{n-m}{k-r}}{\binom{n}{k}}</math><br />
# '''(Дискретна) униформна:'''<br />
#* Закон: <math>P(X = x_i) = \frac{1}{n}</math>, за <math>X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}</math><br />
# '''(Непрекидна) униформна:''' <math>X \sim Unif[a, b], a, b \in \mathbb{R}, a < b</math><br />
#* Закон: <math>f(x) = \left\{\begin{matrix}<br />
\frac{1}{b - a}, & x \in [a, b] \\<br />
0 & x \notin [a, b]<br />
\end{matrix}\right.</math> (<math>X</math> је концентрисана на <math>[a, b]</math>)<br />
#** <math>F(x) = \left\{\begin{matrix}<br />
0, & x < a \\<br />
\frac{x - a}{b - a}, & a \leq x \leq b \\<br />
1, & x > b<br />
\end{matrix}\right.</math><br />
#* Модел: бирамо број из <math>[a, b]</math>, а случајна променљива нам је да ли је број у <math>[a, x]</math> (где је <math>a < x < b</math>)<br />
# '''Експоненцијална:''' <math>X \sim Exp(\lambda), \lambda > 0</math><br />
#* Модел: време између Пуасонових догађаја, где је <math>\lambda</math> реципрочно просечно време<br />
#* Закон: <math>f(x) = \left\{\begin{matrix}<br />
\lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\<br />
0, & x < 0<br />
\end{matrix}\right.</math><br />
#** <math>F(x) = \left\{\begin{matrix}<br />
0, & x < 0 \\<br />
1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0<br />
\end{matrix}\right.</math><br />
#* Особина одсуства меморије: <math>P(X > s + t | X > s) = P(X > t), s, t > 0</math> <br />
# '''Стандардна нормална (стандардна Гаусова):''' <math>Z \sim \mathcal{N}(0, 1)</math><br />
#* Закон: <math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}</math><br />
#** <math>\Phi(x) = \int_{-\infty}^x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx</math> ('''неизрачунљиво''', али се рачуна на основу таблице, с тим што <math>x \geq 3.5 \implies \Phi(x) \approx 1</math> и <math>x < 0 \implies \Phi(-x) + \Phi(x) = 1</math>)<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Вредности <math>\Phi(x)</math> (пример: <math>\Phi(1.43) = 0.9236</math>)<br />
! X !! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9<br />
|-<br />
| 0.0 || 5000 || 5040 || 5080 || 5120 || 5160 || 5199 || 5239 || 5279 || 5319 || 5359<br />
|-<br />
| 0.1 || 5398 || 5438 || 5478 || 5517 || 5557 || 5596 || 5636 || 5675 || 5714 || 5753<br />
|-<br />
| 0.2 || 5793 || 5832 || 5871 || 5910 || 5948 || 5987 || 6026 || 6064 || 6103 || 6141<br />
|-<br />
| 0.3 || 6179 || 6217 || 6255 || 6293 || 6331 || 6368 || 6406 || 6443 || 6480 || 6517<br />
|-<br />
| 0.4 || 6554 || 6591 || 6628 || 6664 || 6700 || 6736 || 6772 || 6808 || 6844 || 6879<br />
|-<br />
| 0.5 || 6915 || 6950 || 6985 || 7019 || 7054 || 7088 || 7123 || 7157 || 7190 || 7224<br />
|-<br />
| 0.6 || 7257 || 7291 || 7324 || 7357 || 7389 || 7422 || 7454 || 7486 || 7517 || 7549<br />
|-<br />
| 0.7 || 7580 || 7611 || 7642 || 7673 || 7704 || 7734 || 7764 || 7794 || 7823 || 7852<br />
|-<br />
| 0.8 || 7881 || 7910 || 7939 || 7967 || 7995 || 8023 || 8051 || 8078 || 8106 || 8133<br />
|-<br />
| 0.9 || 8159 || 8186 || 8212 || 8238 || 8264 || 8289 || 8315 || 8340 || 8365 || 8389<br />
|-<br />
| 1.0 || 8413 || 8438 || 8461 || 8485 || 8508 || 8531 || 8554 || 8577 || 8599 || 8621<br />
|-<br />
| 1.1 || 8643 || 8665 || 8686 || 8708 || 8729 || 8749 || 8770 || 8790 || 8810 || 8830<br />
|-<br />
| 1.2 || 8849 || 8869 || 8888 || 8907 || 8925 || 8944 || 8962 || 8980 || 8997 || 9015<br />
|-<br />
| 1.3 || 9032 || 9049 || 9066 || 9082 || 9099 || 9115 || 9131 || 9147 || 9162 || 9177<br />
|-<br />
| 1.4 || 9192 || 9207 || 9222 || 9236 || 9251 || 9265 || 9279 || 9292 || 9306 || 9319<br />
|-<br />
| 1.5 || 9332 || 9345 || 9357 || 9370 || 9382 || 9394 || 9406 || 9418 || 9429 || 9441<br />
|-<br />
| 1.6 || 9452 || 9463 || 9474 || 9484 || 9495 || 9505 || 9515 || 9525 || 9535 || 9545<br />
|-<br />
| 1.7 || 9554 || 9564 || 9573 || 9582 || 9591 || 9599 || 9608 || 9616 || 9625 || 9633<br />
|-<br />
| 1.8 || 9641 || 9649 || 9656 || 9664 || 9671 || 9678 || 9686 || 9693 || 9699 || 9706<br />
|-<br />
| 1.9 || 9713 || 9719 || 9726 || 9732 || 9738 || 9744 || 9750 || 9756 || 9761 || 9767<br />
|-<br />
| 2.0 || 97725 || 97778 || 97831 || 97882 || 97932 || 97982 || 98030 || 98077 || 98124 || 98169<br />
|-<br />
| 2.1 || 98214 || 98257 || 98300 || 98341 || 98382 || 98422 || 98461 || 98500 || 98537 || 98574<br />
|-<br />
| 2.2 || 98610 || 98645 || 98679 || 98713 || 98745 || 98778 || 98809 || 98840 || 98870 || 98899<br />
|-<br />
| 2.3 || 98928 || 98956 || 98983 || 99010 || 99036 || 99061 || 99086 || 99111 || 99134 || 99158<br />
|-<br />
| 2.4 || 99180 || 99202 || 99224 || 99245 || 99266 || 99286 || 99305 || 99324 || 99343 || 99361<br />
|-<br />
| 2.5 || 99379 || 99396 || 99413 || 99430 || 99446 || 99461 || 99477 || 99492 || 99506 || 99520<br />
|-<br />
| 2.6 || 99534 || 99547 || 99560 || 99573 || 99585 || 99598 || 99609 || 99621 || 99632 || 99643<br />
|-<br />
| 2.7 || 99653 || 99664 || 99674 || 99683 || 99693 || 99702 || 99711 || 99720 || 99728 || 99736<br />
|-<br />
| 2.8 || 99744 || 99752 || 99760 || 99767 || 99774 || 99781 || 99788 || 99795 || 99801 || 99807<br />
|-<br />
| 2.9 || 99813 || 99819 || 99825 || 99831 || 99836 || 99841 || 99846 || 99851 || 99856 || 99861<br />
|-<br />
| 3.0 || 998650 || 998694 || 998736 || 998777 || 998817 || 998856 || 998893 || 998930 || 998965 || 998999<br />
|-<br />
| 3.1 || 999032 || 999065 || 999096 || 999126 || 999155 || 999184 || 999211 || 999238 || 999264 || 999289<br />
|-<br />
| 3.2 || 999313 || 999336 || 999359 || 999381 || 999402 || 999423 || 999443 || 999462 || 999481 || 999499<br />
|-<br />
| 3.3 || 999517 || 999534 || 999550 || 999566 || 999581 || 999596 || 999610 || 999624 || 999638 || 999651<br />
|-<br />
| 3.4 || 999663 || 999675 || 999687 || 999698 || 999709 || 999720 || 999730 || 999740 || 999749 || 999758<br />
|}<br />
<br />
=== Случајни вектори ===<br />
* '''Случајни вектор:''' скуп случајних променљивих дефинисаних на истом скупу исхода<br />
* '''Заједнички закон расподеле:''' одређен је ако су познате све вероватноће <math>p_{ij} = P(X = x_i, Y = y_j)</math> за све вредности <math>x_i</math> и <math>y_j</math> које случајне променљиве узимају<br />
* '''Маргинални закони расподеле:''' појединачни закони расподеле случајних променљивих у вектору, добијени из заједничког закона као <math>P(X = x_i) = p_{i1} + p_{i2} + ...</math><br />
* '''Заједничка функција расподеле:''' <math>F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)</math> за све <math>x, y \in \mathbb{R}</math><br />
* '''Заједничка функција густине:''' Ако постоји ненегативна функција <math>f(x, y)</math> дефинисана за <math>X, Y \in \mathbb{R}</math> таква да <math>(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2) F(x, y) = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(x, y) dx dy</math> онда је <math>(X, Y)</math> непрекидан случајни вектор а <math>f(x, y)</math> његова заједничка густина. Њене особине су:<br />
*# <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) = 1</math><br />
*# <math>f(x, y) = \frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y}</math><br />
*# <math>P((X, Y) \in D) = \int_D \int_D f(x, y) dx dy</math><br />
* '''Маргиналне функције густине:''' <math>f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) dy</math><br />
<br />
=== Независност случајних променљивих ===<br />
* <math>X_1, X_2, ..., X_n</math> су независне ако су догађаји <math>X_1 \in A_1, X_2 \in A_2, ...X_n \in A_n</math> независни за све могуће <math>A_1, A_2, ..., A_n \subset \mathbb{R}</math><br />
* '''Услови независности:'''<br />
*# Ако у свакој тачки <math>(x, y) \in \mathbb{R}^2</math> важи <math>F(x, y) = F_X(x) F_Y(y)</math> где је <math>F</math> заједничка функција расподеле а <math>F_X, F_Y</math> су маргиналне функције расподеле.<br />
*# Ако су <math>X</math> и <math>Y</math> дискретне и важи <math>P(X = x_i, Y = y_i) = P(X = x_i) P(Y = y_1)</math> за све вредности <math>x_i</math> и <math>y_j</math>.<br />
