SI Wiki - Кориснички доприноси [sr]

Општи водичи

2021-07-22T13:23:29Z

Aleksasavic: /* Излазак из тима */ Link ka novijoj verziji aplikacije iz dec. 2020.

{{tocright}}
Овде се налазе '''водичи''' који нису у вези ни са једним [[:Категорија:Предмети|предметом]].

== Поништавање испита ==
Испити се могу поништити до почетка рока у којем желите да га пријавите. Испите које сте пали не поништавате. У најбољем случају можете питати професора да вам упише 5 како не бисте поништавали испит, али ово не функционише код свих професора (поготово оних са РТИ катедре).
# Пре поништавања испита потребно је да имате:
## Потврду о уплати накнаде за поништавање испита
## Молбу за поништавање испита (купује се у скриптарници, кошта 25 РСД)
## Уписану оцену из предмета који хоћете да поништите на студентским сервисима.
# Потврда о уплати изгледа овако:
#* '''Сврха:''' Поништавање испита
#* '''Износ:''' 1.500,00 РСД
#* '''Рачун:''' 840-0000001438666-48 (СОП. ПРИ. ЕТФ Београд)
#* '''Модел и позив на број:''' 97 89100 или 97 77201
# Молбу попуњавате са именом и презименом, бројем индекса, одсеком, предметом и оценом коју поништавате, и испитним роком у којем сте добили оцену. Уз њу прилажете индекс и уплатницу (спадају под "остала документа").
# Молбу подносите у [https://www.etf.bg.ac.rs/sr/sluzbe/studentski-odsek студентској служби,] од 11 до 13 сати радним данима.

== Накнадна пријава испита ==
Испити се могу накнадно пријавити '''најкасније два дана пред испит'''. Процес:
# У случају да немате новац (1.500,00дин) на студентском рачуну, морате уплатити. На е-студенту, у одсеку "Школарине и уплате" постоји пример уплатнице (Износ ћете ставити 1.500,00РСД или више а сврху уплате можете променити у "Накнадна пријава испита"). '''Препоручено је да се на рачун уплате паре најкасније 3 дана пред испит, јер углавном је потребан један дан да легну.''' (Није познато да ли је могуће однети доказ о уплати у студентску службу два дана пред испит пре него што паре легну на рачун.)
# Ако имате новац на рачуну, пошаљите мејл на [mailto:stud_sluzba@etf.rs stud_sluzba@etf.rs] са захтевом да пријавите одређен испит. Испуниће вам молбу током радног времена, од 11-13.
# '''НЕ ПРЕПОРУЧУЈЕ СЕ''' да одете у [https://www.etf.bg.ac.rs/sr/sluzbe/studentski-odsek студентску службу] од 11-13 и ''лично'' питате, јер одлазак до студентске службе често може да буде непријатно искуство.

== Снимљена предавања ==
Сва предавања снимљена на ''Microsoft Teams''-у налазе се на платформи ''Microsoft Stream''. Приступате им тако што:
# Одете на [https://web.microsoftstream.com/studio/groups групе у ''Microsoft Stream'']
# Изаберете предмет за који хоћете да гледате предавања
# Одете на "Videos" таб
# Уколико предавања хоћете да гледате у хронолошком редоследу, сортирајте листу по датуму постављања.
У већини случајева, професори ће сами покренути снимање предавања. Уколико то не ураде, опцију за снимање се налази под [...] → Покрени снимање.

Уколико вам снимљена предавања требају у облику датотеке, можете урадити једно од следећег:
# Посетите једну од [[Остали материјали#Архиве|архива]] снимљених предавања и презуети снимљена предавања одатле
# Уколико сте ви снимали предавање, требало би да у хамбургер менију поред снимка предавања у листи снимака за предмет нађе и дугме за преузимање снимка
# Користити [[github:snobu/destreamer|софтвер за скидање снимака]] са ''Microsoft Stream''

== Излазак из тима ==
''Microsoft Teams'' платформа прави излазак из тимова безразложно тешком операцијом. Уколико желите да напустите неки тим, потребно је следеће:
# Да имате ''Android'' уређај
# Деинсталирате ''Microsoft Teams'' апликацију уколико је имате инсталирану
# Инсталирате [https://studentetfbgacrs-my.sharepoint.com/:u:/g/personal/sa190595d_student_etf_bg_ac_rs/ET1FuXmFjjRDkeUwCu4qzmoB1k4Lrw3hnZYam3iJgHnC9g старију верзију апликације за ''Android''] (могуће је да ћете морати да у својим сигурносним подешавањима дозволите инсталацију апликација из непознатих извора)
# Пријавите се са студентским налогом
# На дну листе тимова изаберете опцију за преглед свих тимова
# На том екрану ћете у менију са десне стране сваког тима моћи да изаберете опцију за излазак из тима

== Одјављивање са листе предмета ==
Након што завршите са неким предметом, можда вас више не занимају обавештења о њему. Бићете аутоматски одјављени са листе тог предмета кад се поново формирају листе тог истог предмета, али можете и се унапред одјавити са листа:
# Посетите [https://lists.etf.bg.ac.rs/ страницу за ЕТФ мејлинг листе]
# Уколико нисте раније правили налог на тој страници, [https://lists.etf.bg.ac.rs/wws/sendpasswd/ направите га.] Лозинка ће вам бити послата на мејл адресу
# Пријавите се са вашом студентском адресом е-поште и добијеном лозинком
# Изаберите у левој траци листу предмета са које хоћете да се одјавите
# Изаберите у левој траци "Unsubscribe"

[[Категорија:SI Wiki]]

Математика 2/Јун 2020

2020-06-25T08:51:35Z

Aleksasavic: /* 2. задатак */

{{tocright}}
== Први део ==
=== Теорија ===
==== 1. задатак ====
* Дефинисати примитивну функцију
* Дефинисати неодређени интеграл
* Увести смену у следеће интеграле, исписати без сређивања и решавања:
{| class="wikitable"
|-
! Интеграл !! Смена !! Интеграл са сменом
|-
| <math>\int \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}dx </math> || ||
|-
| <math>\int \frac{sinx}{sinx+cosx}dx </math> || ||
|}
* Следеће интеграле решити само ако су несвојствени:
{| class="wikitable"
|-
| <math> \int\limits_0^{+\infty} g(x)dx </math> || <math> \int\limits_1^5 g(x)dx </math> || <math> \int\limits_{-1}^{3} g(x)dx </math>
|}
Ако је <math> g(x) = \frac{1}{(x-5)^2} </math>
==== 2. задатак ====
* Извести решење линеарне диференцијалне једначине <math> y'(x) = Q(x)y(x) + P(x) </math>
* Којег су типа следеће диференцијалне једначине:
{| class="wikitable"
|-
| <math> y' + e^{\frac{y}{x}} = \frac{y}{x} </math>
|-
| <math> y' = \sqrt{\frac{1+x^2}{1+y^2}} </math>
|}
* Исказати методу варијације констаната
* Решити следећу диференцијалну једначину: <math>y'' + y = \frac{1}{sinx}</math>

=== Задаци ===
==== 1. задатак ====
* Извести рекуренту формулу за интеграл <math> \int sin^nxdx </math>
* Решити интеграл <math> \int sin^4x cos^2x dx </math>
* Наћи површину коју ограничава крива <math> y = sinx </math> и права <math> y = -1 </math>
==== 2. задатак ====
* Решити диференцијалну једначину <math> y' - y = 2cosx - 4sinx </math>
* Решити диференцијалну једначину <math> y'' - y = 2cosx - 4sinx </math>

== Други део ==
=== Теорија ===
=== 1. задатак ===
<div class="abc-list">
# За ред са позитивним члановима дефинисати Даламберов критеријум.
# За ред са позитивним члановима дефинисати Кошијев корени критеријум.
# Испитати конвергентност реда <math>\left(\frac{2k + 3}{4k + 5}\right)^k</math>.
</div>

=== 2. задатак ===
<div class="abc-list">
# Написати теорему о броју комбинација с понављањем.
# За задати скуп <math>\{c, T, 2\}</math> написати све комбинације са понављањем и одредити колико их има.
# За праву задату као пресек две равни детаљно описати два начина за налажење њеног параметарског облика уколико су дате једначине те две равни.
# За задате једначине две равни одредити параметарску једначину праве на оба начина: '''(?)'''
</div>