*# Ако су <math>X</math> и <math>Y</math> непрекидне и важи <math>(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2) f(x, y) = f_X(x) f_Y(y)</math> где је <math>f</math> заједничка функција густине а <math>f_X, f_Y</math> су маргиналне функције густине.<br />
<br />
=== Варијациони низ ===<br />
* Ако су <math>X_1, X_2, ... X_n</math> независне случајне променљиве са истом расподелом које означавају вредности добијене у неким догађајима (на пример, резултати бацања коцкице), онда променљиве <math>X_{(1)}, X_{(2)}, ... X_{(n)}</math> које носе вредност најмање од ових променљивих, друге најмање од ових променљивих, ... редом чине варијациони низ.<br />
** Променљиве варијационог низа немају исту расподелу као оригиналне случајне променљиве, и више нису независне.<br />
* '''Функција расподеле <math>k</math>-те случајне променљиве варијационог низа:''' <math>F_k(x) = \sum_{j = k}^n \binom{n}{j} F(x)^j (1 - F(x))^{n - j}</math><br />
* Специјални случајеви:<br />
** Функција расподеле најмање случајне променљиве варијационог низа: <math>F_{min}(x) = 1 - (1 - F(x))^n</math><br />
** Функција расподеле највеће случајне променљиве варијационог низа: <math>F_{max}(x) = F(x)^n</math><br />
<br />
== Нумеричке карактеристике случајних променљивих ==<br />
=== Математичко очекивање ===<br />
* За дискретну случајну променљиву <math>X</math> са коначним скупом вредности <math>\{x_1, x_2, ..., x_n\}</math>, математичко очекивање је дефинисано са <math>EX = \sum_{k = 1}^n x_k P(X = x_k)</math><br />
* За дискретну случајну променљиву <math>X</math> са бесконачним скупом вредности, математичко очекивање је дефинисано са <math>EX = \sum_k x_k P(X = x_k)</math> (под условом да овај ред апсолутно конвергира)<br />
* За непрекидну случајну променљиву <math>X</math> са густином <math>f(x)</math>, математичко очекивање је дефинисано са <math>EX = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx</math> (под условом да овај интеграл апсолутно конвергира)<br />
* '''Теорема 4.1:''' Нека је <math>X</math> непрекидна случајна променљива са густином <math>f(x)</math> и <math>g</math> функција за коју постоји <math>E(g(X))</math>. Тада је: <math>E(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) dx</math>.<br />
* '''Теорема 4.2:''' Нека су <math>X</math> и <math>Y</math> случајне променљиве са очекивањима <math>EX</math> и <math>EY</math>, а <math>a, b, c \in \mathbb{R}</math>. Тада важи:<br />
*# <math>E(c) = c</math><br />
*# <math>E(aX) = aEX</math><br />
*# <math>E(X + Y) = EX + EY</math><br />
*# Ако су <math>X</math> и <math>Y</math> независне, онда је <math>E(XY) = EX EY</math><br />
<br />
=== Варијанса ===<br />
* '''Варијанса (дисперзија):''' за променљиву <math>X</math> са очекивањем <math>EX</math>, варијанса је <math>VarX = E(X - EX)^2</math><br />
** '''Стандардна девијација (стандардно одступање):''' <math>S.D.(X) = \sqrt{VarX}</math><br />
* Особине варијансе за <math>a, c \in \mathbb{R}</math>:<br />
*# <math>Var(c) = 0</math><br />
*#* Доказ: <math>Var(c) = E(c - E(c))^2 = E(c - c)^2 = 0</math><br />
*# <math>VarX = 0 \implies P(X = c) = 1</math> за неко <math>c</math><br />
*#* Доказ: није доказивано.<br />
*# <math>VarX = E(X^2) - (EX)^2</math><br />
*#* Доказ: <math>VarX = E(X - EX)^2 =</math><math> E(X^2 - 2EX \cdot X + (EX)^2) =</math><math>E(X^2) + E(-2EX \cdot X) + E((EX)^2) =</math><math> E(X^2) - 2EX \cdot EX + (EX)^2 =</math><math> E(X^2) - (EX)^2</math><br />
*# <math>Var(X + a) = VarX</math><br />
*# <math>Var(aX) = a^2 VarX</math><br />
*# Ако су <math>X</math> и <math>Y</math> независне са коначним варијансама, онда је <math>Var(X + Y) = VarX + VarY</math><br />
* '''Коваријанса:''' <math>Cov(X, Y) = E[(X - EX)(Y - EY)]</math> (одступање од очекиване вредности обе променљиве)<br />
** '''Теорема 4.3:''' <math>Cov(X, Y) = E(XY) - EX \cdot EY</math><br />
*** Доказ: <math>Cov(X, Y) =</math><math> E(XY - EX \cdot Y - X \cdot EY + EX \cdot EY) =</math><math> E(XY) + E(-EX \cdot Y) + E(-X \cdot EY) + E(EX \cdot EY) =</math><math> E(XY) - EX \cdot EY - EY \cdot EX + EX \cdot EY =</math><math> E(XY) - EX \cdot EY</math><br />
** '''Теорема 4.4:''' <math>Var(X + Y) = VarX + VarY + 2Cov(X, Y)</math><br />
*** Доказ: <math>Var(X + Y) =</math><math> E(X + Y - E(X + Y))^2 =</math><math> E(X + Y - EX - EY)^2 =</math><math> E((X - EX) + (Y - EY))^2 =</math><math> E((X - EX)^2 + 2(X - EX)(Y - EY) + (Y - EY)^2) =</math><math> VarX + VarY + 2Cov(X, Y)</math><br />
* Особине коваријансе за променљиве <math>X, Y, Z</math> и <math>a, b \in \mathbb{R}</math>:<br />
*# Ако су <math>X</math> и <math>Y</math> независне, <math>Cov(X, Y) = 0</math>.<br />
*# <math>Cov(X, Y) = Cov(Y, X)</math><br />
*# <math>Cov(X, X) = VarX</math><br />
*# <math>Cov(aX, bY) = abCov(X, Y)</math><br />
*# <math>Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)</math><br />
*# <math>Cov(X + a, Y + b) = Cov(X, Y)</math><br />
* '''Коефицијент корелације:''' <math>\rho(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{VarX} \sqrt{VarY} }</math> (за <math>VarX, VarY > 0</math>)<br />
** '''Теорема 4.5:'''<br />
**# <math>-1 \leq \rho(X, Y) \leq 1</math><br />
**#* Доказ: уочимо случајну променљиву <math>\frac{X}{\sqrt{VarX} } + \frac{Y}{\sqrt{VarY} }</math>. <math>0 \leq Var\left(\frac{X}{\sqrt{VarX} } + \frac{Y}{\sqrt{VarY} }\right) =</math><math> Var\left(\frac{X}{\sqrt{VarX} }\right) + Var\left(\frac{Y}{\sqrt{VarY} }\right) + 2Cov\left(\frac{X}{\sqrt{VarX} }, \frac{Y}{\sqrt{VarY} }\right) =</math><math> \frac{1}{\sqrt{VarX}^2} \cdot VarX + \frac{1}{\sqrt{VarY}^2} \cdot VarY + \frac{2}{\sqrt{VarX} \cdot \sqrt{VarY} } Cov(X, Y) =</math><math> 2 + 2\rho(X, Y)</math>. Како је <math>2 + 2\rho(X, Y) \geq 0</math>, онда важи <math>\rho \geq -1</math>. Аналогно томе, уколико уочимо случајну променљиву са - уместо + добијамо <math>\rho \leq 1</math>.<br />
**# <math>\rho(X, Y) = \pm 1</math> ако и само ако <math>P(Y = aX + b) = 1</math>, где је <math>\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}a \neq 0, b \in \mathbb{R}, \sgn a = \sgn \rho(X, Y)</math><br />
**# <math>\rho(aX + b, cY + d) = \pm \rho(X, Y)</math> за <math>a, c \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, b, d \in \mathbb{R}</math>, где се узима знак плус ако је <math>ac</math> позитивно, а минус у супротном<br />
** Корелација:<br />
*** <math>\rho(X, Y) = 0 \implies</math> променљиве су некорелисане<br />
*** <math>\rho(X, Y) > 0 \implies</math> променљиве су позитивно корелисане<br />
*** <math>\rho(X, Y) < 0 \implies</math> променљиве су негативно корелисане<br />
** '''Моменти:'''<br />
*** <math>E(X^k)</math>: моменат реда <math>k</math><br />
*** <math>E|X|^k</math>: апсолутни моменат реда <math>k</math><br />
*** <math>E(X - EX)^k</math>: централни моменат реда <math>k</math><br />
** '''Квантили:''' за дату случајну променљиву <math>X</math> са расподелом <math>F(x)</math>, квантил реда <math>p</math> је сваки број <math>x</math> за који важи <math>F(x^-) \leq p \leq F(x)</math>.<br />
*** За сваку расподелу и за свако <math>p</math> постоји бар један квантил тог реда.<br />
*** Ознака: <math>\varepsilon_p</math><br />
*** <math>\varepsilon_{\frac{1}{2} }</math>: медијана (мера средње вредности)<br />
*** <math>\varepsilon_{\frac{1}{4} }</math>: први квартил<br />
*** <math>\varepsilon_{\frac{3}{4} }</math>: други квартил<br />
<br />
=== Нумеричке карактеристике расподела ===<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Нумеричке карактеристике честих расподела<br />
! Расподела<br />
! Математичко очекивање<br />
! Варијанса<br />
|-<br />
| <math>Bern(p)</math><br />
| <math>p</math><br />
| <math>qp</math><br />
|-<br />
| <math>Bin(n, p)</math><br />
| <math>np</math><br />
| <math>npq</math><br />
|-<br />
| <math>Poiss(\lambda)</math><br />
| <math>\lambda</math><br />
| <math>\lambda</math><br />
|-<br />
| <math>Exp(\lambda)</math><br />
| <math>\frac{1}{\lambda}</math><br />
| <math>\frac{1}{\lambda^2}</math><br />
|-<br />
| <math>Unif(a, b)</math><br />
| <math>\frac{a+b}{2}</math><br />
| <math>\frac{(b-a)^2}{12}</math><br />
|-<br />
| <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math><br />
| <math>\mu</math><br />
| <math>\sigma^2</math><br />
|}<br />
<br />
== Карактеристичне функције ==<br />
* Дефинише се као <math>\varphi_X(t) = Ee^{itX}</math>.<br />
** За дискретно <math>X</math>: <math>\varphi_X = \sum_k e^{itx_k} P(X = x_k)</math> за све вредности <math>x_k</math><br />
** За непрекидно <math>X</math>: <math>\varphi_X = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx} f(x) dx</math>, где <math>f(x)</math> означава густину<br />
* '''Теорема 5.1:'''<br />
*# За сваку случајну променљиву постоји одговарајућа карактеристична функција<br />
*# Различитим карактеристичним функцијама одговарају различите расподеле и обрнуто<br />
*# За сваку случајну променљиву и свака два реална или комплексна броја важи <math>\varphi_{aX+b}(t) = e^{ibt} \varphi_X(at)</math><br />
*# Ако случајна променљива има момент реда <math>n</math> тада важи <math>E(X^n) = i^{-n} \varphi^{(n)}(0)</math><br />
*# За две независне случајне променљиве важи <math>\varphi_{X + Y}(t) = \varphi_X(t) \varphi_Y(t)</math><br />
*#* Доказ: <math>\varphi_{X + Y}(t) = Ee^{it(X+Y)} = Ee^{itX} Ee^{itY} = \varphi_X(t) \varphi_Y(t)</math><br />
<br />
== Граничне теореме ==<br />
* Низ случајних променљивих <math>\{X_n\}</math>:<br />
** '''строго конвергира''' (конвергира скоро свуда) ка <math>X</math> ако <math>P\left(\lim_{n \to \infty} X_n = X\right) = 1</math><br />
** '''конвергира у вероватноћи''' ка <math>X</math> ако је <math>\lim_{n \to \infty} P\left(\left|X_n - X\right|\geq \varepsilon\right) = 0</math> за свако <math>\varepsilon > 0</math><br />
** '''конвергира у расподели''' (слабо конвергира) ка <math>X</math> ако <math>\lim_{n \to \infty} F_{X_n}(x) = F_X(x)</math> у свакој тачки <math>x \in \mathbb{R}</math> у којој је <math>F_X(x)</math> непрекидна<br />
** '''<math>L_p</math>-конвергира''' ка <math>X</math> за <math>p \geq 1</math> ако <math>\lim_{n \to \infty} E\left|X_n - X\right|^p = 0</math><br />
*** За <math>p = 2</math> се каже да '''конвергира у средњем квадратном''' ка <math>X</math><br />
* Из строге конвергенције следи конвергенција у вероватноћи, из конвергенције у вероватноћи следи конвергенција у расподели, а из <math>L_p</math> конвергенције такође следи конвергенција у вероватноћи.<br />
* '''Теорема 6.1:''' (теорема о непрекидности) Нека је <math>X_n</math> низ случајних променљивих са карактеристичним функцијама <math>\varphi_n</math> и нека је <math>X</math> случајна променљива са карактеристичном функцијом <math>\varphi</math>. Низ <math>X_n</math> конвергира у расподели ка <math>X</math> ако и само ако је <math>\lim_{n \to \infty} \varphi_n(t) = \varphi(t)</math> за свако <math>t \in \mathbb{R}</math>.<br />
* '''Теорема 6.2:''' (апроксимација биномне расподеле Пуасоновом) ако <math>X \sim Bin(n, p)</math> и ако <math>np < 5, n \geq 30</math> онда <math>X \sim Poiss(np)</math><br />
* '''Теорема 6.3:''' (неједнакост Маркова) ако је <math>X</math> ненегативна случајна променљива и постоји <math>EX</math>, онда <math>P(X \geq \varepsilon) \leq \frac{EX}{\varepsilon}</math> за свако <math>\varepsilon > 0</math><br />
* '''Теорема 6.4:''' (неједнакост Чебишева) ако постоји <math>VarX</math>, тада је <math>P\left(\left|X - EX\right| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{VarX}{\varepsilon^2}</math> за свако <math>\varepsilon > 0</math><br />
** Доказ: на основу неједнакости Маркова, <math>P\left(\left|X - EX\right| \geq \varepsilon\right) = P((X - EX)^2 \geq \varepsilon^2) \leq \frac{E(X - EX)^2}{\varepsilon^2} = \frac{VarX}{\varepsilon^2}</math><br />
* '''Теорема 6.5:''' (слаби закон великих бројева) Нека су <math>X_1, X_2...</math> независне случајне променљиве са истим очекивањем <math>\mu</math> и са коначним варијансама <math>VarX_k \leq V</math> за свако <math>k \in \mathbb{N}</math>, где је <math>V</math> позитивна константа. Тада низ аритметичких средина <math>\frac{X_1 + ... + X_n}{n}</math> конвергира у вероватноћи ка <math>\mu</math>.<br />
* '''Теорема 6.6:''' (Борелов строги закон великих бројева) Ако је <math>S_n</math> број успеха у <math>n</math> Бернулијевих експеримената са вероватноћом успеха <math>p</math>. тада је <math>P\left(\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n} = p\right) = 1</math><br />
* '''Теорема 6.7:''' (Коломогоровљев строги закон великих бројева)<br />
*# Ако су <math>X_1, ..., X_n</math> независне случајне променљиве са истом расподелом и очекивањем <math>\mu</math>, тада важи <math>P\left(\lim_{n \to \infty} \frac{X_1 + ... + X_n}{n} = \mu\right) = 1</math><br />
*# Ако су <math>X_1, ..., X_n</math> независне случајне променљиве са истом расподелом и ако постоји <math>b</math> такав да је <math>P\left(\lim_{n \to \infty} \frac{X_1 + ... + X_n}{n} = b\right) = 1</math>, тада све променљиве имају очекивање <math>b</math><br />
* '''Теорема 6.8:''' (централна гранична теорема) Ако су <math>X_1, X_2...</math> независне, са истом расподелом, очекивањем <math>\mu</math> и коначним варијансама <math>\sigma^2</math>, тада <math>Z_n = \frac{X_1 + ... + X_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n} }</math> конвергира у расподели ка <math>Z \sim \mathcal{N}(0, 1)</math>.<br />
** У пракси мора да важи <math>n \geq 30</math>.<br />
* '''Теорема 6.9:''' (апроксимација биномне расподеле нормалном, Моавр-Лапласова теорема) Ако је <math>X \sim Bin(n, p)</math> и <math>Z_n = \frac{X - np}{\sqrt{npq} }</math> тада <math>Z_n</math> конвергира у расподели ка <math>Z \sim \mathcal{N}(0, 1)</math><br />
** Доказ: следи из централне граничне теореме, <math>X = X_1 + ... + X_n, X_1, ..., X_n \sim Bern(p)</math><br />
* '''Апроксимација Пуасонове расподеле нормалном:''' <math>X \sim Poiss(\lambda), \lambda \geq 10 \implies X \sim \mathcal{N}(\lambda, \lambda)</math><br />
<br />
== Статистика ==<br />
=== Основни појмови ===<br />
* '''Популација:''' скуп <math>\Omega</math> елемената <math>\omega</math> (паралела из вероватноће: скуп исхода)<br />
* '''Обележје:''' нумеричка особина <math>X(\omega)</math> елемената <math>\omega \in \Omega</math> (паралела из вероватноће: случајна променљива)<br />
* '''Статистички експеримент (у пракси):''' регистровање вредности <math>X</math> на неком (правом) подскупу скупа <math>\Omega</math>, који називамо '''узорак'''. На основу узорка доносимо закључке о расподели <math>X</math>.<br />
* '''Случајни узорак''' димензије <math>n</math> је скуп независних случајних променљивих са истом расподелом.<br />
** '''Реализовани узорак''' представља реализоване вредности случајних променљивих у посматраном експерименту.<br />
* '''Статистика''' је случајна променљива <math>f(X_1, X_2, ..., X_n)</math> која зависи само од случајних променљивих из узорка, не и од непознатих параметара расподеле.<br />
** Њена расподела сме да зависи од ових параметара.<br />
** '''Реализована вредност статистике:''' <math>f(x_1, x_2, ..., x_n)</math><br />
<br />
=== Оцене параметара ===<br />
* Обележје <math>X</math> има расподелу <math>P_{\theta}</math> која зависи од скупа параметара <math>\theta \in \Theta</math>.<br />
** <math>\Theta</math>: скуп допустивих расподела<br />
** <math>P_{\theta}</math>: фамилија расподела<br />
** Ако не знамо <math>\theta</math> можемо да бирамо узорак и на основу њега оцењујемо <math>\theta</math>.<br />
<br />
==== Тачкаста оцена ====<br />
* Реализована вредност статистике <math>\hat{\theta}(X_1, ..., X_n)</math><br />
* Карактеристике:<br />
*# <math>\hat{\theta}(X_1, ..., X_n)</math> је центрирана (непристрасна) ако је <math>E\hat{\theta} = \theta</math> за свако <math>\theta</math>.<br />