=== Задаци ===
=== 1. задатак ===
Дати су вектори <math>v_1 = (1, k, k)</math>, <math>v_2 = (-1, 1, 1)</math> и <math>v_3 = (-2, 1, k)</math>.
<div class="abc-list">
# Одредити линеарну зависност вектора у односу на вредност <math>k</math>.
# Уколико <math>k = \sqrt{2} - 1</math>, одредити површину паралелограма коју граде <math>v_1</math> и <math>v_2</math>.
# Уколико <math>k = 2</math>, одредити запремину парелелепипеда који граде ова три вектора.
</div>

=== 2. задатак ===
Испитати конвергенцију редова и сумирати ако су конвергентни:
<div class="abc-list">
# <math>\sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + 1}</math>
# <math>\sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{2^n + 1}{4^n}</math>
# <math>\sum_{n = 2}^{+\infty} n^2\left(\frac{1}{2} + \frac{2}{n}\right)^{-n}</math>
</div>

== Домаћи ==
=== П1 ===
==== 1. задатак ====
<div class="abc-list">
# <math>\int \frac{1}{x^2 + 2x + 2}</math>
# <math>\int \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 2}</math>
</div>

==== 2. задатак ====
Одредити оно партикуларно решење диференцијалне једначине <math>(x + 1) dx + (y - 1) dy = 0</math> које пролази кроз тачку <math>(1, 1)</math>.

==== 3. задатак ====
Наћи екстремуме: <math>z(x, y) = x^2 + y^2 - 4(x - y)</math>

==== 4. задатак ====
Наћи параметар <math>a</math> тако да сопствена вредност матрице буде 2:

'''(?)'''

==== 5. задатак ====
Наћи све седмоцифрене бројеве у којима се јављају три јединице, две двојке и две тројке.

[[Категорија:Математика 2]]

Математика 2/Предавања П2/П3

2020-03-11T20:30:56Z

Aleksasavic: /* Парцијални изводи */

Ова страница садржи материјале са предавања за групе П2 и П3 код професорки Татјане Лутовац и Марије Рашајски.

== Неодређени интеграл ==
<div class="noprint">
: ''Пропратни материјал: [[{{ns:6}}:M2 Neodređeni integrali P3.pdf]]
</div>
; Дефиниција 1.1: Примитивна функција дате функције <math>f</math> на датом интервалу <math>I</math> је свака функција <math>F(x)</math> за коју важи <math>(\forall x \in I) F'(x) = f(x)</math>.

; Теорема 1.1:
# Ако је <math>F</math> примитивна функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math> тада је и функција <math>F(x) + c</math> такође примитивна функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>.<br />'''Доказ:''' <math>(\forall x \in I) (F(x) + c)' = F'(x) = f(x)</math>
# Ако су <math>F_1(x)</math> и <math>F_2(x)</math> примитивне функције функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>, тада постоји константа <math>C \in \mathbb{R}</math> тако да <math>(\forall x \in I) F_1(x) = F_2(x) + C</math><br />'''Доказ:''' <math>F_1(x)</math>, <math>F_2(x)</math> су примитивне функције функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>. Посматрајмо <math>F_1(x) - F_2(x)</math> на интервалу <math>I</math>:
#: <math>(\forall x \in I) (F_1(x) - F_2(x))' = f(x) - f(x) = 0 \implies (\exists c \in \mathbb{R}) (\forall x \in I) F_1(x) - F_2(x) = c</math>

; Дефиниција 1.2: Скуп свих примитивних функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math> зове се неодређени интеграл функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>: <math>\{F(x) + c | c \in \mathbb{R}\}</math> (где је <math>F(x)</math> једна примитивна функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>).

; Теорема 1.2: Ако функције <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> имају примитивну функцију на интервалу <math>I</math> тада на том интервалу важи следеће:
# <math>d\left(\int f(x) dx\right) = f(x) \cdot dx</math>
# <math>\left(\int f(x) dx\right)' = f(x)</math>
# <math>\int dF(x) = F(x) + c</math>, <math>c \in \mathbb{R}</math>
# '''Линеарност интеграла:''' <math>\int (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \int \alpha f(x) dx + \int \beta g(x) dx</math>
; Доказ:
# <math>d\left(\int f(x) dx\right) = d(F(x) + c) = d(F(x)) = F'(x) \cdot dx = f(x) \cdot dx</math>
# <math>\frac{d\left(\int f(x) dx\right)}{dx} = \left(\int f(x) dx\right)' = f(x)</math>
# <math>\int dF(x) = \int F'(x) dx = \int f(x) dx = F(x) + c</math>, <math>c \in \mathbb{R}</math>

=== Таблица неодређених интеграла ===
# <math>\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C</math>, <math>\alpha \neq -1</math>
# <math>\int \frac{1}{x} dx = ln|x| + C</math>, <math>x \neq 0</math>
# <math>\int \alpha^x dx = \frac{\alpha^x}{ln a} + C</math>, <math>a > 0, a \neq 1</math>
# <math>\int e^x dx = e^x + C</math>
# <math>\int \frac{dx}{1 + x^2} = arctg x + C = -arcctg x + C_1</math>
# <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = arcsin x + C = -arccos x + C_1</math> (<math>|x| < 1</math>)
# <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm 1}} = ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm 1}\right| + C = \left\{
\begin{array}{ll}
arsh x + C & za + \\
arch x + C & za - i x > 1
\end{array}
\right.
</math>
# <math>\int \frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2} ln\left|\frac{1 + x}{1 - x}\right| + C = \left\{
\begin{array}{ll}
arth x + C & za \left|x\right| < 1 \\
arcth x + C & za \left|x\right| > 1
\end{array}
\right.
</math>
# <math>\int sinx dx = -cos x + C</math>
# <math>\int cos x dx = sin x + C</math>
# <math>\int \frac{dx}{cos^2 x} = tg x + C</math>
# <math>\int \frac{dx}{sin^2 x} = -ctg x + C</math>
# <math>\int sh x dx = ch x + C</math>
# <math>\int ch x dx = sh x + C</math>
# <math>\int \frac{dx}{ch^2 x} = th x + C</math>
# <math>\int \frac{dx}{sh^2 x} = -cth x + C</math>

=== Теорема о линеарности интеграла ===

=== Метод смене променљиве ===
; Теорема 1.3: Нека је функција <math>f</math> непрекидна функција на интервалу <math>I</math> и нека је <math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>, <math>C \in \mathbb{R}</math>. Нека је функција <math>\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I</math> и нека су <math>\varphi</math> и <math>\varphi'(x)</math> непрекидне и <math>\left(\forall x \in (\alpha, \beta)\right) \varphi'(x) \neq 0</math>. Тада важи:
: <math>\int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = F(\varphi(t)) + c</math> (<math>x = \varphi(t)</math>, <math>t \in (\alpha, \beta)</math>, <math>\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I</math>)

=== Метод парцијалне интеграције ===
; Теорема 1.4: Ако су <math>u(x)</math> и <math>v(x)</math> диференцијабилне на <math>I</math> и ако на <math>I</math> постоје примитивне функције функција <math>u'(x)v(x)</math> и <math>u(x)v'(x)</math> тада на <math>I</math> важи:
: <math>\int u(x)dv(x) = u(x) \cdot v(x) - \int v(x) du(x) + C</math>

=== Метод рекурентних формула ===

=== Свођење квадратног тринома на канонски облик ===
<math>ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left(x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(\frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right)</math>

=== Метод неодређених коефицијената ===

=== Интеграција рационалних функција ===
; Дефиниција 1.3: '''Рационална функција''' је функција облика <math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> где су <math>P_n(x)</math> и <math>Q_m(x)</math> полиноми реда <math>n</math> и <math>m</math>. '''Права рационална функција''' је рационална функција где је <math>n < m</math>. Како би се применио метод интеграције рационалних функција, рационална функција се мора свести на праву. Након тога, полином <math>Q_m(x)</math> се мора раставити на реалне факторе и са сваки се мора одредити збир елементарних рационалних функција (парцијалних разломака). Подинтегрална функција једнака је збиру свих парцијалних разломака, одакле се добију неодређени коефицијенти.