*# <math>\hat{\theta}(X_1, ..., X_n)</math> је асимптотски непристрасна ако <math>E\hat{\theta} \to_{n \to \infty} \theta</math>.<br />
*# <math>\hat{\theta}(X_1, ..., X_n)</math> је стабилна (постојана) ако конвергира у вероватноћи ка <math>\theta</math>.<br />
*# Ако су <math>\hat{\theta_1}</math> и <math>\hat{\theta_2}</math> две оцене истог параметра <math>\theta</math>, <math>\hat{\theta_1}</math> је боља од <math>\hat{\theta_2}</math> ако је <math>E(\hat{\theta_1} - \theta)^2 \leq E(\hat{\theta_2} - \theta)^2</math> с тим што строга неједнакост важи за бар једно <math>\theta</math>.<br />
*# Ако су <math>\hat{\theta_1}</math> и <math>\hat{\theta_2}</math> две центриране оцене истог параметра <math>\theta</math>, кажемо да је <math>\hat{\theta_1}</math> ефикасније од <math>\hat{\theta_2}</math> ако је <math>Var\hat{\theta_1} \leq Var\hat{\theta_2}</math> с тим што строга неједнакост важи за бар једно <math>\theta</math>.<br />
<br />
==== Интервална оцена ====<br />
* '''Интервал поверења:''' је интервал који, за дат узорак обима <math>n</math> из расподеле <math>P_{\theta}</math>, садржи непознати параметар <math>\theta</math> са вероватноћом <math>1-\alpha</math>.<br />
** Двострани интервал поверења: <math>[A, B]</math><br />
** Једнострани интервал поверења: <math>(-\infty, B]</math> или <math>[A, +\infty)</math><br />
** <math>A</math> и <math>B</math> су статистике.<br />
* '''Студентова <math>t</math>-расподела:'''<br />
** <math>f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1 + \frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}</math><br />
** Гама функција: <math>\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} dt</math><br />
*** <math>\Gamma(x+1) = x\Gamma(x) \implies \Gamma(n) = (n-1)!</math><br />
*** <math>\Gamma(1) = 1</math><br />
*** <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}</math><br />
** За <math>n \geq 30</math> можемо апроксимирати са <math>\mathcal{N}(0, 1)</math><br />
** '''Теорема 7.1:''' Ако су <math>X_1, ..., X_n \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math> са непознатим <math>\mu</math> и <math>\sigma</math>, нека је <math>\hat{\mu} = \frac{X_1 + ... + X_n}{n}</math> и <math>s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k = 1}^n (X_k - \hat{\mu})^2</math>, тада важи <math>\frac{\hat{\mu} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \sim t(n-1)</math>.<br />
* '''Хи квадрат расподела:'''<br />
** <math>f(x) = \begin{cases}<br />
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{-\frac{x}{2}}, & x > 0 \\<br />
0, & x \leq 0<br />
\end{cases}</math><br />
** '''Теорема 7.2:''' Ако су <math>Z_1, Z_2, ..., Z_n \sim \mathcal{N}(0, 1)</math>, њихов збир има расподелу <math>\chi^2(n)</math>.<br />
** '''Теорема 7.3:''' Ако су <math>X_1, X_2, ..., X_n \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math> са непознатим <math>\sigma^2</math>:<br />
*** Ако је <math>\mu</math> познато: <math>\frac{nS_0^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)</math><br />
*** Ако је <math>\mu</math> непознато: <math>\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)</math><br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Процена непознатих параметара у интервалима поверења код <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math>.<br />
! colspan="2" | Процена<br />
! Двострани интервал<br />
! Једнострани интервал<br />
|-<br />
! rowspan="3" | Процена непознатог <math>\mu</math><br />
! Познато <math>\sigma^2</math><br />
| <math>\mu \in \left[\hat{\mu} - \varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \hat{\mu} + \varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math><br />
| <math>\mu \in \left(-\infty, \hat{\mu} + \varepsilon_{1 - \alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math> или <math>\mu \in \left[\hat{\mu} - \varepsilon_{1 - \alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, +\infty\right)</math><br />
|-<br />
! rowspan="2" | Непознато <math>\sigma^2</math><br />
| colspan="2" | Процењујемо <math>\sigma^2</math>: <math>s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k = 1}^n (X_k - \hat{\mu})^2</math>, <math>\frac{\hat{\mu} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \sim t(n-1)</math><br />
|-<br />
| <math>\mu \in \left[\hat{\mu} - \varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}} \frac{s}{\sqrt{n}}, \hat{\mu} + \varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}} \frac{s}{\sqrt{n}}\right]</math><br />
| <math>\mu \in \left(-\infty, \hat{\mu} + \varepsilon_{1 - \alpha} \frac{s}{\sqrt{n}}\right]</math> или <math>\mu \in \left[\hat{\mu} - \varepsilon_{1 - \alpha} \frac{s}{\sqrt{n}}, +\infty\right)</math><br />
|-<br />
! rowspan="2" | Процена непознатог <math>\sigma^2</math><br />
! Познато <math>\mu</math><br />
| <math>\sigma^2 \in \left[\frac{nS_0^2}{\varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}}}, \frac{nS_0^2}{\varepsilon_{\frac{\alpha}{2}}}\right]</math>, квантили из <math>\chi^2(n)</math><br />
| <math>\sigma^2 \in \left[0, \frac{nS_0^2}{\varepsilon_{\alpha}}\right]</math> или <math>\sigma^2 \in \left[\frac{nS_0^2}{\varepsilon_{1 - \alpha}}, +\infty\right)</math>, квантили из <math>\chi^2(n)</math><br />
|-<br />
! Непознато <math>\mu</math><br />
| <math>\sigma^2 \in \left[\frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{1 - \frac{\alpha}{2}}}, \frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{\frac{\alpha}{2}}}\right]</math>, квантили из <math>\chi^2(n-1)</math><br />
| <math>\sigma^2 \in \left[0, \frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{\alpha}}\right]</math> или <math>\sigma^2 \in \left[\frac{(n-1)s^2}{\varepsilon_{1 - \alpha}}, +\infty\right)</math>, квантили из <math>\chi^2(n-1)</math><br />
|}<br />
* Ако расподела није <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math>, за <math>n > 30</math> важи централна гранична теорема, тако да можемо апроксимирати интервал поверења као за нормалну расподелу.<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Квантили студентове расподеле <math>t(n)</math> (за <math>n > 30</math> се апроксимира нормалном)<br />
! <br />
! colspan="6" | <math>u</math><br />
|-<br />
! <math>n</math> !! 0.75 !! 0.90 !! 0.95 !! 0.975 !! 0.99 !! 0.995<br />
|-<br />
| 1 || 1.000 || 3.078 || 6.314 || 12.706 || 31.821 || 63.657<br />
|-<br />
| 2 || 0.816 || 1.886 || 2.920 || 4.303 || 6.965 || 9.925<br />
|-<br />
| 3 || 0.765 || 1.638 || 2.353 || 3.182 || 4.541 || 5.841<br />
|-<br />
| 4 || 0.741 || 1.533 || 2.132 || 2.776 || 3.747 || 4.604<br />
|-<br />
| 5 || 0.727 || 1.476 || 2.015 || 2.571 || 3.365 || 4.032<br />
|-<br />
| 6 || 0.718 || 1.440 || 1.943 || 2.447 || 3.143 || 3.707<br />
|-<br />
| 7 || 0.711 || 1.415 || 1.895 || 2.365 || 2.998 || 3.499<br />
|-<br />
| 8 || 0.706 || 1.397 || 1.860 || 2.306 || 2.896 || 3.355<br />
|-<br />
| 9 || 0.703 || 1.383 || 1.833 || 2.262 || 2.821 || 3.250<br />
|-<br />
| 10 || 0.700 || 1.372 || 1.812 || 2.228 || 2.764 || 3.169<br />
|-<br />
| 11 || 0.697 || 1.363 || 1.796 || 2.201 || 2.718 || 3.106<br />
|-<br />
| 12 || 0.695 || 1.356 || 1.782 || 2.179 || 2.681 || 3.055<br />
|-<br />
| 13 || 0.694 || 1.350 || 1.771 || 2.160 || 2.650 || 3.012<br />
|-<br />
| 14 || 0.692 || 1.345 || 1.761 || 2.145 || 2.624 || 2.977<br />
|-<br />
| 15 || 0.691 || 1.341 || 1.753 || 2.131 || 2.602 || 2.947<br />
|-<br />
| 16 || 0.690 || 1.337 || 1.746 || 2.120 || 2.583 || 2.921<br />
|-<br />
| 17 || 0.689 || 1.333 || 1.740 || 2.110 || 2.567 || 2.898<br />
|-<br />
| 18 || 0.688 || 1.330 || 1.734 || 2.101 || 2.552 || 2.878<br />
|-<br />
| 19 || 0.688 || 1.328 || 1.729 || 2.093 || 2.539 || 2.861<br />
|-<br />
| 20 || 0.687 || 1.325 || 1.725 || 2.086 || 2.528 || 2.845<br />
|-<br />
| 21 || 0.686 || 1.323 || 1.721 || 2.080 || 2.518 || 2.831<br />
|-<br />
| 22 || 0.686 || 1.321 || 1.717 || 2.074 || 2.508 || 2.819<br />
|-<br />
| 23 || 0.685 || 1.319 || 1.714 || 2.069 || 2.500 || 2.807<br />
|-<br />
| 24 || 0.685 || 1.318 || 1.711 || 2.064 || 2.492 || 2.797<br />
|-<br />
| 25 || 0.684 || 1.316 || 1.708 || 2.060 || 2.485 || 2.787<br />
|-<br />
| 26 || 0.684 || 1.315 || 1.706 || 2.056 || 2.479 || 2.779<br />
|-<br />
| 27 || 0.684 || 1.314 || 1.703 || 2.052 || 2.473 || 2.771<br />
|-<br />
| 28 || 0.683 || 1.313 || 1.701 || 2.048 || 2.467 || 2.763<br />
|-<br />
| 29 || 0.683 || 1.311 || 1.699 || 2.045 || 2.462 || 2.756<br />
|-<br />
| 30 || 0.683 || 1.310 || 1.697 || 2.042 || 2.457 || 2.750<br />
|}<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ Квантили <math>\chi^2(n)</math> расподеле (за <math>n > 30</math> се апроксимира нормалном)<br />
! <br />
! colspan="8" | <math>u</math><br />
|-<br />
! <math>n</math> !! 0.005 !! 0.01 !! 0.025 !! 0.05 !! 0.95 !! 0.975 !! 0.99 !! 0.995 <br />
|-<br />
| 1 || 0.00004 || 0.00016 || 0.00098 || 0.00393 || 3.841 || 5.024 || 6.635 || 7.879<br />
|-<br />
| 2 || 0.010 || 0.0201 || 0.0506 || 0.103 || 5.991 || 7.378 || 9.210 || 10.597<br />
|-<br />
| 3 || 0.072 || 0.115 || 0.216 || 0.352 || 7.815 || 9.348 || 11.345 || 12.838<br />
|-<br />
| 4 || 0.207 || 0.297 || 0.484 || 0.711 || 9.488 || 11.143 || 13.277 || 14.860<br />
|-<br />
| 5 || 0.412 || 0.554 || 0.831 || 1.145 || 11.070 || 12.832 || 13.086 || 16.750<br />
|-<br />
| 6 || 0.676 || 0.872 || 1.237 || 1.635 || 12.592 || 14.449 || 16.812 || 18.548<br />
|-<br />
| 7 || 0.989 || 1.239 || 1.690 || 2.167 || 14.067 || 16.013 || 18.475 || 20.278<br />
|-<br />
| 8 || 1.344 || 1.646 || 2.180 || 2.733 || 15.507 || 17.535 || 20.090 || 21.955<br />
|-<br />
| 9 || 1.735 || 2.088 || 2.700 || 3.325 || 16.919 || 19.023 || 21.666 || 23.589<br />
|-<br />
| 10 || 2.156 || 2.558 || 3.247 || 3.940 || 18.307 || 20.483 || 23.209 || 25.188<br />
|-<br />
| 11 || 2.603 || 3.053 || 3.816 || 4.575 || 19.675 || 21.920 || 24.725 || 26.757<br />
|-<br />
| 12 || 3.074 || 3.571 || 4.404 || 5.226 || 21.026 || 23.337 || 26.217 || 28.300<br />
|-<br />
| 13 || 3.565 || 4.107 || 5.009 || 5.892 || 22.362 || 24.736 || 27.688 || 29.819<br />
|-<br />
| 14 || 4.075 || 4.660 || 5.629 || 6.571 || 23.685 || 26.119 || 29.141 || 31.319<br />
|-<br />
| 15 || 4.601 || 5.229 || 6.262 || 7.261 || 24.996 || 27.488 || 30.578 || 32.801<br />
|-<br />
| 16 || 5.142 || 5.812 || 6.908 || 7.962 || 26.296 || 28.845 || 32.000 || 24.267<br />
|-<br />
| 17 || 5.697 || 6.408 || 7.564 || 8.672 || 27.587 || 30.191 || 33.409 || 35.718<br />
|-<br />
| 18 || 6.265 || 7.015 || 8.231 || 9.390 || 28.869 || 31.526 || 34.805 || 37.156<br />
|-<br />
| 19 || 6.844 || 7.633 || 8.907 || 10.117 || 30.144 || 32.852 || 36.191 || 38.582<br />
|-<br />
| 20 || 7.434 || 8.260 || 9.591 || 10.851 || 31.410 || 34.170 || 37.566 || 39.997<br />
|-<br />
| 21 || 8.034 || 8.897 || 10.283 || 11.591 || 32.671 || 35.479 || 38.932 || 41.401<br />
|-<br />
| 22 || 8.643 || 9.542 || 10.982 || 12.338 || 33.924 || 36.781 || 40.289 || 42.796<br />
|-<br />
| 23 || 9.260 || 10.196 || 11.689 || 13.091 || 35.172 || 38.076 || 41.638 || 44.181<br />
|-<br />
| 24 || 9.886 || 10.856 || 12.401 || 13.484 || 36.415 || 39.364 || 42.980 || 45.558<br />
|-<br />
| 25 || 10.520 || 11.524 || 13.120 || 14.611 || 37.652 || 40.646 || 44.314 || 46.928<br />
|-<br />
| 26 || 11.160 || 12.198 || 13.844 || 15.379 || 38.885 || 41.923 || 45.642 || 48.290<br />
|-<br />
| 27 || 11.808 || 12.879 || 14.573 || 16.151 || 40.113 || 43.194 || 46.963 || 49.645<br />
|-<br />
| 28 || 12.461 || 13.565 || 15.308 || 16.928 || 41.337 || 44.461 || 48.278 || 50.993<br />
|-<br />
| 29 || 13.121 || 14.256 || 16.047 || 17.708 || 42.557 || 45.772 || 49.588 || 52.336<br />
|-<br />
| 30 || 13.787 || 14.953 || 16.791 || 18.493 || 43.773 || 46.979 || 50.892 || 53.672<br />
|}<br />
<br />
=== Тестирање параметарских хипотеза ===<br />
* Ознаке:<br />
** <math>H_0</math>: нулта хипотеза<br />
*** <math>H_0: \theta \in \Theta_0</math><br />
** <math>H_1</math>: алтернативна хипотеза<br />
*** <math>H_1: \theta \in \Theta_1</math><br />
*** Увек важи да <math>\Theta_0 \cap \Theta_1 = \varnothing</math><br />
*** Најчешће важи да <math>\Theta_0 \cup \Theta_1 = \Theta</math><br />
** <math>S</math>: статистика теста<br />
** <math>C</math>: област одбацивања (критична област), хипотезу одбацујемо ако <math>S \in C</math>, иначе не одбацујемо<br />
** <math>\gamma(\theta)</math>: моћ теста, односно вероватноћа да ће <math>H_0</math> бити одбачена<br />
*** <math>\gamma(\theta) = P(S \in C)</math><br />
** <math>\alpha(\theta)</math>: вероватноћа грешке првог реда, односно вероватноћа одбацивања <math>H_0</math> иако је тачна<br />
*** <math>\alpha(\theta) = \gamma(\theta)</math> за <math>\theta \in \Theta_0</math><br />
** <math>\alpha = \sup_{\theta \in \Theta_0} \alpha(\theta)</math>: ниво значајности теста<br />
** <math>c</math>: критична вредност теста (граница области одбацивања)<br />
*** Пример: <math>C = [c, +\infty)</math>, <math>C = (-\infty, c]</math><br />
* Померањем области одбацивања грешка једног реда расте а другог се смањује.<br />
** Уколико желимо да смањимо обе грешке треба да повећамо обим узорка.<br />
* Начини тестирања параметарских хипотеза (обрађени на вежбама):<br />
*# ...<br />
*# преко интервала поверења<br />
*# помоћу <math>p</math> вредности: <math>p = \sup P(S = s)</math> (или <math>S \leq s</math>, <math>S \geq s</math>)<br />
<br />
=== Тестирање непараметарских хипотеза ===<br />
* Начини тестирања непараметарских хипотеза:<br />
** Поређењем хистограма: <math>\chi^2</math> тест<br />
** Поређењем функција расподеле: тест Колмогоров-Смирнова<br />
* Емипиријска функција расподеле: <math>F_n(x) = \begin{cases}<br />
0, & x < X_{(1)} \\<br />
\frac{k}{n}, & X_{(k)} \leq x < X_{(k+1)} \\<br />
1, & x \geq X_{(n)}<br />
\end{cases}</math><br />
* '''Теорема 7.4''' (Гливенко-Кантели): Нека је <math>F_n</math> емпиријска функција расподеле добијена из независног узорка обима <math>n</math> из расподеле са функцијом расподеле <math>F</math>. Тада је <math>P(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in \mathbb{R}} \left|F_n(x) - F(x)\right| = 0) = 1</math><br />
* '''Теорема 7.5:''' Нека је <math>F_n</math> емпиријска функција расподеле добијена из независног узорка обима <math>n</math> из расподеле са функцијом расподеле <math>F</math>. Тада је <math>\lim_{n \to \infty} P(\sqrt{n} \sup_{x \in \mathbb{R}} \left|F_n(x) - F(x)\right| \leq t) = K(t)</math>.<br />
** <math>K(t)</math> се назива Колмогоровом функцијом расподеле<br />
* '''Тест Колмогоров-Смирнова:'''ако је <math>F_0</math> функција расподеле непрекидне случајне променљиве и ми тестирамо <math>H_0: F = F_0</math>, онда важи да <math>\sqrt{n} \sup_{x \in \mathbb{R}} \left|F_n(x) - F(x)\right| > \varepsilon_{1 - \alpha} \implies</math> одбацујемо хипотезу (ако је квантил из <math>K(t)</math>).<br />
<br />
[[Категорија:Вероватноћа и статистика]]<br />
[[Категорија:Водичи]]</div>
Bambula
https://siwiki.rs/w/index.php?title=%D0%9E%D0%A11/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B5_%D0%BE%D0%BA%D1%82%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D1%80_2025&diff=8321
ОС1/Модификације октобар 2025
2026-03-09T16:39:00Z
<p>Bambula: /* Modifikacija: joinAll */</p>
<hr />
<div>== Modifikacija: joinAll ==<br />
<br />
Doodati sistemske pozive <code>thread_add_child</code> i <code>thread_join_all</code>.<br />
<code>thread_add_child</code> registruje dete-nit za tekuću (pozivajuću) nit.<br />
<code>thread_join_all</code> blokira tekuću nit dok se sva njena deca ne izvrše.<br />
U okviru C++ API dodati nestatičke metode <code>addChild(Thread* child)</code> i <code>joinAll()</code> u klasu <code>Thread</code>.<br />
Napisati test program: nit A pravi 3×B i 1×C, svaki B pravi 3×C. Roditelj čeka svu svoju decu pre nego što nastavi.<br />
<br />
=== Rešenje ===<br />
<br />
==== TCB.hpp ====<br />
Dodato na vrhu fajla (forward declaration):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