{| class="wikitable"
! Реални фактор
! Збир парцијалних разломака
|-
| <math>(x - a)^k</math>, <math>a \in \mathbb{R}</math>, <math>k \in \mathbb{N}</math>
| <math>\frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + ... + \frac{A_k}{(x - a)^k}</math>
|-
| <math>(x^2 + px + q)^k</math>, <math>p - 4q < 0</math>, <math>k \in \mathbb{N}</math>
| <math>\frac{A_1x + B_1}{x^2 + px + q} + \frac{A_2x + B_2}{(x^2 + px + q)^2} + ... + \frac{A_kx + B_k}{(x^2 + px + q)^k}</math>
|}

=== Интеграција неких ирационалних функција ===
# <math>\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x) \sqrt{ax^2 + bx + c} + \lambda \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}</math>
#
#* <math>\sqrt{a^2 - x^2}</math> - смена: <math>x = asin(t)</math>
#* <math>\sqrt{x^2 - a^2}</math> - смена: <math>x = \frac{a}{cos(t)}</math>
#* <math>\sqrt{x^2 + a^2}</math> - смена: <math>x = atg(t)</math>
# <math>\int R\left(x, \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{\frac{p_1}{q_1}}, ..., \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{\frac{p_k}{q_k}}\right)dx</math>, смена: <math>\frac{ax + b}{cx + d} = t^{NZS(q_1, q_2, ..., q_k)}</math>

=== Интеграција тригонометријских функција ===
# Ако подинтегрална функција зависи од <math>sin(x)</math> и/или <math>cos(x)</math> и заменом <math>sin(x)</math> за <math>-sin(x)</math> и <math>cos(x)</math> за <math>-cos(x)</math> се добије иста функција, смена која се примењује је <math>t = tg(x)</math>.
# Ако подинтегрална функција зависи од <math>sin(x)</math> и/или <math>cos(x)</math> и заменом <math>cos(x)</math> за <math>-cos(x)</math> се добије негација исте функције, смена која се примењује је <math>t = sin(x)</math>.
# Ако подинтегрална функција зависи од <math>sin(x)</math> и/или <math>cos(x)</math> и заменом <math>sin(x)</math> за <math>-sin(x)</math> се добије негација исте функције, смена која се примењује је <math>t = cos(x)</math>.
# У супротном може се применити смена <math>t = tg\frac{x}{2}</math> која може довести до компликованих рационалних функција.

== Риманов одређени интеграл ==
<div class="noprint">
: ''Пропратни материјал: [[{{ns:6}}:M2 Određeni integral P3.pdf]]
</div>
; Дефиниција 2.1: Подела сегмента <math>[a, b]</math> је коначан скуп тачака <math>\{x_0, x_1, ..., x_n\}</math> где <math>a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = b</math> (ознака <math>P</math>). На сваком <math>[x_{i-1}, x_i]</math>, <math>i = 1...n</math> бирамо прозвољну тачку <math>t_i</math> и називамо их истакнутим тачкама.
: Сума <math>\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i - 1})</math> зове се интегрална (Риманова) сума функције <math>f</math> на сегменту <math>[a, b]</math>, за изабрану поделу <math>P</math> са изабраним истакнутим тачкама <math>t_1, t_2, ..., t_n</math> (ознака <math>S(f, a, b, P, t)</math>).

; Дефиниција 2.2: Норма поделе <math>P</math> (ознака <math>||P||</math>) је <math>max(x_i - x_{i - 1})</math>, где <math>1 \leq i \leq n</math>.
: <math>||P|| \to 0 \implies n \to +\infty</math>, али не важи и <math>n \to +\infty \implies ||P|| \to 0</math>.

; Дефиниција 2.3: Ако постоји реалан број <math>I</math> тако да <math>\lim_{||P|| \to 0} \left(\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1})\right) = I</math> за сваку поделу <math>P</math> на сегменту <math>[a, b]</math> тада се тај број зове Риманов (одређени) интеграл функције <math>f</math> на сегменту <math>[a, b]</math> (ознака <math>\int_a^b f(x) dx</math>).

; Дефиниција 2.4: Функција <math>f</math> је интеграбилна на сегменту <math>[a, b]</math> ако постоји <math>I \in \mathbb{R}</math> тако да <math>\lim_{||P|| \to 0} \left(\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1})\right) = I</math>.
; Последице:
# <math>\int_a^a f(x) dx = 0</math>
# <math>a < b</math>, <math>\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx</math>

=== Потребни и довољни услови за интеграбилност ===
; Теорема 2.1:
# Ако је функција <math>f</math> интеграбилна на одсечку <math>[a, b]</math> тада је <math>f</math> ограничена на <math>[a, b]</math>.
# Ако је <math>f</math> непрекидна на <math>[a, b]</math> тада је <math>f</math> интеграбилна на <math>[a, b]</math>.
# Ако је <math>f</math> дефинисана и ограничена на <math>[a, b]</math> и ако на одсечку <math>[a, b]</math> има коначно много тачака прекида, тада је <math>f</math> интеграбилна на <math>[a, b]</math>.
# Ако је <math>f</math> монотона на одсечку <math>[a, b]</math> тада је <math>f</math> интеграбилна на <math>[a, b]</math>.

=== Својства Римановог одређеног интеграла ===
; Теорема 2.2: Нека су функције <math>f</math> и <math>g</math> интеграбилне на <math>[a, b]</math>. Тада важи:
# Линеарност интеграла: <math>\int_a^b \left(\alpha f(x) + \beta g(x)\right) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx </math>
# Адитивност интеграла: <math>\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx</math>, <math>c \in [a, b]</math>
# Модуларна неједнакост: Функција <math>|f(x)|</math> је интеграбилна на <math>[a, b]</math> и важи <math>\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx</math>
# Функција <math>f(x) \cdot g(x)</math> је интеграбилна на <math>[a, b]</math>.
# Функција <math>f(x)</math> је интеграбилна на <math>[\alpha, \beta] \subseteq [a, b]</math>.
# Ако је <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) = f_1(x)</math> осим у коначно много тачака, тада је функција интеграбилна на <math>[a, b]</math> и важи <math>\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f_1(x) dx</math>.
#
#* <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0 \implies \int_a^b f(x) dx \geq 0</math>
#* <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) > 0 \implies \int_a^b f(x) dx > 0</math>
# Монотоност интеграла:
#* <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) \leq g(x) \implies \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx</math>
#* <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) < g(x) \implies \int_a^b f(x) dx < \int_a^b g(x) dx</math>

=== Веза између Римановог одређеног интеграла и неодређеног интеграла ===
; Теорема 2.3: Ако је <math>f</math> непрекидна функција на интервалу <math>I</math> и ако је <math>F</math> било која примитивна функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>, тада за сваки сегмент <math>[a, b] \subset I</math> важи:
: <math>\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</math>

=== Методи интеграције одређеног интеграла ===
; Теорема 2.4: (Парцијална интеграција) Ако су функције <math>u(x)</math>, <math>v(x)</math>, <math>u'(x)</math> и <math>v'(x)</math> непрекидне на <math>[a, b]</math> тада је
: <math>\int_a^b u(x) dv(x) = (u(x) v(x)) |_a^b - \int_a^b v(x) du(x)</math>

; Теорема 2.5: (Смена променљиве код одређеног интеграла)
# '''Смена <math>x = \varphi(t)</math>:''' <math>\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) dt</math> ако важи следеће:
#* функција <math>f: [a, b] \to \mathbb{R}</math> је непрекидна,
#* <math>a = \varphi(\alpha)</math>, <math>b = \varphi(\beta)</math>,
#* функције <math>\varphi: [\alpha, \beta] \to [a, b]</math> и <math>\varphi'</math> су непрекидне на <math>[\alpha, \beta]</math>
#* функција <math>f(\varphi(t))</math> је дефинисана за све вредности <math>t \in [\alpha, \beta]</math>.
# '''Смена <math>t = g(x)</math>:''' ако важи следеће:
#* функција <math>f: [a, b] \to \mathbb{R}</math> је непрекидна,
#* <math>g(a) = \alpha</math>, <math>g(b) = \beta</math>,
#* функција <math>g</math> је строго монотона на <math>[a, b]</math>
#* инверзна функција <math>g^{-1}</math> има непрекидан извод на <math>[\alpha, \beta]</math>.