class Semaphore;<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Nova polja u <code>private</code> sekciji:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
TCB* parent; // pokazivač na roditelja (nullptr ako nema)<br />
int childCount; // broj nezavršene dece<br />
Semaphore* childrenSem; // semafor na koji roditelj čeka u joinAll<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Nove metode u <code>public</code> sekciji:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
static void addChild(TCB* parent, TCB* child);<br />
static void joinAllChildren();<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== TCB.cpp ====<br />
Dodat include na vrhu:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
#include "../h/Semaphore.hpp"<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
U konstruktoru, inicijalizacija novih polja (posle <code>this->finished = false;</code>):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
this->parent = nullptr;<br />
this->childCount = 0;<br />
this->childrenSem = nullptr;<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Izmenjen <code>dispatch()</code> — else grana proširena da obavesti roditelja kad dete završi:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void TCB::dispatch() {<br />
TCB *old = running;<br />
if (!old->isFinished()) {<br />
Scheduler::put(old);<br />
} else {<br />
if (old->parent != nullptr) {<br />
old->parent->childCount--;<br />
if (old->parent->childCount == 0 && old->parent->childrenSem != nullptr) {<br />
old->parent->childrenSem->sem_signal();<br />
}<br />
}<br />
}<br />
running = Scheduler::get();<br />
contextSwitch(&old->context, &running->context);<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Nove funkcije:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void TCB::addChild(TCB* parent, TCB* child) {<br />
child->parent = parent;<br />
parent->childCount++;<br />
if (parent->childrenSem == nullptr) {<br />
Semaphore::createSemaphore(&parent->childrenSem, 0);<br />
}<br />
}<br />
<br />
void TCB::joinAllChildren() {<br />
if (running->childCount <= 0) return;<br />
running->childrenSem->sem_wait();<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_c.hpp ====<br />
Dodate deklaracije:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void thread_add_child(thread_t child);<br />
void thread_join_all();<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_c.cpp ====<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void thread_add_child(thread_t child) {<br />
if (child == nullptr) return;<br />
do_syscall(0x16, (uint64)child);<br />
}<br />
<br />
void thread_join_all() {<br />
do_syscall(0x17);<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== RISCV.cpp (handleSupervisorTrap) ====<br />
Dodate nove case grane u switch (posle case 0x13 dispatch):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
case 0x16: {<br />
TCB *child = (TCB*)arg1;<br />
TCB::addChild(TCB::running, child);<br />
break;<br />
}<br />
case 0x17: {<br />
TCB::joinAllChildren();<br />
break;<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_cpp.hpp ====<br />
Dodate metode u klasu <code>Thread</code> (public sekcija):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void addChild(Thread* child);<br />
void joinAll();<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_cpp.cpp ====<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void Thread::addChild(Thread* child) {<br />
thread_add_child(child->getMyHandle());<br />
}<br />
<br />
void Thread::joinAll() {<br />
thread_join_all();<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== Test primer ====<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
#include "../h/syscall_cpp.hpp"<br />
#include "../h/syscall_c.hpp"<br />
#include "../h/printing.hpp"<br />
<br />
class ThreadC : public Thread {<br />
public:<br />
ThreadC(int id) : Thread(), id(id) {}<br />
private:<br />
int id;<br />
void run() override {<br />
printString(" C");<br />
printInt(id);<br />
printString(" started\n");<br />
<br />
volatile int sum = 0;<br />
for (int i = 0; i < 3000; i++)<br />
for (int j = 0; j < 3000; j++)<br />
sum += j;<br />
<br />
printString(" C");<br />
printInt(id);<br />
printString(" finished\n");<br />
}<br />
};<br />
<br />
class ThreadB : public Thread {<br />
public:<br />
ThreadB(int id) : Thread(), id(id) {}<br />
private:<br />
int id;<br />
void run() override {<br />
printString(" B");<br />
printInt(id);<br />
printString(" started, creating 3 C children\n");<br />
<br />
ThreadC* c[3];<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) {<br />
c[i] = new ThreadC(id * 10 + i);<br />
c[i]->start();<br />
this->addChild(c[i]);<br />
}<br />
<br />
printString(" B");<br />
printInt(id);<br />
printString(" waiting for children...\n");<br />
this->joinAll();<br />
<br />
printString(" B");<br />
printInt(id);<br />
printString(" all children done!\n");<br />
<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) delete c[i];<br />
}<br />
};<br />
<br />
void joinAllTest() {<br />
printString("A started, creating 3 B and 1 C\n");<br />
<br />
ThreadB* b[3];<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) {<br />
b[i] = new ThreadB(i);<br />
b[i]->start();<br />
thread_add_child(b[i]->getMyHandle());<br />
}<br />
<br />
ThreadC* c = new ThreadC(99);<br />
c->start();<br />
thread_add_child(c->getMyHandle());<br />
<br />
printString("A waiting for all children...\n");<br />
thread_join_all();<br />
<br />
printString("\n=== A: ALL children done! ===\n");<br />
<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) delete b[i];<br />
delete c;<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
'''Napomena:''' <code>start()</code> mora biti pozvan PRE <code>addChild()</code> jer <code>start()</code> interno poziva <code>thread_create()</code> koji postavlja <code>myHandle</code>. Bez toga, <code>getMyHandle()</code> vraća <code>nullptr</code>.<br />
<br />
==== Očekivan output ====<br />
<pre><br />
A started, creating 3 B and 1 C<br />
A waiting for all children...<br />
B0 started, creating 3 C children<br />
B0 waiting for children...<br />
B1 started, creating 3 C children<br />
B1 waiting for children...<br />
B2 started, creating 3 C children<br />
B2 waiting for children...<br />
C99 started<br />
C99 finished<br />
C0 started<br />
C0 finished<br />
C1 started<br />
C1 finished<br />
...svi C završe...<br />
B0 all children done!<br />
B1 all children done!<br />
B2 all children done!<br />
<br />
=== A: ALL children done! ===<br />
</pre><br />
<br />
==== Kako radi ====<br />
Svaki TCB ima polje <code>parent</code> (ko je roditelj) i <code>childCount</code> (koliko dece još radi). Roditelj se blokira na semaforu (<code>childrenSem</code>, inicijalno 0). Kad nit završi, u <code>dispatch()</code> se dekrementira <code>parent->childCount</code>. Tek kad poslednje dete spusti brojač na 0, poziva se <code>sem_signal()</code> koji deblokirara roditelja.</div>
Bambula
https://siwiki.rs/w/index.php?title=%D0%9E%D0%A11/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B5_%D0%BE%D0%BA%D1%82%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D1%80_2025&diff=8320
ОС1/Модификације октобар 2025
2026-03-09T16:32:10Z
<p>Bambula: </p>
<hr />
<div>== Modifikacija: joinAll ==<br />
<br />
Dodati sistemske pozive <code>thread_add_child</code> i <code>thread_join_all</code>.<br />
<code>thread_add_child</code> registruje dete-nit za tekuću (pozivajuću) nit.<br />
<code>thread_join_all</code> blokira tekuću nit dok se sva njena deca ne izvrše.<br />
U okviru C++ API dodati nestatičke metode <code>addChild(Thread* child)</code> i <code>joinAll()</code> u klasu <code>Thread</code>.<br />
Napisati test program: nit A pravi 3×B i 1×C, svaki B pravi 3×C. Roditelj čeka svu svoju decu pre nego što nastavi.<br />
<br />
=== Rešenje ===<br />
<br />
==== TCB.hpp ====<br />