; Теорема 2.6: Ако је <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> непрекидна и периодична функција са периодом <math>T</math>, тада важи:
: <math>\int_0^T f(x) dx = \int_a^{a+T} f(x) dx</math>, (<math>a \in \mathbb{R}</math>)

; Теорема 2.7: Ако је <math>f</math> непрекидна функција на <math>[-a, a]</math>, тада важи:
: <math>\int_{-a}^a f(x) dx = \left\{
\begin{array}{ll}
0, & ako je f neparna funkcija \\
2 \int_0^a f(x) dx, & ako je f parna funkcija
\end{array}
\right.</math>

; Теорема 2.8: Ако је <math>f</math> непрекидна на <math>[a, b]</math> и <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0</math> тада је површина фигуре која је ограничена кривом <math>y = f(x)</math>, правима <math>x = a</math>, <math>x = b</math>, и <math>x</math>-осом једнака <math>\int_a^b f(x) dx</math>.

=== Несвојствени интеграли ===
<div class="noprint">
: ''Пропратни материјал: [[{{ns:6}}:M2 Nesvojstveni integrali P3.pdf]]''
</div>
Несвојствени интеграли су интеграли чији интервал интеграције није коначан или подинтегрална функција није ограничена на интервалу.

; Дефиниција 2.5: (Бесконачан интервал)
# Нека је <math>f</math> дефинисана на <math>[0, +\infty)</math> и нека је интеграбилна на сваком коначном сегменту <math>[a, \beta] \subset [a, +\infty)</math>.
#: <math>\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{\beta \to +\infty} (\int_a^{\beta} f(x) dx)</math>
# Нека је <math>f</math> дефинисана на <math>(-\infty, b)</math> и нека је интеграбилна на сваком коначном сегменту <math>[\alpha, b] \subset (-\infty, b]</math>.
#: <math>\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{\alpha \to -\infty} (\int_{\alpha}^b f(x) dx)</math>
# Нека је <math>f</math> дефинисана на <math>\mathbb{R}</math> и нека је интеграбилна на сваком коначном сегменту <math>[\alpha, \beta] \subset \mathbb{R}</math>.
#: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{+\infty} f(x) dx = \lim_{\alpha \to -\infty} \left(\int_{\alpha}^c f(x) dx\right) + \lim_{\beta \to +\infty} (\int_c^{\beta} f(x) dx)</math>
#: (<math>c \in \mathbb{R}</math>)

; Дефиниција 2.6: (Неограничена подинтегрална функција)
# Нека је <math>f</math> дефинисана на <math>[a, b)</math> и нека није 0 у левој околини тачке <math>b</math>.
#: <math>\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to b^{-}} \int_a^c f(x) dx</math>
# Нека је <math>f</math> дефинисана на <math>(a, b]</math> и нека није 0 у десној околини тачке <math>a</math>.
#: <math>\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to a^{+}} \int_c^b f(x) dx</math>
# Нека је <math>f</math> дефинисана на <math>(a, b)</math> и нека није 0 у левој околини тачке <math>b</math> и десној околини тачке <math>a</math>.
#: <math>\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \lim_{d \to a^{+}} (\int_d^c f(x) dx) + \lim_{e \to b^{-}} (\int_c^e f(x) dx)</math>
#: (<math>c \in \mathbb{R}</math>)

== Функције више променљивих ==
; Дефиниција 3.1: Пресликавање <math>f: D \to \mathbb{R}</math> где је <math>D \subseteq \mathbb{R}^n</math> зове се реална функција са <math>n</math> независних променљивих чији је домен <math>D</math>.

=== Гранична вредност и непрекидност ===
; Дефиниција 3.2: Растојање између тачака <math>X</math> и <math>Y</math> где су <math>X, Y \in \mathbb{R}^n</math> тако да <math>X = (x_1, x_2, ..., x_n)</math> и <math>Y = (y_1, y_2, ..., y_n)</math> једнако је <math>d(X, Y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + ... + (x_n - y_n)^2}</math>

; Дефиниција 3.3: Нека је дата тачка <math>M_0(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2</math> и нека је дато <math>\delta > 0</math> (<math>\delta \in \mathbb{R}</math>). <math>\delta</math>-околина тачке <math>M_0</math> је тада скуп <math>\{M = (x, y) \in \mathbb{R}^2|d(M_0, M) < \delta\}</math>.

; Дефиниција 3.4: Нека је <math>f</math> дефинисана у некој околини тачке <math>M_0(x_0, y_0)</math> (<math>K[x_0, r)</math> за <math>r > 0</math>).
# <math>\lim_{x \to x_0, y \to y_0} f(x, y) = a \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > \varepsilon)(\forall M(x, y) \in Dom(f))(0 < d(M_0, M) < \delta \implies f(M) \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon))</math> (<math>a \in \mathbb{R}</math>)
# <math>\lim_{X \to M_0} f(X) = +\infty \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall M(x, y) \in D_f)(0 < d(M_0, M) < \delta \implies f(M) \in (\varepsilon, +\infty))</math>
# <math>\lim_{X \to M_0} f(X) = -\infty \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall M(x, y) \in D_f)(0 < d(M_0, M) < \delta \implies f(M) \in (-\infty, \varepsilon))</math>

; Дефиниција 3.5: Нека је <math>f(x, y)</math> дефинисана у некој околини тачке <math>M_0(x_0, y_0)</math>. Ако је <math>\lim_{X \to M_0} f(X) = f(M_0)</math> каже се да је <math>f</math> непрекидна у <math>M_0</math>.

; Дефиниција 3.6: Ако је <math>f</math> непрекидна у свакој тачки неке области <math>S \subseteq D_f</math> кажемо да је непрекидна у области <math>S</math>.

=== Парцијални изводи ===
; Дефиниција 3.7: Нека је <math>f(x, y)</math> дефинисана на некој области <math>S \subseteq D_f \subseteq \mathbb{R}^2</math>. Нека тачке <math>M_0(x_0, y_0)</math>, <math>(x_0 + \Delta x, y_0)</math>, <math>(x_0, y_0 + \Delta y)</math> и <math>(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)</math> припадају <math>S</math>. Разлика <math>f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)</math> зове се (парцијални) прираштај функције <math>f</math> по променљивој <math>x</math> у тачки <math>(x_0, y_0)</math>. Разлика <math>f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)</math> зове се (парцијални) прираштај функције <math>f</math> по променљивој <math>y</math> у тачки <math>(x_0, y_0)</math>. Разлика <math>f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)</math> зове се потпуни прираштај.

; Дефиниција 3.8: Ако постоји <math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}</math> он се зове први парцијални извод по променљивој <math>x</math> функције <math>f</math>. Ако постоји <math>\lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}</math> он се зове први парцијални извод по променљивој <math>y</math> функције <math>f</math>. Ознака: <math>f'_x(x, y)</math> или <math>\frac{\partial f}{\partial x}|_{M_0(x_0, y_0)}</math>.

; Дефиниција 3.9: <math>f</math> је диференцијабилна у <math>M_0</math> ако и само ако се <math>f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0, y_0)</math> може представити у облику <math>\Delta f = A \Delta x + B \Delta y + h(\Delta x, \Delta y)</math> где су <math>A</math> и <math>B</math> бројеви тако да <math>\lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0} \frac{h(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = 0</math> и <math>A</math> и <math>B</math> зависе само од координата <math>x_0</math> и <math>y_0</math>, и где се <math>A \Delta x + B \Delta y</math> назива тоталним диференцијалом у <math>M_0</math> (ознака <math>df</math>).

; Теорема 3.1: Ако је <math>f(x, y)</math> диференцијабилна у <math>M_0(x_0, y_0)</math> онда је <math>f(x, y)</math> непрекидна у <math>M_0</math>, из чега следи да постоје парцијални изводи <math>f(x, y)</math> у <math>M_0</math>.

; Теорема 3.2: Ако <math>f(x, y)</math> има парцијалне изводе у некој околини <math>M_0</math> и ако су ти парцијални изводи непрекидни у <math>M_0</math> тада је <math>f(x, y)</math> диференцијабилна у <math>M_0</math> и важи:
: <math>df = \frac{\partial f}{\partial x}|_{M_0} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}|_{M_0} \Delta y = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy</math>

==== Парцијални изводи вишег реда ====
: <math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}</math>
: Мешовити парцијални изводи: <math>\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}</math>
: Виши диференцијали: <math>d^2 f = d(df) = d\left(\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy\right) = d\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) dx + \frac{\partial f}{\partial x} d(dx) +</math>
: <math>+ d\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) dy + \frac{\partial f}{\partial y} d(dy) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} dy\right) dx + \left(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} dx + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} dy\right) dy =</math>
: <math>= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} dx dy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} dy^2</math>

; Теорема 3.3: Ако су <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}</math> и <math>\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}</math> непрекидне функције у области <math>S</math> тада су оне у тој области једнаке.

=== Локалне екстремне вредности ===
; Дефиниција 3.10: <math>M_0(x_0, y_0)</math> је локални максимум (односно минимум) функције <math>f(x, y)</math> ако и само ако постоји околина <math>K[M_0, \delta)</math> (<math>\delta > 0</math>) тако да важи <math>(\forall M \in K[M_0, S)) f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)) \leq 0</math> (односно <math>\geq 0</math>).

; Теорема 3.4: Ако <math>f</math> у <math>M_0</math> има локалну екстремну вредност тада у <math>M_0</math> важи да <math>\frac{\partial f}{\partial x}|_{M_0} = 0</math> и <math>\frac{\partial f}{\partial y}|_{M_0} = 0</math>.

; Теорема 3.5: Нека је <math>M_0</math> стационарна тачка <math>f(x, y)</math>. Уводимо ознаке <math>A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}</math>, <math>B = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}</math>, <math>C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math> и <math>\Delta(M_0) = (A \cdot C - B^2)|_{M_0}</math>.
# Ако је <math>\Delta(M_0) > 0</math>, онда <math>f</math> има локални екстремум у <math>M_0</math> и то:
#* минимум ако <math>A > 0</math>
#* максимум ако <math>A < 0</math>
# Ако је <math>\Delta(M_0) < 0</math>, онда немамо локални екстремум у <math>M_0</math>.
# Ако је <math>\Delta(M_0) = 0</math> онда морамо вршити додатна испитивања како бисмо одредили да ли има локалног екстремума у тој тачки.

Математика 2/Предавања П2/П3

2020-03-11T20:29:30Z

Aleksasavic: /* Интеграција тригонометријских функција */

Ова страница садржи материјале са предавања за групе П2 и П3 код професорки Татјане Лутовац и Марије Рашајски.

== Неодређени интеграл ==
<div class="noprint">
: ''Пропратни материјал: [[{{ns:6}}:M2 Neodređeni integrali P3.pdf]]
</div>
; Дефиниција 1.1: Примитивна функција дате функције <math>f</math> на датом интервалу <math>I</math> је свака функција <math>F(x)</math> за коју важи <math>(\forall x \in I) F'(x) = f(x)</math>.

; Теорема 1.1:
# Ако је <math>F</math> примитивна функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math> тада је и функција <math>F(x) + c</math> такође примитивна функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>.<br />'''Доказ:''' <math>(\forall x \in I) (F(x) + c)' = F'(x) = f(x)</math>
# Ако су <math>F_1(x)</math> и <math>F_2(x)</math> примитивне функције функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>, тада постоји константа <math>C \in \mathbb{R}</math> тако да <math>(\forall x \in I) F_1(x) = F_2(x) + C</math><br />'''Доказ:''' <math>F_1(x)</math>, <math>F_2(x)</math> су примитивне функције функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>. Посматрајмо <math>F_1(x) - F_2(x)</math> на интервалу <math>I</math>:
#: <math>(\forall x \in I) (F_1(x) - F_2(x))' = f(x) - f(x) = 0 \implies (\exists c \in \mathbb{R}) (\forall x \in I) F_1(x) - F_2(x) = c</math>

; Дефиниција 1.2: Скуп свих примитивних функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math> зове се неодређени интеграл функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>: <math>\{F(x) + c | c \in \mathbb{R}\}</math> (где је <math>F(x)</math> једна примитивна функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>).

; Теорема 1.2: Ако функције <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> имају примитивну функцију на интервалу <math>I</math> тада на том интервалу важи следеће:
# <math>d\left(\int f(x) dx\right) = f(x) \cdot dx</math>
# <math>\left(\int f(x) dx\right)' = f(x)</math>
# <math>\int dF(x) = F(x) + c</math>, <math>c \in \mathbb{R}</math>
# '''Линеарност интеграла:''' <math>\int (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \int \alpha f(x) dx + \int \beta g(x) dx</math>
; Доказ:
# <math>d\left(\int f(x) dx\right) = d(F(x) + c) = d(F(x)) = F'(x) \cdot dx = f(x) \cdot dx</math>
# <math>\frac{d\left(\int f(x) dx\right)}{dx} = \left(\int f(x) dx\right)' = f(x)</math>
# <math>\int dF(x) = \int F'(x) dx = \int f(x) dx = F(x) + c</math>, <math>c \in \mathbb{R}</math>

=== Таблица неодређених интеграла ===
# <math>\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C</math>, <math>\alpha \neq -1</math>
# <math>\int \frac{1}{x} dx = ln|x| + C</math>, <math>x \neq 0</math>
# <math>\int \alpha^x dx = \frac{\alpha^x}{ln a} + C</math>, <math>a > 0, a \neq 1</math>
# <math>\int e^x dx = e^x + C</math>
# <math>\int \frac{dx}{1 + x^2} = arctg x + C = -arcctg x + C_1</math>
# <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = arcsin x + C = -arccos x + C_1</math> (<math>|x| < 1</math>)
# <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm 1}} = ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm 1}\right| + C = \left\{
\begin{array}{ll}
arsh x + C & za + \\
arch x + C & za - i x > 1
\end{array}
\right.
</math>
# <math>\int \frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2} ln\left|\frac{1 + x}{1 - x}\right| + C = \left\{
\begin{array}{ll}
arth x + C & za \left|x\right| < 1 \\
arcth x + C & za \left|x\right| > 1
\end{array}
\right.
</math>
# <math>\int sinx dx = -cos x + C</math>
# <math>\int cos x dx = sin x + C</math>
# <math>\int \frac{dx}{cos^2 x} = tg x + C</math>
# <math>\int \frac{dx}{sin^2 x} = -ctg x + C</math>
# <math>\int sh x dx = ch x + C</math>
# <math>\int ch x dx = sh x + C</math>
# <math>\int \frac{dx}{ch^2 x} = th x + C</math>
# <math>\int \frac{dx}{sh^2 x} = -cth x + C</math>

=== Теорема о линеарности интеграла ===

=== Метод смене променљиве ===
; Теорема 1.3: Нека је функција <math>f</math> непрекидна функција на интервалу <math>I</math> и нека је <math>\int f(x) dx = F(x) + C</math>, <math>C \in \mathbb{R}</math>. Нека је функција <math>\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I</math> и нека су <math>\varphi</math> и <math>\varphi'(x)</math> непрекидне и <math>\left(\forall x \in (\alpha, \beta)\right) \varphi'(x) \neq 0</math>. Тада важи:
: <math>\int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = F(\varphi(t)) + c</math> (<math>x = \varphi(t)</math>, <math>t \in (\alpha, \beta)</math>, <math>\varphi: (\alpha, \beta) \mapsto I</math>)

=== Метод парцијалне интеграције ===
; Теорема 1.4: Ако су <math>u(x)</math> и <math>v(x)</math> диференцијабилне на <math>I</math> и ако на <math>I</math> постоје примитивне функције функција <math>u'(x)v(x)</math> и <math>u(x)v'(x)</math> тада на <math>I</math> важи:
: <math>\int u(x)dv(x) = u(x) \cdot v(x) - \int v(x) du(x) + C</math>

=== Метод рекурентних формула ===

=== Свођење квадратног тринома на канонски облик ===
<math>ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left(x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(\frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right)</math>

=== Метод неодређених коефицијената ===

=== Интеграција рационалних функција ===
; Дефиниција 1.3: '''Рационална функција''' је функција облика <math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> где су <math>P_n(x)</math> и <math>Q_m(x)</math> полиноми реда <math>n</math> и <math>m</math>. '''Права рационална функција''' је рационална функција где је <math>n < m</math>. Како би се применио метод интеграције рационалних функција, рационална функција се мора свести на праву. Након тога, полином <math>Q_m(x)</math> се мора раставити на реалне факторе и са сваки се мора одредити збир елементарних рационалних функција (парцијалних разломака). Подинтегрална функција једнака је збиру свих парцијалних разломака, одакле се добију неодређени коефицијенти.