Dodato na vrhu fajla (forward declaration):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
class Semaphore;<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Nova polja u <code>private</code> sekciji:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
TCB* parent; // pokazivač na roditelja (nullptr ako nema)<br />
int childCount; // broj nezavršene dece<br />
Semaphore* childrenSem; // semafor na koji roditelj čeka u joinAll<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Nove metode u <code>public</code> sekciji:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
static void addChild(TCB* parent, TCB* child);<br />
static void joinAllChildren();<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== TCB.cpp ====<br />
Dodat include na vrhu:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
#include "../h/Semaphore.hpp"<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
U konstruktoru, inicijalizacija novih polja (posle <code>this->finished = false;</code>):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
this->parent = nullptr;<br />
this->childCount = 0;<br />
this->childrenSem = nullptr;<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Izmenjen <code>dispatch()</code> — else grana proširena da obavesti roditelja kad dete završi:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void TCB::dispatch() {<br />
TCB *old = running;<br />
if (!old->isFinished()) {<br />
Scheduler::put(old);<br />
} else {<br />
if (old->parent != nullptr) {<br />
old->parent->childCount--;<br />
if (old->parent->childCount == 0 && old->parent->childrenSem != nullptr) {<br />
old->parent->childrenSem->sem_signal();<br />
}<br />
}<br />
}<br />
running = Scheduler::get();<br />
contextSwitch(&old->context, &running->context);<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Nove funkcije:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void TCB::addChild(TCB* parent, TCB* child) {<br />
child->parent = parent;<br />
parent->childCount++;<br />
if (parent->childrenSem == nullptr) {<br />
Semaphore::createSemaphore(&parent->childrenSem, 0);<br />
}<br />
}<br />
<br />
void TCB::joinAllChildren() {<br />
if (running->childCount <= 0) return;<br />
running->childrenSem->sem_wait();<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_c.hpp ====<br />
Dodate deklaracije:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void thread_add_child(thread_t child);<br />
void thread_join_all();<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_c.cpp ====<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void thread_add_child(thread_t child) {<br />
if (child == nullptr) return;<br />
do_syscall(0x16, (uint64)child);<br />
}<br />
<br />
void thread_join_all() {<br />
do_syscall(0x17);<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== RISCV.cpp (handleSupervisorTrap) ====<br />
Dodate nove case grane u switch (posle case 0x13 dispatch):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
case 0x16: {<br />
TCB *child = (TCB*)arg1;<br />
TCB::addChild(TCB::running, child);<br />
break;<br />
}<br />
case 0x17: {<br />
TCB::joinAllChildren();<br />
break;<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_cpp.hpp ====<br />
Dodate metode u klasu <code>Thread</code> (public sekcija):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void addChild(Thread* child);<br />
void joinAll();<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_cpp.cpp ====<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void Thread::addChild(Thread* child) {<br />
thread_add_child(child->getMyHandle());<br />
}<br />
<br />
void Thread::joinAll() {<br />
thread_join_all();<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== Test primer ====<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
#include "../h/syscall_cpp.hpp"<br />
#include "../h/syscall_c.hpp"<br />
#include "../h/printing.hpp"<br />
<br />
class ThreadC : public Thread {<br />
public:<br />
ThreadC(int id) : Thread(), id(id) {}<br />
private:<br />
int id;<br />
void run() override {<br />
printString(" C");<br />
printInt(id);<br />
printString(" started\n");<br />
<br />
volatile int sum = 0;<br />
for (int i = 0; i < 3000; i++)<br />
for (int j = 0; j < 3000; j++)<br />
sum += j;<br />
<br />
printString(" C");<br />
printInt(id);<br />
printString(" finished\n");<br />
}<br />
};<br />
<br />
class ThreadB : public Thread {<br />
public:<br />
ThreadB(int id) : Thread(), id(id) {}<br />
private:<br />
int id;<br />
void run() override {<br />
printString(" B");<br />
printInt(id);<br />
printString(" started, creating 3 C children\n");<br />
<br />
ThreadC* c[3];<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) {<br />
c[i] = new ThreadC(id * 10 + i);<br />
c[i]->start();<br />
this->addChild(c[i]);<br />
}<br />
<br />
printString(" B");<br />
printInt(id);<br />
printString(" waiting for children...\n");<br />
this->joinAll();<br />
<br />
printString(" B");<br />
printInt(id);<br />
printString(" all children done!\n");<br />
<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) delete c[i];<br />
}<br />
};<br />
<br />
void joinAllTest() {<br />
printString("A started, creating 3 B and 1 C\n");<br />
<br />
ThreadB* b[3];<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) {<br />
b[i] = new ThreadB(i);<br />
b[i]->start();<br />
thread_add_child(b[i]->getMyHandle());<br />
}<br />
<br />
ThreadC* c = new ThreadC(99);<br />
c->start();<br />
thread_add_child(c->getMyHandle());<br />
<br />
printString("A waiting for all children...\n");<br />
thread_join_all();<br />
<br />
printString("\n=== A: ALL children done! ===\n");<br />
<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) delete b[i];<br />
delete c;<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
'''Napomena:''' <code>start()</code> mora biti pozvan PRE <code>addChild()</code> jer <code>start()</code> interno poziva <code>thread_create()</code> koji postavlja <code>myHandle</code>. Bez toga, <code>getMyHandle()</code> vraća <code>nullptr</code>.<br />
<br />
==== Očekivan output ====<br />
<pre><br />
A started, creating 3 B and 1 C<br />
A waiting for all children...<br />
B0 started, creating 3 C children<br />
B0 waiting for children...<br />
B1 started, creating 3 C children<br />
B1 waiting for children...<br />
B2 started, creating 3 C children<br />
B2 waiting for children...<br />
C99 started<br />
C99 finished<br />
C0 started<br />
C0 finished<br />
C1 started<br />
C1 finished<br />
...svi C završe...<br />
B0 all children done!<br />
B1 all children done!<br />
B2 all children done!<br />
<br />
=== A: ALL children done! ===<br />
</pre><br />
<br />
==== Kako radi ====<br />
Svaki TCB ima polje <code>parent</code> (ko je roditelj) i <code>childCount</code> (koliko dece još radi). Roditelj se blokira na semaforu (<code>childrenSem</code>, inicijalno 0). Kad nit završi, u <code>dispatch()</code> se dekrementira <code>parent->childCount</code>. Tek kad poslednje dete spusti brojač na 0, poziva se <code>sem_signal()</code> koji deblokirara roditelja.</div>
Bambula
https://siwiki.rs/w/index.php?title=%D0%9E%D0%A11/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B5_%D0%BE%D0%BA%D1%82%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D1%80_2025&diff=8319
ОС1/Модификације октобар 2025
2026-03-09T16:31:02Z
<p>Bambula: Уклоњена целокупна садржина странице</p>
<hr />
<div></div>
Bambula
https://siwiki.rs/w/index.php?title=%D0%9E%D0%A11/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B5_%D0%BE%D0%BA%D1%82%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D1%80_2025&diff=8318
ОС1/Модификације октобар 2025
2026-03-09T16:24:24Z
<p>Bambula: Нова страница: == Modifikacija: joinAll == Dodati sistemske pozive <code>thread_add_child</code> i <code>thread_join_all</code>. <code>thread_add_child</code> registruje dete-nit za tekuću (pozivajuću) nit. <code>thread_join_all</code> blokira tekuću nit dok se sva njena deca ne izvrše. U okviru C++ API dodati nestatičke metode <code>addChild(Thread* child)</code> i <code>joinAll()</code> u klasu <code>Thread</code>. Napisati test program: nit A pravi 3×B i 1×C, svaki B…</p>