{| class="wikitable"
! Реални фактор
! Збир парцијалних разломака
|-
| <math>(x - a)^k</math>, <math>a \in \mathbb{R}</math>, <math>k \in \mathbb{N}</math>
| <math>\frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + ... + \frac{A_k}{(x - a)^k}</math>
|-
| <math>(x^2 + px + q)^k</math>, <math>p - 4q < 0</math>, <math>k \in \mathbb{N}</math>
| <math>\frac{A_1x + B_1}{x^2 + px + q} + \frac{A_2x + B_2}{(x^2 + px + q)^2} + ... + \frac{A_kx + B_k}{(x^2 + px + q)^k}</math>
|}

=== Интеграција неких ирационалних функција ===
# <math>\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}dx = Q_{n-1}(x) \sqrt{ax^2 + bx + c} + \lambda \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}</math>
#
#* <math>\sqrt{a^2 - x^2}</math> - смена: <math>x = asin(t)</math>
#* <math>\sqrt{x^2 - a^2}</math> - смена: <math>x = \frac{a}{cos(t)}</math>
#* <math>\sqrt{x^2 + a^2}</math> - смена: <math>x = atg(t)</math>
# <math>\int R\left(x, \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{\frac{p_1}{q_1}}, ..., \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{\frac{p_k}{q_k}}\right)dx</math>, смена: <math>\frac{ax + b}{cx + d} = t^{NZS(q_1, q_2, ..., q_k)}</math>

=== Интеграција тригонометријских функција ===
# Ако подинтегрална функција зависи од <math>sin(x)</math> и/или <math>cos(x)</math> и заменом <math>sin(x)</math> за <math>-sin(x)</math> и <math>cos(x)</math> за <math>-cos(x)</math> се добије иста функција, смена која се примењује је <math>t = tg(x)</math>.
# Ако подинтегрална функција зависи од <math>sin(x)</math> и/или <math>cos(x)</math> и заменом <math>cos(x)</math> за <math>-cos(x)</math> се добије негација исте функције, смена која се примењује је <math>t = sin(x)</math>.
# Ако подинтегрална функција зависи од <math>sin(x)</math> и/или <math>cos(x)</math> и заменом <math>sin(x)</math> за <math>-sin(x)</math> се добије негација исте функције, смена која се примењује је <math>t = cos(x)</math>.
# У супротном може се применити смена <math>t = tg\frac{x}{2}</math> која може довести до компликованих рационалних функција.

== Риманов одређени интеграл ==
<div class="noprint">
: ''Пропратни материјал: [[{{ns:6}}:M2 Određeni integral P3.pdf]]
</div>
; Дефиниција 2.1: Подела сегмента <math>[a, b]</math> је коначан скуп тачака <math>\{x_0, x_1, ..., x_n\}</math> где <math>a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = b</math> (ознака <math>P</math>). На сваком <math>[x_{i-1}, x_i]</math>, <math>i = 1...n</math> бирамо прозвољну тачку <math>t_i</math> и називамо их истакнутим тачкама.
: Сума <math>\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i - 1})</math> зове се интегрална (Риманова) сума функције <math>f</math> на сегменту <math>[a, b]</math>, за изабрану поделу <math>P</math> са изабраним истакнутим тачкама <math>t_1, t_2, ..., t_n</math> (ознака <math>S(f, a, b, P, t)</math>).

; Дефиниција 2.2: Норма поделе <math>P</math> (ознака <math>||P||</math>) је <math>max(x_i - x_{i - 1})</math>, где <math>1 \leq i \leq n</math>.
: <math>||P|| \to 0 \implies n \to +\infty</math>, али не важи и <math>n \to +\infty \implies ||P|| \to 0</math>.

; Дефиниција 2.3: Ако постоји реалан број <math>I</math> тако да <math>\lim_{||P|| \to 0} \left(\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1})\right) = I</math> за сваку поделу <math>P</math> на сегменту <math>[a, b]</math> тада се тај број зове Риманов (одређени) интеграл функције <math>f</math> на сегменту <math>[a, b]</math> (ознака <math>\int_a^b f(x) dx</math>).

; Дефиниција 2.4: Функција <math>f</math> је интеграбилна на сегменту <math>[a, b]</math> ако постоји <math>I \in \mathbb{R}</math> тако да <math>\lim_{||P|| \to 0} \left(\sum_{i = 1}^n f(t_i) (x_i - x_{i-1})\right) = I</math>.
; Последице:
# <math>\int_a^a f(x) dx = 0</math>
# <math>a < b</math>, <math>\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx</math>

=== Потребни и довољни услови за интеграбилност ===
; Теорема 2.1:
# Ако је функција <math>f</math> интеграбилна на одсечку <math>[a, b]</math> тада је <math>f</math> ограничена на <math>[a, b]</math>.
# Ако је <math>f</math> непрекидна на <math>[a, b]</math> тада је <math>f</math> интеграбилна на <math>[a, b]</math>.
# Ако је <math>f</math> дефинисана и ограничена на <math>[a, b]</math> и ако на одсечку <math>[a, b]</math> има коначно много тачака прекида, тада је <math>f</math> интеграбилна на <math>[a, b]</math>.
# Ако је <math>f</math> монотона на одсечку <math>[a, b]</math> тада је <math>f</math> интеграбилна на <math>[a, b]</math>.

=== Својства Римановог одређеног интеграла ===
; Теорема 2.2: Нека су функције <math>f</math> и <math>g</math> интеграбилне на <math>[a, b]</math>. Тада важи:
# Линеарност интеграла: <math>\int_a^b \left(\alpha f(x) + \beta g(x)\right) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx </math>
# Адитивност интеграла: <math>\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx</math>, <math>c \in [a, b]</math>
# Модуларна неједнакост: Функција <math>|f(x)|</math> је интеграбилна на <math>[a, b]</math> и важи <math>\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx</math>
# Функција <math>f(x) \cdot g(x)</math> је интеграбилна на <math>[a, b]</math>.
# Функција <math>f(x)</math> је интеграбилна на <math>[\alpha, \beta] \subseteq [a, b]</math>.
# Ако је <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) = f_1(x)</math> осим у коначно много тачака, тада је функција интеграбилна на <math>[a, b]</math> и важи <math>\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f_1(x) dx</math>.
#
#* <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0 \implies \int_a^b f(x) dx \geq 0</math>
#* <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) > 0 \implies \int_a^b f(x) dx > 0</math>
# Монотоност интеграла:
#* <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) \leq g(x) \implies \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx</math>
#* <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) < g(x) \implies \int_a^b f(x) dx < \int_a^b g(x) dx</math>

=== Веза између Римановог одређеног интеграла и неодређеног интеграла ===
; Теорема 2.3: Ако је <math>f</math> непрекидна функција на интервалу <math>I</math> и ако је <math>F</math> било која примитивна функција функције <math>f</math> на интервалу <math>I</math>, тада за сваки сегмент <math>[a, b] \subset I</math> важи:
: <math>\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</math>

=== Методи интеграције одређеног интеграла ===
; Теорема 2.4: (Парцијална интеграција) Ако су функције <math>u(x)</math>, <math>v(x)</math>, <math>u'(x)</math> и <math>v'(x)</math> непрекидне на <math>[a, b]</math> тада је
: <math>\int_a^b u(x) dv(x) = (u(x) v(x)) |_a^b - \int_a^b v(x) du(x)</math>

; Теорема 2.5: (Смена променљиве код одређеног интеграла)
# '''Смена <math>x = \varphi(t)</math>:''' <math>\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) dt</math> ако важи следеће:
#* функција <math>f: [a, b] \to \mathbb{R}</math> је непрекидна,
#* <math>a = \varphi(\alpha)</math>, <math>b = \varphi(\beta)</math>,
#* функције <math>\varphi: [\alpha, \beta] \to [a, b]</math> и <math>\varphi'</math> су непрекидне на <math>[\alpha, \beta]</math>
#* функција <math>f(\varphi(t))</math> је дефинисана за све вредности <math>t \in [\alpha, \beta]</math>.
# '''Смена <math>t = g(x)</math>:''' ако важи следеће:
#* функција <math>f: [a, b] \to \mathbb{R}</math> је непрекидна,
#* <math>g(a) = \alpha</math>, <math>g(b) = \beta</math>,
#* функција <math>g</math> је строго монотона на <math>[a, b]</math>
#* инверзна функција <math>g^{-1}</math> има непрекидан извод на <math>[\alpha, \beta]</math>.

; Теорема 2.6: Ако је <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> непрекидна и периодична функција са периодом <math>T</math>, тада важи:
: <math>\int_0^T f(x) dx = \int_a^{a+T} f(x) dx</math>, (<math>a \in \mathbb{R}</math>)

; Теорема 2.7: Ако је <math>f</math> непрекидна функција на <math>[-a, a]</math>, тада важи:
: <math>\int_{-a}^a f(x) dx = \left\{
\begin{array}{ll}
0, & ako je f neparna funkcija \\
2 \int_0^a f(x) dx, & ako je f parna funkcija
\end{array}
\right.</math>

; Теорема 2.8: Ако је <math>f</math> непрекидна на <math>[a, b]</math> и <math>(\forall x \in [a, b]) f(x) \geq 0</math> тада је површина фигуре која је ограничена кривом <math>y = f(x)</math>, правима <math>x = a</math>, <math>x = b</math>, и <math>x</math>-осом једнака <math>\int_a^b f(x) dx</math>.

=== Несвојствени интеграли ===
<div class="noprint">
: ''Пропратни материјал: [[{{ns:6}}:M2 Nesvojstveni integrali P3.pdf]]''
</div>
Несвојствени интеграли су интеграли чији интервал интеграције није коначан или подинтегрална функција није ограничена на интервалу.

; Дефиниција 2.5: (Бесконачан интервал)
# Нека је <math>f</math> дефинисана на <math>[0, +\infty)</math> и нека је интеграбилна на сваком коначном сегменту <math>[a, \beta] \subset [a, +\infty)</math>.
#: <math>\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{\beta \to +\infty} (\int_a^{\beta} f(x) dx)</math>
# Нека је <math>f</math> дефинисана на <math>(-\infty, b)</math> и нека је интеграбилна на сваком коначном сегменту <math>[\alpha, b] \subset (-\infty, b]</math>.
#: <math>\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{\alpha \to -\infty} (\int_{\alpha}^b f(x) dx)</math>
# Нека је <math>f</math> дефинисана на <math>\mathbb{R}</math> и нека је интеграбилна на сваком коначном сегменту <math>[\alpha, \beta] \subset \mathbb{R}</math>.
#: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{+\infty} f(x) dx = \lim_{\alpha \to -\infty} \left(\int_{\alpha}^c f(x) dx\right) + \lim_{\beta \to +\infty} (\int_c^{\beta} f(x) dx)</math>
#: (<math>c \in \mathbb{R}</math>)

; Дефиниција 2.6: (Неограничена подинтегрална функција)
# Нека је <math>f</math> дефинисана на <math>[a, b)</math> и нека није 0 у левој околини тачке <math>b</math>.
#: <math>\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to b^{-}} \int_a^c f(x) dx</math>
# Нека је <math>f</math> дефинисана на <math>(a, b]</math> и нека није 0 у десној околини тачке <math>a</math>.
#: <math>\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to a^{+}} \int_c^b f(x) dx</math>
# Нека је <math>f</math> дефинисана на <math>(a, b)</math> и нека није 0 у левој околини тачке <math>b</math> и десној околини тачке <math>a</math>.
#: <math>\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \lim_{d \to a^{+}} (\int_d^c f(x) dx) + \lim_{e \to b^{-}} (\int_c^e f(x) dx)</math>
#: (<math>c \in \mathbb{R}</math>)

== Функције више променљивих ==
; Дефиниција 3.1: Пресликавање <math>f: D \to \mathbb{R}</math> где је <math>D \subseteq \mathbb{R}^n</math> зове се реална функција са <math>n</math> независних променљивих чији је домен <math>D</math>.

=== Гранична вредност и непрекидност ===
; Дефиниција 3.2: Растојање између тачака <math>X</math> и <math>Y</math> где су <math>X, Y \in \mathbb{R}^n</math> тако да <math>X = (x_1, x_2, ..., x_n)</math> и <math>Y = (y_1, y_2, ..., y_n)</math> једнако је <math>d(X, Y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + ... + (x_n - y_n)^2}</math>

; Дефиниција 3.3: Нека је дата тачка <math>M_0(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2</math> и нека је дато <math>\delta > 0</math> (<math>\delta \in \mathbb{R}</math>). <math>\delta</math>-околина тачке <math>M_0</math> је тада скуп <math>\{M = (x, y) \in \mathbb{R}^2|d(M_0, M) < \delta\}</math>.

; Дефиниција 3.4: Нека је <math>f</math> дефинисана у некој околини тачке <math>M_0(x_0, y_0)</math> (<math>K[x_0, r)</math> за <math>r > 0</math>).
# <math>\lim_{x \to x_0, y \to y_0} f(x, y) = a \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > \varepsilon)(\forall M(x, y) \in Dom(f))(0 < d(M_0, M) < \delta \implies f(M) \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon))</math> (<math>a \in \mathbb{R}</math>)
# <math>\lim_{X \to M_0} f(X) = +\infty \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall M(x, y) \in D_f)(0 < d(M_0, M) < \delta \implies f(M) \in (\varepsilon, +\infty))</math>
# <math>\lim_{X \to M_0} f(X) = -\infty \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall M(x, y) \in D_f)(0 < d(M_0, M) < \delta \implies f(M) \in (-\infty, \varepsilon))</math>

; Дефиниција 3.5: Нека је <math>f(x, y)</math> дефинисана у некој околини тачке <math>M_0(x_0, y_0)</math>. Ако је <math>\lim_{X \to M_0} f(X) = f(M_0)</math> каже се да је <math>f</math> непрекидна у <math>M_0</math>.

; Дефиниција 3.6: Ако је <math>f</math> непрекидна у свакој тачки неке области <math>S \subseteq D_f</math> кажемо да је непрекидна у области <math>S</math>.

=== Парцијални изводи ===
; Дефиниција 3.7: Нека је <math>f(x, y)</math> дефинисана на некој области <math>S \subseteq D_f \subseteq \mathbb{R}^2</math>. Нека тачке <math>M_0(x_0, y_0)</math>, <math>(x_0 + \Delta x, y_0)</math>, <math>(x_0, y_0 + \Delta y)</math> и <math>(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)</math> припадају <math>S</math>. Разлика <math>f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)</math> зове се (парцијални) прираштај функције <math>f</math> по променљивој <math>x</math> у тачки <math>(x_0, y_0)</math>. Разлика <math>f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)</math> зове се (парцијални) прираштај функције <math>f</math> по променљивој <math>y</math> у тачки <math>(x_0, y_0)</math>. Разлика <math>f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)</math> зове се потпуни прираштај.

; Дефиниција 3.8: Ако постоји <math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}</math> он се зове први парцијални извод по променљивој <math>x</math> функције <math>f</math>. Ако постоји <math>\lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}</math> он се зове први парцијални извод по променљивој <math>y</math> функције <math>f</math>. Ознака: <math>f'_x(x, y)</math> или <math>\frac{\partial f}{\partial x}|_{M_0(x_0, y_0)}</math>.

; Дефиниција 3.9: <math>f</math> је диференцијабилна у <math>M_0</math> ако и само ако се <math>f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0, y_0)</math> може представити у облику <math>\Delta f = A \Delta x + B \Delta y + h(\Delta x, \Delta y)</math> где су <math>A</math> и <math>B</math> бројеви тако да <math>\lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0} \frac{h(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = 0</math> и <math>A</math> и <math>B</math> зависе само од координата <math>x_0</math> и <math>y_0</math>, и где се <math>A \Delta x + B \Delta y</math> назива тоталним диференцијалом у <math>M_0</math> (ознака <math>df</math>).

; Теорема 3.1: Ако је <math>f(x, y)</math> диференцијабилна у <math>M_0(x_0, y_0)</math> онда је <math>f(x, y)</math> непрекидна у <math>M_0</math>, из чега следи да постоје парцијални изводи <math>f(x, y)</math> у <math>M_0</math>.

; Теорема 3.2: Ако <math>f(x, y)</math> има парцијалне изводе у некој околнни <math>M_0</math> и ако су ти парцијални изводи непрекидни у <math>M_0</math> тада је <math>f(x, y)</math> диференцијабилна у <math>M_0</math> и важи:
: <math>df = \frac{\partial f}{\partial x}|_{M_0} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}|_{M_0} \Delta y = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy</math>

==== Парцијални изводи вишег реда ====
: <math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}</math>
: Мешовити парцијални изводи: <math>\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}</math>
: Виши диференцијали: <math>d^2 f = d(df) = d\left(\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy\right) = d\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) dx + \frac{\partial f}{\partial x} d(dx) +</math>
: <math>+ d\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) dy + \frac{\partial f}{\partial y} d(dy) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} dy\right) dx + \left(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} dx + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} dy\right) dy =</math>
: <math>= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} dx dy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} dy^2</math>

; Теорема 3.3: Ако су <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}</math> и <math>\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}</math> непрекидне функције у области <math>S</math> тада су оне у тој области једнаке.