<hr />
<div>== Modifikacija: joinAll ==<br />
<br />
Dodati sistemske pozive <code>thread_add_child</code> i <code>thread_join_all</code>.<br />
<code>thread_add_child</code> registruje dete-nit za tekuću (pozivajuću) nit.<br />
<code>thread_join_all</code> blokira tekuću nit dok se sva njena deca ne izvrše.<br />
U okviru C++ API dodati nestatičke metode <code>addChild(Thread* child)</code> i <code>joinAll()</code> u klasu <code>Thread</code>.<br />
Napisati test program: nit A pravi 3×B i 1×C, svaki B pravi 3×C. Roditelj čeka svu svoju decu pre nego što nastavi.<br />
<br />
=== Rešenje ===<br />
<br />
==== TCB.hpp ====<br />
Dodato na vrhu fajla (forward declaration):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
class Semaphore;<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Nova polja u <code>private</code> sekciji:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
TCB* parent; // pokazivač na roditelja (nullptr ako nema)<br />
int childCount; // broj nezavršene dece<br />
Semaphore* childrenSem; // semafor na koji roditelj čeka u joinAll<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Nove metode u <code>public</code> sekciji:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
static void addChild(TCB* parent, TCB* child);<br />
static void joinAllChildren();<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== TCB.cpp ====<br />
Dodat include na vrhu:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
#include "../h/Semaphore.hpp"<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
U konstruktoru, inicijalizacija novih polja (posle <code>this->finished = false;</code>):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
this->parent = nullptr;<br />
this->childCount = 0;<br />
this->childrenSem = nullptr;<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Izmenjen <code>dispatch()</code> — else grana proširena da obavesti roditelja kad dete završi:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void TCB::dispatch() {<br />
TCB *old = running;<br />
if (!old->isFinished()) {<br />
Scheduler::put(old);<br />
} else {<br />
if (old->parent != nullptr) {<br />
old->parent->childCount--;<br />
if (old->parent->childCount == 0 && old->parent->childrenSem != nullptr) {<br />
old->parent->childrenSem->sem_signal();<br />
}<br />
}<br />
}<br />
running = Scheduler::get();<br />
contextSwitch(&old->context, &running->context);<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
Nove funkcije:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void TCB::addChild(TCB* parent, TCB* child) {<br />
child->parent = parent;<br />
parent->childCount++;<br />
if (parent->childrenSem == nullptr) {<br />
Semaphore::createSemaphore(&parent->childrenSem, 0);<br />
}<br />
}<br />
<br />
void TCB::joinAllChildren() {<br />
if (running->childCount <= 0) return;<br />
running->childrenSem->sem_wait();<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_c.hpp ====<br />
Dodate deklaracije:<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void thread_add_child(thread_t child);<br />
void thread_join_all();<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_c.cpp ====<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void thread_add_child(thread_t child) {<br />
if (child == nullptr) return;<br />
do_syscall(0x16, (uint64)child);<br />
}<br />
<br />
void thread_join_all() {<br />
do_syscall(0x17);<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== RISCV.cpp (handleSupervisorTrap) ====<br />
Dodate nove case grane u switch (posle case 0x13 dispatch):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
case 0x16: {<br />
TCB *child = (TCB*)arg1;<br />
TCB::addChild(TCB::running, child);<br />
break;<br />
}<br />
case 0x17: {<br />
TCB::joinAllChildren();<br />
break;<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_cpp.hpp ====<br />
Dodate metode u klasu <code>Thread</code> (public sekcija):<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void addChild(Thread* child);<br />
void joinAll();<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== syscall_cpp.cpp ====<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
void Thread::addChild(Thread* child) {<br />
thread_add_child(child->getMyHandle());<br />
}<br />
<br />
void Thread::joinAll() {<br />
thread_join_all();<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
==== Test primer ====<br />
<syntaxhighlight lang="cpp"><br />
#include "../h/syscall_cpp.hpp"<br />
#include "../h/syscall_c.hpp"<br />
#include "../h/printing.hpp"<br />
<br />
class ThreadC : public Thread {<br />
public:<br />
ThreadC(int id) : Thread(), id(id) {}<br />
private:<br />
int id;<br />
void run() override {<br />
printString(" C");<br />
printInt(id);<br />
printString(" started\n");<br />
<br />
volatile int sum = 0;<br />
for (int i = 0; i < 3000; i++)<br />
for (int j = 0; j < 3000; j++)<br />
sum += j;<br />
<br />
printString(" C");<br />
printInt(id);<br />
printString(" finished\n");<br />
}<br />
};<br />
<br />
class ThreadB : public Thread {<br />
public:<br />
ThreadB(int id) : Thread(), id(id) {}<br />
private:<br />
int id;<br />
void run() override {<br />
printString(" B");<br />
printInt(id);<br />
printString(" started, creating 3 C children\n");<br />
<br />
ThreadC* c[3];<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) {<br />
c[i] = new ThreadC(id * 10 + i);<br />
c[i]->start();<br />
this->addChild(c[i]);<br />
}<br />
<br />
printString(" B");<br />
printInt(id);<br />
printString(" waiting for children...\n");<br />
this->joinAll();<br />
<br />
printString(" B");<br />
printInt(id);<br />
printString(" all children done!\n");<br />
<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) delete c[i];<br />
}<br />
};<br />
<br />
void joinAllTest() {<br />
printString("A started, creating 3 B and 1 C\n");<br />
<br />
ThreadB* b[3];<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) {<br />
b[i] = new ThreadB(i);<br />
b[i]->start();<br />
thread_add_child(b[i]->getMyHandle());<br />
}<br />
<br />
ThreadC* c = new ThreadC(99);<br />
c->start();<br />
thread_add_child(c->getMyHandle());<br />
<br />
printString("A waiting for all children...\n");<br />
thread_join_all();<br />
<br />
printString("\n=== A: ALL children done! ===\n");<br />
<br />
for (int i = 0; i < 3; i++) delete b[i];<br />
delete c;<br />
}<br />
</syntaxhighlight><br />
<br />
'''Napomena:''' <code>start()</code> mora biti pozvan PRE <code>addChild()</code> jer <code>start()</code> interno poziva <code>thread_create()</code> koji postavlja <code>myHandle</code>. Bez toga, <code>getMyHandle()</code> vraća <code>nullptr</code>.<br />
<br />
==== Očekivan output ====<br />
<pre><br />
A started, creating 3 B and 1 C<br />
A waiting for all children...<br />
B0 started, creating 3 C children<br />
B0 waiting for children...<br />
B1 started, creating 3 C children<br />
B1 waiting for children...<br />
B2 started, creating 3 C children<br />
B2 waiting for children...<br />
C99 started<br />
C99 finished<br />
C0 started<br />
C0 finished<br />
C1 started<br />
C1 finished<br />
...svi C završe...<br />
B0 all children done!<br />
B1 all children done!<br />
B2 all children done!<br />
<br />
=== A: ALL children done! ===<br />
</pre><br />
<br />
==== Kako radi ====<br />
Svaki TCB ima polje <code>parent</code> (ko je roditelj) i <code>childCount</code> (koliko dece još radi). Roditelj se blokira na semaforu (<code>childrenSem</code>, inicijalno 0). Kad nit završi, u <code>dispatch()</code> se dekrementira <code>parent->childCount</code>. Tek kad poslednje dete spusti brojač na 0, poziva se <code>sem_signal()</code> koji deblokirara roditelja.</div>
Bambula