=== Локалне екстремне вредности ===
; Дефиниција 3.10: <math>M_0(x_0, y_0)</math> је локални максимум (односно минимум) функције <math>f(x, y)</math> ако и само ако постоји околина <math>K[M_0, \delta)</math> (<math>\delta > 0</math>) тако да важи <math>(\forall M \in K[M_0, S)) f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)) \leq 0</math> (односно <math>\geq 0</math>).

; Теорема 3.4: Ако <math>f</math> у <math>M_0</math> има локалну екстремну вредност тада у <math>M_0</math> важи да <math>\frac{\partial f}{\partial x}|_{M_0} = 0</math> и <math>\frac{\partial f}{\partial y}|_{M_0} = 0</math>.

; Теорема 3.5: Нека је <math>M_0</math> стационарна тачка <math>f(x, y)</math>. Уводимо ознаке <math>A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}</math>, <math>B = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}</math>, <math>C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math> и <math>\Delta(M_0) = (A \cdot C - B^2)|_{M_0}</math>.
# Ако је <math>\Delta(M_0) > 0</math>, онда <math>f</math> има локални екстремум у <math>M_0</math> и то:
#* минимум ако <math>A > 0</math>
#* максимум ако <math>A < 0</math>
# Ако је <math>\Delta(M_0) < 0</math>, онда немамо локални екстремум у <math>M_0</math>.
# Ако је <math>\Delta(M_0) = 0</math> онда морамо вршити додатна испитивања како бисмо одредили да ли има локалног екстремума у тој тачки.

Програмирање 2/К1 2019

2020-02-15T12:56:01Z

Aleksasavic: /* Broj X */ Dodata nula koja fali

== Pitanja ==
=== Pitanje 1 ===
''Na nekom računaru, realni brojevi se predstavljaju na širini od 11 bita u formatu '''seeeeemmmmm''', gde je '''s''' predznak broja, '''eeeee''' su 5 bitova za eksponent u kodu sa viškom 15 i '''mmmmm''' su 5 bitova normalizovane mantise sa skrivenim bitom (1≤M<2). Sva zaokruživanja se obavljaju prema pravilima ANSI/IEEE standarda za realne brojeve. Neka se u lokaciju A učita broj čija je vrednost 11.5<sub>10</sub>, a u lokaciju B broj čija je vrednost najveća moguća tako da prilikom sabiranja brojeva A i B ne dođe do greške veće od 1 prilikom zaokruživanja. Kolika je vrednost zbira A i B na datom računaru?''
==== Postavka ====
Ovo je malo teži zadatak. Traži se najveći broj B tako da kad se sabere sa A greška u zaokruživanju ne bude veća od 1.

Ovaj zadatak ćemo rešiti tako što predstavimo A, i povećavamo eksponent od normalizovanog dok ne dođemo do eksponenata dovoljno velikih da se mora desiti zaokruživanje. Onda računame pojedinačno grešku za svako zaokruživanje i biramo onu koja je manja od 1, a ima najveći eksponent. Onda osmislimo broj B tako što mantisu postavimo na sve jedinice (najveći broj) i damo taj eksponent koji smo našli.

* w = 11, k = 5, v = 15, p = 5
* IEEE mantisa

==== Broj A ====
A = 11.5<sub>10</sub> = 1011.1<sub>2</sub> = 1.'''01110''' * 2<sup>3</sup>

==== Tražimo najveći eksponent ====
Tražimo najveći eksponent na koji možemo da postavimo A, a da greška u zaokruživanju ne bude veća od 1.

A = 1.'''01110''' * 2<sup>3</sup>

A = 0.'''10111''' 0 * 2<sup>4</sup> - Nema greške

A = 0.'''01011''' 10 * 2<sup>5</sup> - Zaokružujemo tako što dodamo 1 na krajnju cifru mantise (Pravilo 3b)

A<sub>z5</sub> = 0.011000 * 2<sup>5</sup>.
Greška = A<sub>z5</sub> - A = (0.0110000 - 0.0101110)*2<sup>5</sup> = 0.0000010 * 2<sup>5</sup> = 0.1

Greška je manja od 1, znači možemo još.

A = 0.'''00101''' 110 * 2<sup>6</sup>.

Zaokružuje se pravilom 2.

A<sub>z6</sub> = 0.00110 * 2<sup>6</sup>

Greška = A<sub>z6</sub> - A = 0.00000010 * 2<sup>6</sup> = 0.1

Idemo dalje.

A = 0.'''00010''' 1110 * 2<sup>7</sup>

A<sub>z</sub> = 0.00011 * 2<sup>7</sup> (Pravilo 2)

Greška = A<sub>z7</sub> - A = (0.00011 0000 - 0.00010 1110) * 2<sup>7</sup> = 0.1

Idemo dalje...

A = 0.'''00001''' 01110 * 2<sup>8</sup>

A<sub>z8</sub> = 0.00001 (Pravilo 1).

Greška = A<sub>z8</sub> - A = (0.00001 00000 - 0.00001 01110) * 2<sup>8</sup> = 100.1 = 8.5<sub>10</sub>

Sa 8 smo ga preterali, tako da je 7 najveći eksponent koji možemo da uzmemo.

==== Pravimo broj B ====

Najveća mantisa je 11111, tako da broj B = 1.'''11111''' * 2<sup>7</sup> = 1111 1100 = '''252<sub>10</sub>.'''

'''Odatle A + B = 11.5 + 252 = 263.5 što je najbliže 264 (A).'''
(Imajte u vidu da je A sabrano sa povećanim eksponentom sa greškom 0.1<sup>2</sup> tj 0.5 tako da je pravi zbir 12 + 252 = 264 tačno na računaru)

=== Pitanje 2 ===
''Na jednom računaru, realni brojevi se predstavljaju na širini od 11 bita u formatu '''seeeemmmmmm''', gde je s bit predviđen za kodiranje predznaka broja, eeee su 4 bita za eksponent u kodu sa viškom 8, a mmmmmm su biti normalizovane matise sa skrivenim bitom (0.5≤M<1). Celi brojevi na ovom računaru se predstavljaju u drugom komplementu na širini od 7 bita. Vrednost realnog broja na lokaciji X je 32.5<sub>10</sub>. Predstava celog broja na lokaciji Y je 122<sub>8</sub>. Koji je sadržaj realne promenljive Z nakon što se na ovom računaru obavi operacija Z = X + Y? Sva zaokruživanja se obavljaju prema pravilima ANSI/IEEE standarda za realne brojeve.''
==== Postavka ====
* w = 11, k = 4, v = 8, p = 6
* VAX mantisa

==== Broj Y ====
Y = 122<sub>8</sub> = 001 010 010 = 01'''01 0010'''.

Komplementiramo, Y = -10 1110 (-46).

Normalizujemo mantisu da bude u formatu 0.1mmmmmm.

Y = -011110 = -0.1'''011100''' * 2<sup>6</sup>. Nema zaokruživanja.

==== Broj X ====

X = 32.5 = 10 0000.1

Normalizujemo:

X = 10 0000.1 = 0.1'''000001''' * 2<sup>6</sup>

==== Sabiranje ====
Z = X + Y = 0.1000001 * 2<sup>6</sup> - 0.1011100 * 2<sup>6</sup> = -(0.1011100 * 2<sup>6</sup> - 0.1000001 * 2<sup>6</sup>) = -0.0011011 * 2<sup>6</sup>.

Normalizujemo.

Z = -0.1'''101100''' * 2<sup>4</sup>

Mantisa = 101100

Eksponent E = 4. e = E + v = 4 + 8 = 12 = 1100<sub>2</sub>.

Znak je negativan.

Sastavljamo '''1 1100 101100 = 0111 0010 1100 = 72C<sub>16</sub> (A).'''

Корисник:Aleksasavic

2020-02-08T11:22:33Z

Aleksasavic: Направљена празна страница